視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《斐波那契數列與黃金分割》廣西—王寧
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《斐波那契數列與黃金分割》廣西—王寧
斐波那契數列與黃金分割
柳州鐵一中學 王寧
一、教學內容解析
1.內容
斐波那契數列的起源，斐波那契數列的遞推公式、數學性質，斐波那契數列和大自然、人類生活的聯系.
2.內容解析
本節課選自人教版《普通高中教科書·數學A版》選擇性必修第二冊“4.1閱讀與思考”.是學生在學習完等差等比數列后安排的一節思維發散的課程.利用極限的思想得出黃金分割比，利用從特殊到一般的思想得出與斐波那契數列相關的一系列有待于進一步證明的猜想.這些方法都是探究數學問題時常用的方法，充分體現了數學問題的研究途徑.旨在引導學生會用數學眼光觀察世界；會用數學思維思考世界；會用數學語言表達世界.
基于上述分析，確定本節課的教學重點為：
-
理解斐波那契數列的產生過程及斐波那契數列的遞推關系；
（2）感受黃金分割比在生活中的美及其應用價值.
二、教學目標設置
1.教學目標
（1）經歷斐波那契數列的發現過程，發現其特點，研究其性質，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，發展學生的數學運算、數學抽象與邏輯推理素養.
（2）經歷植物花瓣發散角的研究以及黃金分割比在日常生活中的應用介紹，激發學生的學習興趣，體會黃金分割比與自然和生活的聯系，提升學生的數學文化素養.
2.目標解析
達成目標（1）的標志是學生能夠分組合作，通過觀察、驗證部分項之間的關系猜想出斐波那契數列的某些性質，得到斐波那契數列的數學之美.
達成目標（2）的標志是學生知道了黃金分割比與自然和生活的關系，知道數學是現實的、有用的.認識到數學的應用價值、文化價值和審美價值.
三、學生學情分析
本節課的授課對象為柳州鐵一中學高三年級的學生.
從知識層面上來看，學生已經學習了數列的概念、等差數列、等比數列，對數列的研究有了一定的經驗，了解“特殊到一般”、“極限”等研究方法、能夠探究較為基礎的數列問題；
從能力層面上來看，學生從數列中抽象出性質的能力還不算太強，只能通過驗證某幾項猜想出較為基礎的有待于進一步證明的運算規律，進行不了更深層次的探究，需要教師進一步的引導.
從數學文化知識層面來看，學生對于斐波那契數列的了解不多，對于黃金分割比的了解也僅僅停留在0.618，不過文化知識的不足可以由學生課后的查閱資料自行補足.
基于上述分析，確定本節課的
教學難點為：啟發、引導學生猜想出斐波那契數列的某些性質.
四、教學策略分析
本節課的內容主要是初步認識斐波那契數列及其簡單的性質與應用，目的是發散學生的思維、擴大學生的視野、感受數學在生活中的聯系、體會數學的價值.所以本節課以微課、視頻欣賞、Excel等信息技術為輔助手段，以“發現問題、提出問題、分析問題、構建數列模型、求解結論，解決實際問題”為主線，以學生為中心，以活動為載體，采用啟發式的教學方法，讓學生在獲得基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的同時，激發學習興趣.并且本節課在最后設計了分層課后作業，滿足不同層次的學生的需求.
師：在前面幾節課的學習中，我們一起研究了兩類特殊的數列——等差數列和等比數列，探索了它們的取值規律，建立了通項公式、前
n項和公式，并運用等差等比數列解決了實際問題和數學問題，體會到了數列強大的魅力所在.那么今天，我們將一起認識一個新的數列，通過這個數列我們再次來感受一下數學的美，體會一下數學的智慧.
環節一 回顧歷史•溯斐波那契數列之源
師：兩百年來，一直有人說這個數列是一組自然界的密碼，是宇宙中不可泄漏的天機，它告訴我們世間萬物皆由上天安排，斐波那契數列從何而來？它到底揭示了什么秘密？我們從頭說起.
時間要回溯到1195年左右，一位叫萊奧納多•斐波那契的意大利小伙子，跟著父親在北非經商，那個時候的阿爾及利亞地區被奧斯曼帝國統治，流行的是阿拉伯文化，斐波那契突然發現，阿拉伯人的數學太厲害了，于是他請阿拉伯數學家教他數學，幾年之后，斐波那契學成回國，他把他的數學知識寫成了一本書，于1202年出版，名叫《算盤全書》，這就是其中最精彩的一頁，因為在這一頁上，介紹了一個數列，就是神秘的斐波那契數列.
【設計意圖】利用數學史引入課題,可以引起學生的注意力,調動學生的求知欲,起到良好的教學效果.
環節二 理性思考•明斐波那契數列之意
活動一：如果一對兔子每月能生一對小兔子（一雄一雌），而每一對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生一對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由一對初生的小兔子開始，1年后會有多少對？
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時間/月 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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6 |
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8 |
9 |
10 |
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12 |
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初生兔子/對 |
1 |
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成熟兔子/對 |
0 |
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兔子總數/對 |
1 |
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··· |
師生活動：老師解讀題目要求，帶領學生分析并填寫到第3個月，學生自主完成后面8個月的表格的填寫.(找一名同學在白板上填寫.)
【設計意圖】學生獨立思考，體驗斐波那契數列的生成過程，培養學生的邏輯推理素養.
問題1：我們現在將得到的兔子的總數單獨拿出來.那么在數學當中，像這樣按照一定次序排列的一列數，就叫做？
生：（預設）數列.
問題2：請同學們仔細觀察，你有沒有發現這個數列有什么樣的規律？
生：（預設）從第三項開始，每一項都等于前兩項之和.
追問1：你能用嚴謹的數學符號語言來描述這個規律嗎？
生：（預設）
【設計意圖】通過問題串的設置，引導學生總結出斐波那契數列的遞推性質，并運用數學符號語言表示，有助于學生形成遞推意識、運用符號進行正確表征.培養學生的數學抽象素養.
師：這是一個由遞推公式給出的數列，由于是斐波那契第一個發現的，所以我們稱之為斐波那契數列，數列中的每一個數都叫做斐波那契數.
【設計意圖】環節二讓學生通過理性的思考，從兔子繁殖的問題中得到斐波那契數列以及斐波那契數列的遞推公式，為后續的探究做鋪墊.
環節三 分組合作•探斐波那契數列數學之美
師：現在我們站在巨人的肩膀上來研究一下斐波那契數列的數學之美，除了遞推關系，斐波那契數列還有哪些性質呢？老師先給大家一種計算方式，這也是前面的數學家探究過的問題.
活動二：計算斐波那契數列相鄰項的比值，你能發現什么規律嗎？
師生活動：利用事先設置好的Excel表格，計算出斐波那契數列前15項中前項與后項的比值以及后項與前項的比值.
【設計意圖】教師拋磚引玉，先給出一種計算方式帶領學生探索規律，滲透研究數學的方法，為學生后面的分組合作探究做鋪墊.
問題1：仔細觀察，大家發現了什么規律了嗎？哪位同學可以說一下？
生：（預設）隨著項數的增大，后一項與前一項的比值越來越接近1.618，前一項與后一項的比值越來越接近0.618.
追問1：非常好，我們通過數列前15項的驗證，猜測隨著項數的增大，兩個比值會無限的逼近0.618和1.618，這是數學里面的一種什么思想？
生：（預設）極限的思想.（教師板書）
追問2：非常好，那你知道0.618和1.618還有一個名字叫什么嗎？
生：（預設）黃金分割比.（教師板書）
【設計意圖】極限思想是重要的數學思想，借助于極限的思想得到黃金分割比，培養學生的數據分析核心素養.
師：我們在剛剛得到的兩個性質中，接觸到了加，減，除三種運算方式，其實數學中的計算方式還有乘、乘方、開方等，這都是我們研究數字規律的方法.現在老師給大家時間，還是這個斐波那契數列，請同學們以小組為單位仔細觀察，大膽猜想，再通過計算去驗證，看哪個小組還可以發現斐波那契數列其他的數學之美.每個小組可以派一名代表展示探究結果.
活動三：請同學們分組討論斐波那契數列其他的數學之美.
師生活動：學生上臺展示探究結果，教師輔助驗證并板書.
【設計意圖】發散學生的思維，讓學生根據老師提供的思路大膽的猜想，培養學生邏輯推理核心素養.
問題2：幾位同學都是通過觀察、計算、驗證斐波那契數列的前面一些項得到了一些運算性質,這又是我們數學學習中非常重要的什么數學思想？
生：（預設）歸納猜想.（教師板書）
追問1：非常好，既然是猜想，那就有可能是正確的，也有可能是錯誤的，那同學們有什么方法證明這些性質的正確與否嗎？
生：（預設）可以用數學歸納法證明.
師：非常好，這就是我們今天的第一項作業，請同學們課后用數學歸納法嚴格的證明我們找到的三個數學之美，證明出它們是否對所有的
都成立.
【設計意圖】教師完全放手，由學生小組進行歸納猜想，激發了學生的探知動力，體驗了探索過程，獲取了解決問題的方法，優化了思維品質，培養了學生邏輯推理的核心素養.
環節四 回歸自然•知斐波那契數列自然之美
師：剛才我們得到了很多斐波那契數列的數學之美，其實斐波那契數列不僅僅有數學美，它還被稱為自然的密碼，我們繼續來感受一下斐波那契數列的自然美.
師生活動：根據植物中向日葵的兩種螺旋線的條數、植物發散角的微課介紹，體會植物與斐波那契數列的關系.通過鸚鵡螺的螺旋結構，體會動物與斐波那契數列的關系.最后，欣賞視頻，動態的感受自然界中動植物與斐波那契數列的聯系，體驗斐波那契數列的自然之美.
【設計意圖】從大自然中的植物和動物出發，擴大學生的視野，感受斐波那契數列帶給我們的自然界中的美以及自然價值.增進了學生對數學的進一步理解，提高了數學教學的品質.
環節五 品味鑒賞•析斐波那契數列生活之美
師：自然界中，植物生長選擇了最美的方向，動物進化也選擇了最美的方向，可見自然萬物都是熱愛美的，而0.618就是一個美的源泉，所以我們人類在設計各種東西的時候，都自覺或者不自覺的選擇了這個0.618.
師生活動：欣賞黃金分割比在生活中的應用價值，包括藝術品、建筑、信用卡、五角星、優選法等.
【設計意圖】從斐波那契數列與植物的關系、與動物的關系過渡到與人類的關系，層層遞進，環環相扣.讓數學走進學生的生活，讓學生感悟數學是現實的、有用的.擴展學生的思維，讓學生知道數學在生活中的價值.
環節六 課堂小結•凝課堂之髓
師：本節課的最后，我們來回顧一下我們這節課所學習的內容，我們最初根據假想的生活中兔子繁殖問題，得到了斐波那契數列，對數列進行了研究，根據研究結果可以去解決更多的實際問題，整節課其實就是數學建模的過程，數學建�？梢宰屢粋�純粹的數學家變成物理學家，經濟學家甚至生物學家.希望同學們把今天所學的知識運用到你們的生活中去，發現生活中的美，并且把這樣的美應用到我們的工作、學習和創作當中.生活如此美好.
【設計意圖】老師總結本節課的幾個重要的環節：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、構建數列模型、求解結論，最終解決實際問題，這就是數學建模.升華本節課的主題，培養學生數學建模的核心素養.
環節七 布置作業
復習鞏固
1.共有12級臺階，王老師每步可以邁一級或者兩級臺階.
（1）王老師上樓一共可以有多少種不同的走法？類比活動一研究問題的方法,完成下面的表格.
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到達位置 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
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最后一步只跨一級 |
1 |
1 |
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最后一步跨兩級 |
0 |
1 |
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總計方法數 |
1 |
2 |
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（2）如果將到達每一個位置的方法總數看成是數列
,請總結出
的遞推公式.
綜合應用
2.用數學歸納法證明活動三中發現的數學之美.
拓廣探索
-
合作探究，建立斐波那契數列通項公式和前n項和公式.
-
搜集優選法的相關資料，探索其在工業中的相關應用.
【設計意圖】以教材課后習題模式為藍本，將作業分為三個層次，鞏固學生所學知識的同時，深化課堂，開拓學生的視野，提高學生獨立思考能力和邏輯思維能力.
六、板書設計
斐波那契數列與黃金分割
1.618：1或0.618：1
三、數學之美（歸納猜想）
（1）
（2）
（3）
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多媒體演示 |
小組展示1：
小組展示2： |
【設計意圖】左邊板書體現本節課的重點內容，右邊板書讓學生有充分的發揮空間.
七、教學反思
本節課是一節數學活動課，數學活動課強調學生在課堂上的主體性和實踐性，培養學生的創新能力和解決實際問題的能力，這與核心素養下對數學教學的要求不謀而合.所以本節課用了大量的時間給學生自主探索并展示.但是，絕大多數學生是不了解斐波那契數列的，而提到斐波那契數列就不得不提到它的一些美學價值，因此在本節課的最后，也用了部分時間介紹了斐波那契數列中黃金分割比的美學價值與應用價值.
本節課只是初步的認識斐波那契數列，了解斐波那契數列，擴展學生的視野與思維，相較于正課而言，難度沒有很大.不過，斐波那契數列還有更深層次的性質以及相關的問題，這些是需要后續的課程來完成的.某種程度上來說，本節課有一定程度的留白，引發學生對斐波那契數列的進一步思考與探究.
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