視頻簡(jiǎn)介：
視頻標(biāo)簽：第十一屆全國(guó)
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》貴州—黃
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第十一屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》貴州—黃
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）
教學(xué)設(shè)計(jì)
貴州省凱里市第一中學(xué) 黃文碧
1.內(nèi)容
本節(jié)課是人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書•數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(cè)第三章“圓錐曲線的方程”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是介紹圓錐曲線的歷史發(fā)展與研究思路以及橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)．
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內(nèi)容解析
圓錐曲線充分體現(xiàn)了解析幾何研究方法和數(shù)形結(jié)合思想，是平面解析幾何的重要組成部分.本章將在“直線和圓的方程”基礎(chǔ)上，通過(guò)問(wèn)題情境使學(xué)生了解圓錐曲線的歷史與發(fā)展.本章的研究對(duì)象是圓錐曲線，研究過(guò)程中以數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)全局；并從代數(shù)和幾何角度認(rèn)識(shí)圓錐曲線及其性質(zhì)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；進(jìn)而提升學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是：了解圓錐曲線的歷史與發(fā)展，從兩個(gè)探究活動(dòng)出發(fā)，讓學(xué)生觀察橢圓的幾何特征，從而抽象出橢圓的定義并建立平面直角坐標(biāo)系求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.本節(jié)課以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生以獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多樣化的方式開(kāi)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).在本課時(shí)設(shè)計(jì)中，以數(shù)學(xué)史為素材設(shè)計(jì)系列化的教學(xué)活動(dòng)，以用坐標(biāo)法研究幾何圖形的過(guò)程和方法為導(dǎo)向，以“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展學(xué)習(xí)與探究.這些問(wèn)題既有針對(duì)整體思路的，也有針對(duì)具體內(nèi)容的；既有針對(duì)思想方法、研究策略的，也有操作性的、針對(duì)特例或細(xì)節(jié)的.它們是以橢圓知識(shí)的內(nèi)在邏輯為依據(jù)而設(shè)置的、自然而然的學(xué)習(xí)主線，解決了這些問(wèn)題就可以形成思想內(nèi)涵豐富的“橢圓與方程”體系.
1.教學(xué)目標(biāo)
（1）通過(guò)小組實(shí)踐探究活動(dòng)一，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學(xué)生去感受圓錐曲線名稱的由來(lái).通過(guò)微課視頻了解圓錐曲線的歷史發(fā)展、圓錐曲線的應(yīng)用及其研究思路，感受其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化.培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
（2）通過(guò)學(xué)生動(dòng)手探究活動(dòng)二（畫橢圓），讓學(xué)生從具體情境中觀察、思考橢圓的幾何特征，抽象出橢圓的定義，掌握橢圓的概念.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
（3）根據(jù)橢圓的定義建立焦點(diǎn)在
軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，體驗(yàn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的思想方法.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比，得到焦點(diǎn)在
軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.目標(biāo)解析
（1）通過(guò)小組實(shí)踐探究活動(dòng)一，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)橢圓，拋物線、雙曲線可以由平面截圓錐所得，概括圓錐曲線的概念，加深學(xué)生的認(rèn)知印象，讓學(xué)生體會(huì)到生活中處處都有數(shù)學(xué)的影子，要善于去發(fā)現(xiàn)和探究.巧妙整合相關(guān)數(shù)學(xué)史料，采取微課的形式讓學(xué)生去了解圓錐曲線的歷史與發(fā)展，了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位和作用，從而去總結(jié)圓錐曲線的研究思路.培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).
（2）通過(guò)學(xué)生動(dòng)手探究活動(dòng)二（畫橢圓），借助實(shí)物模型，讓學(xué)生去整體觀察、直觀感知橢圓的幾何特征，通過(guò)橢圓的幾何特征抽象出橢圓的定義，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題的能力；通過(guò)師生、生生合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí).培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
（3）從橢圓的幾何特征中提煉出橢圓的定義，再?gòu)臄?shù)量關(guān)系角度再次定義橢圓，根據(jù)解析幾何的研究思路，自然引出橢圓方程的建立，并設(shè)置懸疑，引發(fā)對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)所滿足的數(shù)量關(guān)系的探索從數(shù)量關(guān)系角度再次定義橢圓.利用求軌跡方程的方法引導(dǎo)學(xué)生去推導(dǎo)焦點(diǎn)在
軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再讓學(xué)生通過(guò)類比自己去歸納焦點(diǎn)在
軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這樣的處理給學(xué)生提供了探究和交流的機(jī)會(huì)有利于學(xué)生思維能力的提高和學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
三、
學(xué)生學(xué)情分析
（1）學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)
首先，學(xué)生在本冊(cè)書上一章中學(xué)習(xí)了研究直線與圓的坐標(biāo)法，初步具備了運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的意識(shí)，初步感受了數(shù)形結(jié)合的基本思想，對(duì)于在平面直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)坐標(biāo)及長(zhǎng)度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運(yùn)算的技能，有較好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和方法.
（2）學(xué)生存在的難點(diǎn)
解析幾何的學(xué)習(xí)對(duì)運(yùn)算能力的要求頗高，對(duì)學(xué)生而言，代數(shù)運(yùn)算是主要“攔路虎”之一.探究活動(dòng)中學(xué)生需要自己建立恰當(dāng)坐標(biāo)系并推導(dǎo)出方程，該怎樣建系？怎樣列式？在化簡(jiǎn)方程
會(huì)遇到運(yùn)算的困難，是直接兩邊平方？還是移項(xiàng)后再兩邊平方？為什么要進(jìn)行
的代換？這些問(wèn)題都是學(xué)生本堂課會(huì)遇到的難點(diǎn)，基于這些難點(diǎn)，本堂課將設(shè)置一些有效的，循序漸進(jìn)的“問(wèn)題串”，讓學(xué)生通過(guò)“思考”，“觀察”，“探究”等環(huán)節(jié)來(lái)?yè)羝齐y點(diǎn).老師設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題.
確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：圓錐曲線名稱的由來(lái)以及歷史與發(fā)展、橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；教學(xué)難點(diǎn)為：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).
四、教學(xué)策略分析
（1）教學(xué)重點(diǎn)突破策略
通過(guò)小組實(shí)踐探究活動(dòng)一，液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)橢圓，拋物線、雙曲線可以由平面截圓錐所得，概括圓錐曲線的概念，整合相關(guān)數(shù)學(xué)史料，采取微課的形式讓學(xué)生去了解圓錐曲線的歷史與發(fā)展，了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位和作用，從而有方向的去探究圓錐曲線的研究思路.通過(guò)學(xué)生動(dòng)手探究活動(dòng)二（畫橢圓），借助實(shí)物模型，讓學(xué)生去整體觀察、直觀感知橢圓的幾何特征，通過(guò)橢圓的幾何特征歸納出橢圓的定義，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題的能力；通過(guò)師生、生生合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，增強(qiáng)主動(dòng)與他人合作交流的意識(shí).由橢圓的定義去推導(dǎo)橢圓的方程，利用求軌跡方程的方法引導(dǎo)學(xué)生去推導(dǎo)焦點(diǎn)在
軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再讓學(xué)生通過(guò)類比自己去歸納焦點(diǎn)在
軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這樣的處理給學(xué)生提供了探究和交流的機(jī)會(huì)有利于學(xué)生思維能力的提高和學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng).
（2）教學(xué)難點(diǎn)突破策略
遵循以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，發(fā)展為主旨的教育教學(xué)原則，在學(xué)生認(rèn)
知的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問(wèn)題；問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下教師有效引導(dǎo)、學(xué)生主動(dòng)探究、師生共同交流的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思維發(fā)展.難點(diǎn)突破方面，本堂課將設(shè)置一些有效的，循序漸進(jìn)的“問(wèn)題串”來(lái)解決本節(jié)課所遇到的困難，讓學(xué)生通過(guò)“思考”，“觀察”，“探究”等環(huán)節(jié)來(lái)?yè)羝齐y點(diǎn).老師設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題.按教科書知識(shí)發(fā)展過(guò)程順次提出以下問(wèn)題，以引導(dǎo)學(xué)生攻破難點(diǎn).
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“橢圓有怎樣的幾何特征？”“我們?cè)撊绾卫眠@些特征來(lái)給橢圓下定義？”“如何利用橢圓的幾何特征去建立橢圓的方程？”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐去探究橢圓的幾何特征，為抽象橢圓的概念、開(kāi)展后續(xù)內(nèi)容做好準(zhǔn)備.
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“觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式更簡(jiǎn)單？”引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用橢圓的幾何特征合理建立坐標(biāo)系.
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“你能從橢圓的圖形中找出
的線段嗎？”引導(dǎo)學(xué)生思考的幾何意義，使學(xué)生理解引入
的合理性.
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“如果焦點(diǎn)在軸上，那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到橢圓焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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課后思考：“橢圓定義是怎樣產(chǎn)生的？”給予學(xué)生提示，引發(fā)學(xué)生的好奇，拓展知識(shí)，開(kāi)闊眼界，讓學(xué)生學(xué)會(huì)查閱資料，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究的精神，滲透數(shù)學(xué)家追求完美的理性精神.
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教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
實(shí)踐探究一（生活小實(shí)驗(yàn)）
準(zhǔn)備一個(gè)圓錐形的瓶子，做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，隨著傾斜程度的不同，從上往下看，圖中液面的截口曲線會(huì)呈現(xiàn)出什么形狀？
【教師】同學(xué)們，每個(gè)小組的桌上都有一個(gè)裝著紅色墨水的瓶子，大家先觀察這個(gè)瓶子像什么幾何體？
【學(xué)生】圓錐.
【教師】將瓶子水瓶放置，同學(xué)們觀察液面的截口曲線（液面與瓶子側(cè)面的交線）是什么形狀的？
【學(xué)生】是圓.
【教師】現(xiàn)在我們將瓶子微微傾斜，隨著傾斜角度的不同，同學(xué)們還能觀察到液面的截口曲線呈現(xiàn)什么形狀呢？（小組合作探究，進(jìn)行小組匯報(bào)）
【小組1匯報(bào)】我們將瓶子微微傾斜，發(fā)現(xiàn)截口曲線是橢圓；再繼續(xù)傾斜，發(fā)現(xiàn)截口曲線有點(diǎn)像初中學(xué)過(guò)的拋物線.
【教師】哪個(gè)小組還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？（觀察學(xué)生是否能發(fā)現(xiàn)雙曲線）
【小組2匯報(bào)】將兩個(gè)錐形瓶的瓶蓋湊在一塊，水平放置錐形瓶，發(fā)現(xiàn)截口曲線左邊有一支，右邊有一支.（同學(xué)們通過(guò)事先預(yù)習(xí)也許會(huì)說(shuō)出雙曲線，教師進(jìn)行引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)）
這里學(xué)生很容易觀察出圓和橢圓,部分小組可以觀察出拋物線和雙曲線，但是學(xué)生對(duì)拋物線和雙曲線的形成和位置的判別還比較模糊.進(jìn)而教師進(jìn)行深入講解.
通過(guò)剛才的實(shí)驗(yàn)觀察我們發(fā)現(xiàn)圓、橢圓、拋物線、雙曲線都可以由平面截圓
錐所得，那該怎樣截才能得到以上圖形呢？接下來(lái)教師給學(xué)生展示：當(dāng)平面與圓錐的軸的夾角
變化（其中截面不過(guò)頂點(diǎn)）時(shí)，截口曲線的變化情況
（1）當(dāng)截面與圓錐的軸垂直時(shí)，截口曲線是一個(gè)圓．
（2）備注：
為圓錐的軸與母線的夾角，
為截面與圓錐的軸產(chǎn)生的夾角.
人們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為
圓錐曲線，這就是本書第三章要研究的內(nèi)容.
【
設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組實(shí)踐探究，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)橢圓，拋物線、雙曲線可以由平面截圓錐所得，加深學(xué)生的認(rèn)知印象，提升學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).讓學(xué)生體會(huì)到生活中處處都有數(shù)學(xué)的影子，要善于去發(fā)現(xiàn)和探究.
【教師】生活中有哪些圓錐曲線的例子呢?（PPT放一些生活中的圖片）
【
設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生對(duì)圓錐曲線有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，明白生活中有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察周圍事物的能力，激發(fā)學(xué)生課堂上的學(xué)習(xí)興趣.
同學(xué)們想知道圓錐曲線最初是怎么發(fā)現(xiàn)的嗎？那我們就通過(guò)一段視頻來(lái)了解一下圓錐曲線的發(fā)展史吧（教師課前剪輯好講解圓錐曲線發(fā)展史的微課視頻）.
圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時(shí)人們用純幾何的方法去研究這些與圓密切相關(guān)的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣.當(dāng)時(shí)比較具有代表性的人物有阿波羅尼奧斯，其比較有代表性的著作是《圓錐曲線論》.
17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，開(kāi)創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.人們開(kāi)始借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法來(lái)研究圓錐曲線.采用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的好處是可以程序化地，精確的進(jìn)行計(jì)算，使幾何問(wèn)題的求解或求證能通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來(lái)求解.解析幾何的創(chuàng)立，溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)部數(shù)與形、代數(shù)與幾何量大學(xué)科的聯(lián)系.
【
設(shè)計(jì)意圖】介紹圓錐曲線的歷史發(fā)展，讓學(xué)生欣賞與感受古希臘數(shù)學(xué)家的智慧，通過(guò)對(duì)笛卡爾的介紹，使學(xué)生了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位和作用.借助微課視頻，不僅可以讓學(xué)習(xí)氛圍更生動(dòng)，也可以讓課堂在時(shí)間的使用上更高效.
【教師】笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系后，人們就開(kāi)始用坐標(biāo)法（解析幾何的思想）去研究圓錐曲線了，用坐標(biāo)法研究曲線的具體思路是什么呢？（學(xué)生回顧第二章的學(xué)習(xí)思路，抽生回答）
【學(xué)生1】研究曲線的定義，建立曲線的方程.
【教師】引導(dǎo)學(xué)生多元化的回答，讓學(xué)生不斷地補(bǔ)充完善問(wèn)題的答案.
【學(xué)生2】通過(guò)方程去研究曲線的性質(zhì)，最后應(yīng)用.
【教師】點(diǎn)評(píng)學(xué)生的回答，將其進(jìn)行匯總，總結(jié)出圓錐曲線的研究思路.
【
設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在本冊(cè)書上一章中學(xué)習(xí)了研究直線與圓的坐標(biāo)法，初步具備了運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的意識(shí)，初步感受了數(shù)形結(jié)合的基本思想.通過(guò)實(shí)踐探究和微課視頻，學(xué)生已經(jīng)對(duì)圓錐曲線有了一定的體悟，為提升學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生去思考總結(jié)學(xué)習(xí)圓錐曲線的研究思路，為下一步探究橢圓做準(zhǔn)備，用思路與方法去指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).
實(shí)踐探究二(畫橢圓，總結(jié)幾何特征）
本章我們繼續(xù)采用上一章中研究直線與圓所用的坐標(biāo)法，在探索圓錐曲線幾何特征的基礎(chǔ)上，建立它們的方程，通過(guò)方程研究它們的簡(jiǎn)單性質(zhì)，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想.
【教師】有一根定長(zhǎng)的細(xì)繩，如果將繩子的兩端固定在一個(gè)定點(diǎn)上，用筆拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，可以畫出什么圖形？
【學(xué)生】可以畫出一個(gè)圓.
【教師】如果現(xiàn)在我們將繩子的兩端固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，用筆拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，又可以作出什么圖形呢？同學(xué)們小組合作畫一下，在畫圖的過(guò)程中思考，筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足什么幾何特征？
學(xué)生完成后，上臺(tái)展示自己完成的作品，并說(shuō)出自己在畫圖過(guò)程中的感受與觀察到的幾何特征.
【教師】這三個(gè)橢圓，給我們最直觀的感受，區(qū)別在哪兒?
【學(xué)生】大小不一樣，有的圓，有的扁.
【教師】你覺(jué)得橢圓的扁平程度與什么有關(guān)?
【學(xué)生】?jī)啥c(diǎn)間的距離，繩長(zhǎng)．
【教師】請(qǐng)上來(lái)展示的小組給我們介紹一下你們?cè)诋媹D過(guò)程中有什么感受與發(fā)現(xiàn)?
【小組匯報(bào)1】除了第一組的發(fā)現(xiàn)，我們還發(fā)現(xiàn)了繩子的長(zhǎng)度不一樣畫的橢圓大小、圓扁程度不一樣.(設(shè)想學(xué)生的回答）
【小組匯報(bào)2】在畫的過(guò)程中要使得繩子繃直，我們發(fā)現(xiàn)筆尖移動(dòng)的時(shí)候，它到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和始終是繩子的長(zhǎng)度.(設(shè)想學(xué)生的回答）
【小組匯報(bào)3】除了第一組的發(fā)現(xiàn)，我們還發(fā)現(xiàn)了繩子的長(zhǎng)度大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離.(設(shè)想學(xué)生的回答）
【教師】對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行及時(shí)評(píng)價(jià)，并對(duì)橢圓的幾何特征進(jìn)行總結(jié).
幾何特征1移動(dòng)的筆尖（動(dòng)點(diǎn)）到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于繩長(zhǎng)（定長(zhǎng)）.
幾何特征2繩長(zhǎng)（定長(zhǎng)）大于兩定點(diǎn)的距離.
【教師】提出思考
思考1：如果細(xì)繩長(zhǎng)度等于
，動(dòng)點(diǎn)的軌跡還是橢圓嗎？判斷并作出解釋.
思考2：如果細(xì)繩長(zhǎng)度小于，動(dòng)點(diǎn)的軌跡還是橢圓嗎？判斷并作出解釋.
學(xué)生進(jìn)行思考，可以利用畫板再次去嘗試.
【學(xué)生】繩長(zhǎng)等于
，畫出的圖形是線段
；小于
時(shí)，畫不出任何圖形．
【教師】能給同學(xué)們解釋一下原因嗎？（讓學(xué)生上臺(tái)展示）
【學(xué)生】繩長(zhǎng)等于
，直線是繃直的狀態(tài)，動(dòng)點(diǎn)只能在線段之間移動(dòng)，畫出的圖形是線段
；小于
時(shí)，線是斷開(kāi)的，畫不出任何圖形.
【教師】對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行及時(shí)評(píng)價(jià)，根據(jù)以上的探究觀察，同學(xué)們能總結(jié)出橢圓的定義嗎？
（學(xué)生歸納，互相補(bǔ)充，教師再匯總．）
橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)
的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
數(shù)學(xué)表達(dá)式：
（學(xué)生在歸納定義時(shí)很容易漏掉
）,教師給予重點(diǎn)提示.
【教師】大家一定要注意
這個(gè)條件，不能少.
【
設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生以小組為單位相互配合，一邊動(dòng)手操作，一邊動(dòng)手記錄，讓學(xué)生在實(shí)踐中去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通過(guò)畫橢圓，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，去感受并總結(jié)出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何特征，讓他們通過(guò)觀察、討論、概括出橢圓的定義，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律的習(xí)慣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).在課堂上，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人.
-
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
【教師】遵循圓錐曲線的研究思路，有了橢圓的定義之后，我們要對(duì)橢圓就行研究，下一步應(yīng)該研究什么呢？
【學(xué)生】推導(dǎo)橢圓的方程.
【教師】同學(xué)們回顧一下上一章，求曲線方程有哪些步驟呢？
【學(xué)生】①建系、②設(shè)點(diǎn)、③列式、④化簡(jiǎn).
教師總結(jié)：
第一步（建系）：根據(jù)曲線的幾何特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；
第二步（設(shè)點(diǎn)）：寫出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；
第三步（列式）：明確曲線上點(diǎn)滿足的幾何條件，將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)式；
第四步（化簡(jiǎn)）：化簡(jiǎn)并檢驗(yàn)方程.
【教師】接下來(lái)進(jìn)行第一步，建立平面直角坐標(biāo)系，我們知道坐標(biāo)系選取不同會(huì)造成方程形式的不同，如何選取坐標(biāo)系才能使所求方程最簡(jiǎn)單呢？
思考：橢圓有幾條對(duì)稱軸？幾個(gè)對(duì)稱中心呢？
【學(xué)生】橢圓有兩條對(duì)稱軸，一條是焦點(diǎn)
所在的直線，一條是焦點(diǎn)
的垂直平分線，這兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是橢圓的對(duì)稱中心.
【教師】由經(jīng)驗(yàn)可知，以橢圓的兩條對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)來(lái)建立平面直角坐標(biāo)系，這樣算出來(lái)的方程形式最簡(jiǎn)潔（如圖所示）.
【
設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)舊知，引導(dǎo)學(xué)生明確思維方向，進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，感受數(shù)學(xué)圖象的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美.
【教師】接下來(lái)進(jìn)行第二步和第三步，設(shè)點(diǎn)與列式.
設(shè)焦距為
，則
．設(shè)
為橢圓上任意一點(diǎn)，
動(dòng)點(diǎn)
滿足的幾何約束條件
坐標(biāo)化為：
【教師】第四步，化簡(jiǎn)方程.
化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)橢圓方程是本節(jié)課的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號(hào).首先由學(xué)生自主化簡(jiǎn)，教師觀察進(jìn)行指導(dǎo)，讓學(xué)生上臺(tái)展示自己的化簡(jiǎn)思路，才能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題.
可能存在的問(wèn)題分析：部分學(xué)生會(huì)不假思索的直接進(jìn)行平方，化解兩步后，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量太大，以至于沒(méi)有算下去的信心.
【教師】投屏展示直接平方的同學(xué)的計(jì)算例子，讓他們說(shuō)說(shuō)自己的化簡(jiǎn)思路和遇到的困難與困惑.尋求更優(yōu)的化簡(jiǎn)思路.
【學(xué)生】
我發(fā)現(xiàn)將其中一個(gè)根號(hào)移項(xiàng)至另外一邊再進(jìn)行平方，這樣化簡(jiǎn)會(huì)簡(jiǎn)單一點(diǎn).
【教師】投屏展示移項(xiàng)后再平方的同學(xué)的計(jì)算例子，讓學(xué)生對(duì)化簡(jiǎn)思路進(jìn)行講解.
【學(xué)生】移項(xiàng)后兩次平方法
兩邊同時(shí)平方、整理得：
將上式兩邊再平方、整理得：
【
設(shè)計(jì)意圖】該環(huán)節(jié)對(duì)運(yùn)算能力的要求頗高，學(xué)生會(huì)遇到運(yùn)算的困難，是直接兩邊平方？還是移項(xiàng)后再兩邊平方？先讓學(xué)生自己嘗試，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)交流，解決問(wèn)題，使學(xué)生掌握含根號(hào)等式化簡(jiǎn)的方法與技巧，提高學(xué)生的計(jì)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升.
【教師】同學(xué)們認(rèn)為
是我們化簡(jiǎn)的最簡(jiǎn)形式了嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，在橢圓的圖形中去發(fā)現(xiàn)
所對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)，找出它們之間的關(guān)系
，讓學(xué)生了解
的幾何含義，最終令
，讓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程達(dá)到最簡(jiǎn)
。
【
設(shè)計(jì)意圖】說(shuō)明
的幾何意義，進(jìn)一步解釋引進(jìn)
的好處，讓學(xué)生體會(huì)解析幾何數(shù)形結(jié)合的思想，感受數(shù)學(xué)方程的簡(jiǎn)潔美。
思考3：焦點(diǎn)在
軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？
（由學(xué)生動(dòng)手列式，
，引導(dǎo)學(xué)生觀察焦點(diǎn)在
軸上與焦點(diǎn)在
軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點(diǎn)在
軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）如果橢圓的焦點(diǎn)在
軸上，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為
，
，用同樣的方法可以推出它的標(biāo)準(zhǔn)方程
.
【
設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩種方程，進(jìn)行對(duì)比反思，培養(yǎng)學(xué)生類比的思維能力，加深對(duì)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.
圖 形 |
 |
 |
|
方程 |
 |
 |
|
焦點(diǎn) |
 |
 |
 的關(guān)系 |
 |
【教師】同學(xué)們觀察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它有什么特征呢？
【學(xué)生1】方程的由表都是1，分子是
，
；分母是
，
.
【學(xué)生2】
中
是最大的，
在誰(shuí)的分母上，焦點(diǎn)就在哪條軸上.
（六）學(xué)以致用，典例分析
例1.判斷下列橢圓的方程焦點(diǎn)在哪條軸上？焦點(diǎn)坐標(biāo)是多少？
1.
2.
答案：1.
軸，焦點(diǎn)坐標(biāo)是
，
；2.
軸，焦點(diǎn)坐標(biāo)是
，
.
【
設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解程度，加深對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.
例2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是
，
，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解：
方法一：由于橢圓的焦點(diǎn)在
軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
由橢圓的定義知
，則
，
所以
，
，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
方法二：由于橢圓的焦點(diǎn)在
軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.由橢圓的定義知
，則
，解得
，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
【
設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步理解橢圓的定義，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程，使知識(shí)內(nèi)化為素養(yǎng)，并在解題過(guò)程中感受解析幾何的思想，使數(shù)學(xué)概念在應(yīng)用中得以鞏固.
（七）課堂小結(jié)
【教師】哪個(gè)小組的同學(xué)來(lái)給我們歸納總結(jié)一下這一堂課所學(xué)的知識(shí)？談?wù)勀愕母惺苣兀?br />
【學(xué)生1】我們了解了圓錐曲線的由來(lái)，起源與發(fā)展.
【學(xué)生2】學(xué)會(huì)了怎樣去畫一個(gè)橢圓，了解了橢圓的定義，推導(dǎo)了橢圓的方程.
【教師】定義中的一些關(guān)鍵詞，大家一定要去注意.
1.了解了圓錐曲線的起源與發(fā)展.
2.橢圓的定義：
平面內(nèi)與
兩個(gè)定點(diǎn)
的
距離的和等于
常數(shù)（大于
）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)
叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
數(shù)學(xué)表達(dá)式：
3.學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【教師】留一個(gè)課后思考給大家，橢圓定義是怎樣產(chǎn)生的呢？.
（八）課后思考：橢圓定義是怎樣產(chǎn)生的？（學(xué)生自行查閱資料了解）
提示：事實(shí)上在19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家旦德林就想到一種絕妙的方法證明了這個(gè)問(wèn)題．他是怎么做的呢？這個(gè)證明方法叫Dandelin雙球證法，
【
設(shè)計(jì)意圖】給予學(xué)生提示，引發(fā)學(xué)生的好奇，拓展知識(shí)，開(kāi)闊眼界，讓學(xué)生學(xué)會(huì)查閱資料，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的精神，滲透數(shù)學(xué)家追求完美的理性精神．
（九）作業(yè)布置
1.
課后思考：橢圓定義是怎樣產(chǎn)生的？
提示：旦德林雙球，學(xué)生可以查資料進(jìn)行學(xué)習(xí).
2.復(fù)習(xí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程.
3.課本第109頁(yè)練習(xí)題1、2.
（十）板書設(shè)計(jì)
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(一）
注明：①若 ，則點(diǎn)的軌跡不存在；
 ②若 ，則軌跡為線段 . |
三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)在 軸上時(shí)，
焦點(diǎn)在軸上時(shí)，
學(xué)生板演 |
六、教學(xué)反思
1.本堂課設(shè)計(jì)了系列化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，設(shè)置了兩個(gè)小組實(shí)踐探究、動(dòng)手操作環(huán)節(jié)，小組實(shí)踐探究一，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)橢圓，拋物線、雙曲線可以由平面截圓錐所得.通過(guò)活動(dòng)，提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，讓學(xué)生了解圓錐曲線名稱的由來(lái)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、去發(fā)現(xiàn).小組探究活動(dòng)二（畫橢圓），讓學(xué)生在畫橢圓的過(guò)程中去觀察、感知橢圓的幾何特征，并通過(guò)橢圓的幾何特征抽象出橢圓的定義，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律的習(xí)慣.促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的提升.這兩處教學(xué)實(shí)踐探究的設(shè)置，做到了讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，把“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”的教學(xué)理念落到了實(shí)處.
2.本堂課是圓錐曲線的第一課時(shí)，課程內(nèi)容量大，在介紹圓錐曲線的由來(lái)、歷史與發(fā)展的過(guò)程中，借助微課視頻，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣，讓學(xué)習(xí)氛圍更生動(dòng)，也可以讓課堂在時(shí)間的使用上更高效。學(xué)生通過(guò)實(shí)踐探究和微課視頻了解圓錐曲線的由來(lái)、歷史與發(fā)展，在本冊(cè)書上一章中初步具備了運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的意識(shí)，基于這些背景，可以促使學(xué)生去思考總結(jié)圓錐曲線的研究思路，為下一步探究橢圓做準(zhǔn)備，用思路與方法去指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).
3.本堂課的教學(xué)難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，課堂中設(shè)置了一些有效的，循序漸進(jìn)的“問(wèn)題串”來(lái)解決本堂課所遇到的困難，讓學(xué)生通過(guò)“思考”，“觀察”，“探究”等環(huán)節(jié)來(lái)?yè)羝齐y點(diǎn).老師設(shè)問(wèn)引導(dǎo)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，再質(zhì)疑提出問(wèn)題，由同學(xué)之間相互研討解決問(wèn)題,讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，在實(shí)踐中去體悟，使學(xué)生的理性思維不斷走向成熟.該環(huán)節(jié)對(duì)運(yùn)算能力的要求頗高，學(xué)生會(huì)遇到運(yùn)算的困難，先讓學(xué)生自己嘗試，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)交流，解決問(wèn)題，使學(xué)生掌握含根號(hào)等式化簡(jiǎn)的方法與技巧，提高學(xué)生的計(jì)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升.這堂課中，真正實(shí)現(xiàn)了師生之間、組內(nèi)生生之間的有效合作學(xué)習(xí)，但如果在組與組的合作交流上能行動(dòng)起來(lái)，效果會(huì)更好。
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