視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《3.2.1單調性與最大（小）值（2）》廣西—王
本視頻配套資料的教學設計、課件 /課堂實錄及教案下載可聯本站系客服
第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《3.2.1單調性與最大（小）值（2）》廣西—王
《3. 2. 1 單調性與最大（小）值》教學設計（第2課時）
廣西南寧市第三中學 王學建
-
內容
函數最大（小）值.
-
內容解析
本節課選自人民教育出版社高中數學
A版必修第一冊第三章第二節《3. 2 函數的基本性質》. 《普通高中數學課程標準》（2017 年版 2020 年修訂）對本節內容的具體要求是能用代數運算和函數圖象揭示函數的主要性質；借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義. 能夠對簡單的實際問題，選擇適當的函數構建數學模型，解決問題.
函數的最大（小）值是函數的基本性質之一，它刻畫了函數值變化的極端情況，是變化中的不變性. 在現實世界的運動變化中，尋求最佳時機、最優方案等是常見的實際需求，而研究函數的最大（小）值為刻畫這種變化規律提供了方法. 從函數的性質來說，函數的最大（小）值與單調性聯系緊密，函數的單調性是函數在定義域的某個子集上具有的局部性質，最大（小）值是函數在整個定義域上的整體性質
. 明確函數在區間上的增減情況才能確定最大（小）值. 另外，函數的值域也與函數的最大（小）值有關系. 因此，函數的最大（小）值在數學內外都有重要的應用.
通過引入數學符號，進一步將“圖象的最高（低）點”轉化為精確的定量關系，從而使定性刻畫上升到定量刻畫，實現了變化規律的精確化表達. 這樣一種由具體到抽象、由圖形和自然語言到符號語言表達，從形象直觀到定性刻畫再到抽象語言刻畫的研究過程，體現了數學概念逐漸抽象、嚴格化的研究思路，既培養了學生的數學抽象和邏輯推理素養，又對其他概念的學習具有借鑒意義. 在利用函數定義、單調性求最大（小）值的過程中，發展學生的數學運算素養.
基于以上分析，確定教學重點：函數最大（小）值的定義的符號語言刻畫及應用.
-
目標
（1）借助函數圖象，體會變量變化時的規律性與不變性，會用符號語言表達函數的最大值、最小值；
（2）會利用函數最大（小）值的定義及單調性求函數的最大值、最小值；
（3）會根據問題情境，理解函數最大（小）值的作用和實際意義，體驗數學建模過程.
-
目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）學生經歷從圖象直觀到文字語言描述，再到符號語言刻畫的過程，知道用符號語言刻畫函數最大（小）值時，“任意”“存在”等關鍵詞的含義. 感悟通過引入“∀”“∃”“≤”“≥”的符號表示，把一個含有“無限”的問題符號化的方法，感受數學符號語言的魅力；
（2）學生從具體例子能夠利用函數最大（小）值的定義及單調性，按一定的步驟求出函數的最大（小）值；
（3）學生能從實際問題中抽象出函數最大（小）值，并說出其實際意義，體驗從實際問題到數學問題，再回到實際問題的數學建模過程.
學生在初中階段已經學習了一次函數、正比例函數、反比例函數和二次函數，重點研究了二次函數的最大（小）值，通過觀察函數的圖象，發現開口向下的拋物線有最高點，開口向上的拋物線有最低點，在拋物線的對稱軸處取到函數的最大（小）值，學生經歷了從圖象直觀到結論記憶的過程；在生活中，學生積累了部分求最短路徑、最多收益、最大高度等與最值相關的經驗.
在高中階段，要求用符號語言對一般函數的最值給出定義. 學生對自然語言和圖形語言的描述是熟悉的，通過前面函數概念與單調性的學習，學生已經具備一定的“抽象”能力，也掌握了一些符號語言的使用方法. 對于一般函數的最值定義的描述，學生能夠從自然語言和圖形語言來刻畫，用符號語言描述定義可能不完整，導致充分性和必要性缺失.
根據以上分析，確定教學難點是：符號語言的引入，對函數最大（小）值“存在性”和“任意性”的理解.
教學中，利用熟悉的二次函數，借助一定的教學媒體，如用信息技術展示函數的圖象，引導學生數形結合地歸納最大（小）值的本質特征，結合自然語言和圖形語言，用數學符號描述本質特征，逐步抽象出函數最大（小）值的定義，再通過辨析、舉例，對函數最大（小）值的內涵和外延深入理解. 最后通過例題，研究最值與單調性的關系，再用數學方法解決實際問題.
本節課的教學基于學生已有的知識和生活經驗，通過具體的例子，采用“問題導學法”，設置一系列問題串，依托“是什么？”“為什么？”“怎么樣？”的邏輯思維方法，研究有關最值的具體內容，例如“什么是最值？”“最值有幾個？”“如何求最值？”“最值與單調性有什么關系？”等等. 給學生設置一條從定性到定量、從粗糙到精確的歸納過程，引導學生逐步抽象出函數最值的概念. 在此過程中，給學生表達的機會，同時給予鼓勵，讓學生獲得成就感，提高學習興趣.
通過對定義中的關鍵詞分析，從“存在性”和“任意性”兩個方面深化概念的理解. 為使學生更好地理解最大（小）值的符號化定義，可利用信息技術，采用作圖等方式直觀地展現函數最大（小）值的本質特征，從而降低對概念內涵和外延理解的難度.
為了突破本節課的重難點，讓學生更好地理解最值定義中的“任意性”，刻意調整了課本例題的呈現順序. 將例5提前到函數最值概念深化環節，讓學生理解函數單調性在回答“任意性”中的重要作用. 同時，通過例5中具體的函數，讓學生更具體地體會到利用函數單調性求最值的優點. 課本中例4以“煙花最佳爆裂時刻”為背景，為學生應用函數模型提供材料，因此將例4放在應用探索環節，引導學生從圖象與單調性兩個角度解答問題，培養學生從多角度分析問題，解決問題.
引導語：“詩圣”杜甫在《望岳》中詩句“會當凌絕頂，一覽眾山小”描繪了山頂的絕妙風景. 周末我們去爬山，我們在山的最高處拍一個合照，請問哪里是山的最高處？
問題1
：我們如何判斷到達了山的最高處？
師生活動：教師利用
PPT展示實際情境，學生容易回答
D點是最高點，追問學生判斷最高點的依據，引導學生用數學的觀點描述問題，觀察發現山的輪廓可以抽象為函數的圖象，水平位移是自變量，海拔高度是函數值，山頂可以抽象為函數圖象的最高點，山頂的海拔高度可以抽象為函數的最大值，引導學生自主建模. 教師板書標題，引出研究問題.
設計意圖：通過實際情境引入本節課研究的問題，明確研究的對象；開展數學建模活動，將實際問題抽象為數學問題，激發學生的學習熱情，用生活實例達到育人目的；挖掘古詩詞與數學概念的關系，形象地反映了“最大值”的本質屬性，既弘揚了傳統文化，又緊扣主題.
問題2
：如何求函數的最大（小）值？請舉例說明.
師生活動：引導學生舉出具體的例子，例如：
的最大值為0. 追問：為什么0是最大值？
預設：從圖象上看，是開口向下的二次函數，頂點坐標為（0,0），即在對稱軸處取到最大值0；從解析式上看，
恒小于0，則最大值為0.
教師通過
GeoGebra畫板動態演示函數圖象上動點縱坐標的變化情況，引導學生明確最大值的本質特征：從圖象上看，任意一點的縱坐標都不超過最高點的縱坐標；從函數的要素來看，該函數的所有函數值都不大于函數的最大值.
設計意圖：通過對具體的函數的最大（小）值的研究，再從特殊到一般，是認識事物的基本規律，也是數學重要的思想方法. 教師引導學生利用已有的經驗，從函數圖象和解析式入手，用自然語言描述函數的最大（小）值. 建立函數模型后，引導學生對模型進行分析、求解.
問題3
：你能否用數學語言刻畫函數
的最大（小）值？
師生活動：引導學生將上述特例推廣到一般情形，學生先獨立思考或小組討論，然后組織全班交流. 教師根據學生的回答，引導學生用符號語言表示“任意”“所有”“不超過”“不大于”，啟發學生明確先要給出函數
的定義域為
I，存在一個實數
M，讓學生說出“（1）
，都有
；（2）
，使得
”. 教師總結：這里借助符號語言，給出了最大值
M是最大的函數值的本質特征，兩個條件缺一不可，條件與結論互為充要條件.
設計意圖：這個環節是本課的重點，也是難點，其核心是通過具體到抽象的過程，讓學生學會用嚴格的符號語言刻畫“函數圖象的最高點”. 以具體的函數為例，借助信息化技術展示圖象上其他點與最高點的關系，通過圖象直觀感受隨著自變量的變化，函數值變化中的不變性. 同時通過問題串，設法讓學生抓住最大值的本質特征，不斷精確化、符號化，引導學生體會借助符號語言簡潔表示圖象特征的威力，并有效突破最大值定義中兩個條件缺一不可的難點.
需要注意的是，用數學符號語言刻畫一個涉及“無限取值的問題”時，多數學生很難獨立想到其中的數學方法，所以在教學中，教師采取啟發式講解，將重要的關鍵詞“任意”“不大于”指出來，引導學生逐步將定義的本質特征符號化，層層遞進，突破難點.
追問：你能仿照函數最大值的定義，給出函數
的最小值定義嗎？
師生活動：引導學生明確，任意函數值都不小于最小值，引導學生學會用類比的方法獲得最小值的概念.
設計意圖：類比函數最大值的定義，讓學生模仿給出函數最小值的定義.
函數的最大值與最小值統稱為函數的最值.
注意到定義中第二個條件，最大（小）值是其中一個函數值，因此函數最大（小）值的定義還可以如下表述：
如果有
，使得不等式
對一切
成立，就說
f (
x)在
處取到最大值
稱
M為
f(
x)的最大值，
為
f(
x)的最大值點.
如果有
，使得不等式
對一切
成立，就說
f (
x)在
處取到最小值
稱
N為
f(
x)的最小值，
為
f (
x)的最小值點.
師生活動：教師引導學生注意定義中的關鍵詞，給出函數最值定義的另一種表述. 引導學生理解函數最大（小）值是整個定義域上的整體性質.
設計意圖：深化概念的理解，明確模型的特征. 進一步體會符號語言表示數學概念的魅力. 審美教育是培養學生認知美、喜歡美、欣賞美、進而創造美的能力的教育. 數學學科在其內容、結構和方法上具有特殊的美，數學的圖象、符號、公式、概念、思想方法，無不蘊含著美
. 教師努力讓學生學會用數學的語言表達世界，用簡潔、優美的數學關系表達事物的內在規律，提高對美的理解和追求，這是數學美育的重要任務.
問題4
：是不是所有的函數都有最大（小）值？請舉例.
師生活動：先獨立思考，再集體交流，學生容易舉出一次函數、二次函數的例子，教師引導學生根據定義說明有無最值的原因.
教師提醒學生函數的表示方式有三種：解析法、圖象法、列表法，讓學生展開討論，舉出其他表示法表示的函數例子. 教師投影展示學生的例子，然后展示
PPT上的例子（來源于前面章節出現過的函數），全班討論交流最值存在與否的情況
.
追問：函數取到最大（小）值時，
x的取值可能有多少個？
師生活動：教師引導學生觀察前面例子，容易發現
x的取值的個數可能是1個，2個，3個，. . . . . . ，甚至是無數個，教師要求學生舉出“無數個”的例子. 學生可能舉出周期函數的例子，教師通過
GeoGebra畫板畫圖進行驗證.
設計意圖：只有充分認識概念的內涵與外延才能真正理解概念，前面的活動給出了函數最值的定義，需要更進一步探討最值是否存在？有幾個？等問題. 需要說明的是，學生所舉的例子可能比較單一，因此教師引導學生明確函數的三種表示法，所舉的例子中包含解析法、列表法、圖象法表示的函數
. 通過師生共同舉例，在對比中理解概念，在實踐中深化概念，解決了概念“是什么”的問題
. 對定義中“存在性”進一步探討，幫助學生對數學模型的特征深入理解.
問題5
：如何說明定義中的“任意性”？
師生活動：引導學生明確說明“任意性”的困難，理論上需要將函數值一個一個地比較，但是這顯然不可行. 引導學生利用函數單調性的本質特征來說明，讓學生明確函數單調性描述了隨著自變量的變化，函數值在增大或者減小，正好是函數值的大小作比較，因此可以先證明單調性，再求最值.
PPT展示課本例5，引導學生通過具體的例子來說明.
（課本81頁例5）已知函數
，求函數的最大值和最小值．
教師引導學生明確：（1）利用定義證明單調性的五個步驟：取值→作差→變形→定號→結論.
（2）結合圖象，指出函數
f(
x)在閉區間[
a,
b]上的最值與單調性的聯系.
設計意圖：借助函數的單調性求函數的最大值和最小值是本課的重點，是研究問題的“怎么樣”環節，通過問題串強調證明函數單調性的重要性，證明了函數在給定閉區間上是單調的，就能說明函數在區間端點取到的函數值是函數的最大（小）值. 通過設置問題，引發沖突，給學生提供比較、分析、歸納、綜合的機會，幫助學生在解決問題中領悟數學思維的嚴密邏輯性，充分感受到數學思維的合理性與必然性，達到“思維育人”的目的.
例1
. （課本80頁例4 ）“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂．如果煙花距地面的高度
h (單位:
m) 與時間
t (單位:
s) 之間的關系為
，那么煙花沖出去后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1
m）？
師生活動：先讓學生獨立思考“爆裂的最佳時刻”的含義，建立實際意義與函數最大值的聯系；教師強調實際問題要注意定義域的實際意義. 引導學生利用函數圖象得到函數的最大值.
解法一：拋物線的頂點坐標為
，開口向下的拋物線在頂點處取到最大值.
即當
時，
函數有最大值
解法二：開口向下的拋物線，函數在對稱軸左邊區間單調遞增，在右邊區間單調遞減. 先說明二次函數的單調性，可得最大值在對稱軸處取到.
實際問題的數據一般不是很簡潔，運算量比較大，教師通過板書，引導學生關注數據的特征，通過運用適當的運算律簡化運算.
設計意圖：本例要使學生體會函數模型可以用來刻畫現實世界中的現象，回答了“為什么”要研究函數的最大（小）值的問題，學生通過思考“爆裂的最佳時刻”與函數最大值之間的關系，將實際問題轉化為二次函數的最大值問題，體會數學建模的意義，達到“生活育人”的目的
. 教師板演運算過程，演示復雜數據的簡便算法，教會學生“基礎知識、基本技能”的同時，給學生樹立克服困難的信心.
回答下列問題：
1. 本節課從哪些方面研究了函數的最大（小）值？
2. 你認為本節課知識產生的主要過程是什么？
師生活動：學生獨立思考的基礎上回答，教師再進行歸納
.
設計意圖：（1）讓學生體會研究問題的基本思路是回答三個問題：是什么？為什么？怎么樣？具體到本節課的內容即是研究了函數最大（小）值的定義，通過定義、單調性求函數的最值，以及解決實際情境中的最值問題三個方面. 明確本節課學習的“明線”.
（2）使學生體會從實際問題出發，抽象出函數模型，然后研究模型，求解模型，最終應用模型的數學建模過程，引導學生認識到數學是有用的. 體會本節課學習的“暗線”.
1
. 設函數
的定義域為
. 如果
在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增，畫出
的一個大致圖象，從圖象上可以發現
是函數
的一個_________.
設計意圖：考查學生通過單調性畫出函數的大致圖象，然后通過圖象觀察得到函數的最值
.
2
. 已知函數
，求函數在區間
的最大值和最小值.
設計意圖：考查學生利用單調性求函數的最大（小）值，考查學生利用單調性定義進行證明的步驟和方法.
3
. 如圖所示，動物園要建造一面靠墻的兩間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是30
m，那么寬
x (單位：
m)為多少時才能使所建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室的最大面積是多少？
設計意圖：考查學生對實際問題的數學建模，考查學生利用函數的最值解釋實際問題.
本節課以“明線”和“暗線”兩個思路展開教學. “明線”：是情境引入→概念形成→概念深化→應用探索. 從尋找山峰的最高點引入情境，通過舉例，用具體函數總結出最值的本質特征，讓學生歸納出最值“是什么”，即用符號語言刻畫函數的最值的定義，然后對函數最值的“內涵”和“外延”進行深入探究，從定義中的“存在性”和“任意性”入手，探究函數最值的個數及最值與單調性的關系，回答“怎么樣”，最后通過生活中的實例，體會函數最值的應用，回答“為什么”的問題. “明線”融入“思維育人、審美育人”，體現函數單元探究函數性質的一般思路，為后續學習提供研究辦法，積累基本知識與基本思想.
“暗線”是數學建模的基本過程，背景材料→模型建立→模型分析與求解→模型應用，尋找山峰的最高點是生活中的實際問題，通過建立函數最大值的模型，研究函數最值的定義與解法，即模型分析與求解，最后通過實際問題應用模型. “暗線”融入“生活育人、活動育人”，讓學生積累應用數學模型解決實際問題的基本技能和基本活動經驗，體會數學在解決實際問題中的有效作用，通過滲透數學建模活動，培養學生發現和提出問題的能力，以及分析和解決問題的能力，鼓勵學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維理解世界，用數學的語言表達世界. 兩條線索，明暗并行，圍繞“立德樹人”的目標，為發展學生“四基四能”提供保證.
函數的最值在高中數學中有很多應用，最值的求法紛繁復雜，本節課所舉的例題比較簡單，缺少課堂練習題，對于學生掌握的基本技能鞏固不夠，稍感意猶未盡.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
| -----更多視頻請在本頁面頂部搜索欄輸入“第十一屆全國高中”其中的單個詞或詞組，搜索以字數為3-6之間的關鍵詞為宜，切記！注意不要輸入“科目或年級等文字”。本視頻標題為“第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《3.2.1單調性與最大（小）值（2）》廣西—王”，所屬分類為“高中數學優質課視頻”，如果喜歡或者認為本視頻“第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《3.2.1單調性與最大（小）值（2）》廣西—王”很給力，您可以一鍵點擊視頻下方的百度分享按鈕，以分享給更多的人觀看。優質課網 的成長和發展，離不開您的支持，感謝您的關注和支持！有問題請【點此聯系客服QQ：9899267】 ----- |
