視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示高中數學必修第一冊（人教A版）第五章5.2.2《同角三角函數的基本關系》
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示高中數學必修第一冊（人教A版）第五章5.2.2《同角三角函數的基本關系》
課堂教學設計——同角三角函數的基本關系
《高中數學必修第一冊 》（人教A版）第五章5.2.2
福建省福州第一中學曹仁劍
一、教學內容解析
（1）內容：本節課選自普通高中教科書《數學必修第一冊（人教A版）》第五章5.2.2同角三角函數的基本關系，主要內容是同角三角函數的基本關系.
（2）內容解析：從三角函數的定義可知，三角函數的基本性質就是圓的幾何性質的直接反映．因此，與圓的幾何性質建立聯系，為發現三角函數的性質提供思路，發現三角函數的基本關系后，利用關系解決三角函數中求值，恒等變形等問題．
本單元內容是建立周期性變化的數學模型，以函數的觀點探究三角函數的圖象和性質，解決一些簡單的實際問題．本節在建立三角函數的概念后發現同角三角函數的內在聯系，為三角函數求值，從而得到三角函數的圖象打下基礎．
本節課的教學重點是同角三角函數基本關系的發現，認識同角三角函數的基本關系和應用這個關系．
二、目標與目標解析
目標：理解同角三角函數的基本關系式：，，體會三角函數的內在聯系性，通過運用基本關系式進行三角恒等變換，發展數學運算素養．
目標解析：完成上述目標的標志是學生能利用定義以及單位圓上點的橫、縱坐標之間的關系，發現并得到“同角三角函數的基本關系”，并能用于三角恒等變換．
三、教學問題診斷分析
學生已有基本初等函數的學習經驗，但是三角函數的內在聯系性比較特殊，學生在基本初等函數的學習中沒有這種經驗，而且學生從聯系的觀點看問題的經驗不足，對“如何發現函數的性質”認識不充分等而導致發現和提出性質的能力不足，為此，需從思想方法上加強引導探究同角三角函數的基本關系．
四、教學策略分析
本節課同角三角函數關系的結論很簡單，但是關系的生成重要，所以需引導學生有序地探究出結論，從而體驗數學中定義生成后探索對象一般規律的過程，培養學生探索新知的意識；得到同角三角函數關系后，為了使學生逐漸熟悉結論，掌握結論的應用，采取引導學生利用代數運算嘗試各種結論的變化形式，激發學生的創新意識.
五、教學過程設計
環節一：復習舊知識，鋪墊新探索
教師問題1：在昨天的課堂上我們學習了三角函數的概念和一組誘導公式，它們分別是什么？
學生1：角的終邊和單位圓的交點
，正弦定義為縱坐標
，余弦定義為橫坐標
，正切定義為
．誘導公式一：
．
環節二：探究新公式，理解新公式
教師問題1：終邊相同的角的同一三角函數值有相等關系，那么，終邊相同角的不同三角函數值之間是否也有某種關系？為什么？
學生1：終邊相同的角的三個三角函數值是由同一個點得到的，所以它們必然有關系．
【設計意圖】三個三角函數值之間如果沒有關系，則沒有研究的必要，通過問題引導學生明確探索的方向，堅定探索的信心．
教師問題2：終邊相同的角有無窮多個，那么，如何研究多個角的三角函數值的關系？
學生2：因為終邊相同的角的三個三角函數值相等，所以只要用一個角代替所有終邊相同的角．
【設計意圖】利用誘導公式一，簡化探究內容．
教師問題3：如何探索？已知什么？能得到什么？
學生3：已知三角函數的定義，容易得到
．
【設計意圖】引導學生利用聯系的觀點進行探索，利用運算發現基礎關系．
教師問題4：還有什么關系？三角函數是用點
的坐標定義的，那么坐標的含義是什么？啟發我們如何探究？
學生4：坐標的含義啟發我們利用幾何意義進行探究．
【設計意圖】引導學生利用聯系的觀點，把代數問題轉化為幾何問題．
教師問題5：
和
有什么關系？
學生5：根據勾股定理，得到
，所以
．
【設計意圖】引導學生通過幾何直觀聯系到直角三角形，從而聯系到勾股定理，得到線段長的數量關系，從而探究出三角函數的平方關系．
教師問題6：
就是
，
就是
嗎？
學生6：不是，絕對值才對．
教師問題7：
任何時候都成立嗎？
學生7：不是，要有直角三角形，也就是點
不在坐標軸上．點
在坐標軸上時，結論依然成立．
教師問題8：
任何時候都成立嗎？
學生8：不是，須要
有意義，
，也就是角的終邊不在
軸上，即
．
【設計意圖】引導進行反思，思考推理的嚴謹性．
環節三：總結新知識，應用新知識
教師總結：我們得到了同角三角函數的基本關系：①平方關系：
；②
（
）．式子的結構特征：同一個角的正余弦的平方和為
，正余弦的商為該角的正切值．
【設計意圖】幫助學生理解記憶公式．
教師問題１：公式有什么用途？
學生1：已知同一個角的正弦值可以求出余弦值，類似地，已知余弦值可以求出正弦值；進而已知角的正弦或余弦值，可以求正切值．
學生２：同一個角的三個三角函數值已知一個可以求出另外兩個．
【設計意圖】以方程的觀點理解公式．
例１：已知
，求
，
的值.
分析：應用公式求解，問題在開方時符號的確定，所以需要對角的終邊位置討論.
解：由
且
得，
是第三象限或第四象限角，
由
得
，
若
是第三象限角，則
，
；
若
是第四象限角，則
，
．
【設計意圖】具體的例子讓學生體驗三角函數基本關系的應用，解答過程中也鍛煉了學生運算的能力和分類討論能力．這樣的例題可以直接地呈現本節課的主要內容，培養學生邏輯推理和數學運算的核心素養．
變式１：已知
是第三象限角，
，求
，
的值.
分析：很難應用公式直接求解，把兩個公式合在一起，建立方程解決問題，兩個方程兩個未知數，消元求解．
解：由
是第三象限角得，
且
，
，
由
得
，代入
，
得
，所以，
所以，．
【設計意圖】在例題１的基礎上，把數值運算提升為字母運算，把公式的直接運算提升為方程思想解題，逐步提升運算求解能力．
教師問題２：由變式１，把
用
代回，得到一個恒等式：，你能證明嗎？
學生３：右邊右邊，所以等式成立．
學生４：左邊右邊，所以等式成立．
【設計意圖】由方程得到恒等式，對恒等式尋求證明方法，幫助學生深入理解公式的結構和含義；引出恒等式證明問題，尋求恒等式證明的一般方法——“化同”；在“化同”的一般方法下，引導學生體會“齊次化正切”的特殊方法．
環節四：探索新恒等式
教師問題：由同角三角函數的基本關系經過一些代數運算，可以得到一些新的恒等式，你能用運算的方法探索出一些恒等式，并給出證明嗎？
學生：展示各自的結果．
【設計意圖】開放性的問題激發學生的創新能力和創新意識．在利用基本關系探究恒等式的過程中，讓學生不斷強化對基本關系的理解，并體驗共同學習合作探究的過程．
環節五：學生小結歸納，教師點評總結.
教師問題：歸納小結一下這節課的主要內容：
１．認識了同角三角函數的兩個基本關系，得到了利用基本關系求三角函數值的方法，得到了簡單的三角恒等式的探索和證明方法；
2．體驗了從定義出發探索三角函數基本關系的思維過程；
【設計意圖】歸納梳理本節課主要內容，鞏固學到的知識．
五、課堂教學目標檢測
1．教科書第185頁第6題，第12題，第13題
【設計意圖】考查同角三角函數的基本關系．
2．教科書第186頁第15題
【設計意圖】考查同角三角函數的基本關系，代數運算能力．
3．教科書第186頁第18題
【設計意圖】考查同角三角函數的基本關系，代數運算能力，從特殊到一般的方法．
4．寫出一些三角恒等式（不同于課上已有的），并給出證明
【設計意圖】考查同角三角函數的基本關系，代數運算能力．
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