視頻簡介：
視頻標簽：第十一屆全國高中青年
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《正弦定理（第一課時）》廣西—屈
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《正弦定理（第一課時）》廣西—屈
正弦定理（第一課時）
(1)教學內容的內涵、數學思想方法、核心與教學重點；
本節教學內容出自北師大版《普通高中教科書數學必修第二冊》，第二章《平面向量及其應用》，6.1節《余弦定理與正弦定理》.
正弦定理揭示了在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等這一規律，與初中所學“大邊對大角，小邊對小角”定性刻畫不同，正弦定理給出了任意三角形的邊、角關系的定量刻畫.
學生借助銳角三角函數定義，先在直角三角形中發現正弦定理，接著通過把一般三角形轉化為直角三角形，從而分別在銳角三角形和鈍角三角形中證明正弦定理.這一過程借助了分類討論，轉化化歸和數形結合的數學思想，通過經歷這一過程，形成“特殊到一般”的研究方法，這種思想方法常用于發現規律，證明結論.
正弦定理屬于三角學知識，運用正弦定理能處理可轉化為三角形計算的數學問題，它作為重要工具解決生產、生活中的實際問題，體現了數學的應用價值和正弦定理的核心地位.
綜合上述分析，確定本節課的教學重點是：正弦定理的發現和證明及其簡單應用。
(2)教學內容的知識類型；
在本節教學內容中，包含了四種知識類型。正弦定理的相關概念屬于概念性知識，正弦定理的符號語言表述屬于事實性知識，發現—證明—解析—應用的過程研究正弦定理屬于程序性知識，從特殊到一般、先猜想后證明、從感性到理性等研究問題的一般方法，屬于元認知知識.
(3)教學內容的上位知識與下位知識；
在本節教學內容中，直角三角形的邊角關系是正弦定理的上位知識，銳角三角形中的“作高法”、“外接圓法”是證明正弦定理的上位知識，正弦定理的比值等于該三角形外接圓直徑及正弦定理的應用是正弦定理的下位知識.
(4)思維教學資源與價值觀教育資源；
在直角三角形中發現正弦定理過程，能引發觀察發現思維；正弦定理證明過程中把一般三角形轉化為直角三角形，是轉化化歸思維的好資源，是樹立辯證唯物主義價值觀的好契機；在直角三角形中發現、幾何畫板直觀驗證再到在一般三角形中證明正弦定理的過程，是引發由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明思維的好材料，樹立了“事物是普遍聯系的”價值觀；正弦定理其實是把“大邊對大角、小邊對小角”這一幾何關系的解析化，從三角學的歷史發展來看，三角函數其實就是有關三角形、圓的性質的解析表達.這樣在悄無聲息中，滲透了學科發展中研究觀點和研究方法的嬗變，這其實是一個推陳出新的過程，促進創新意識的發展，樹立了“事物是不斷變化發展”價值觀.
本課教學以《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下統稱為“課標”）為基本依據，以“立德樹人”作為根本目標設置.
“課標”主題三模塊對本單元內容要求是：幫助學生理解平面向量的幾何意義和代數意義；掌握平面向量的概念、運算、向量基本定理以及向量的應用；用向量語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的問題.
“課標”主題三模塊對本單元學業要求是：能夠從多種角度理解向量概念和運算法則，掌握向量基本定理；能夠運用向量運算解決簡單幾何和物理問題，知道數學運算和邏輯推理的關系，重點提升邏輯推理和數學運算核心素養.
“課標”對本課課節教學內容要求是：探索三角形邊長和角度關系，掌握正弦定理.
為盡好達到以上要求，結合學生實際，本課課堂教學目標設置如下：
1.目標
（1）經歷觀察、發現正弦定理，并用“做高法”和“外接圓法”證明正弦定理的過程，體會“特殊到一般”的研究方法和分類討論、轉化化歸、數形結合等數學思想，同時提高邏輯推理、數學運算核心素養，知道數學運算和邏輯推理之間的關系，發展創新意識；
（2）經歷對正弦定理內容賞析和簡單應用的過程，感悟正弦定理審美價值和應用價值.
2.達成目標的標志
達成目標（1）的標志是經過老師引導，學生獨立思考、課堂交流、合作探究后，能發現、歸納出正弦定理，并用“做高法”、“外接圓法”完成正弦定理證明過程；
達成目標（2）的標志是學生能用文字語言和符號語言描述正弦定理內容；概況出正弦定理符號表達式的結構特點具有對稱美、和諧美；清楚用正弦定理解三角形的題目類型；能獨自完成課堂的引例和例1.
（1）學生已有基礎
學生在初中學過了平面幾何的相關知識，能夠熟練的解直角三角形，懂得作輔助線解決幾何問題.本學期也剛剛學過三角函數和平面向量，在本節的理解上不會有太大問題.同時本節內容是緊跟在余弦定理之后學習的，為探索新的邊角數量關系埋下種子，學習余弦定理時用到的數學思想可以遷移到正弦定理的學習中，尤其是余弦定理的證明方法也為正弦定理提供借助向量進行證明的思路角度；
通過小學、初中和高中階段的學習，學生已經熟悉數形結合和分類討論的數學思想，也接觸過轉化化歸數學思想以及“特殊到一般”的研究方法.具備了觀察發現，邏輯推理，自主探究的基本能力，培養了一定的數學學習興趣，對知識好奇、愿意合作探究、分享交流.
（2）即將面臨的問題
學生雖然有一定的觀察分析和解決問題的能力，但是在前后知識的串聯上會有一定的難度，較難想到用“外接圓法”證明正弦定理.正弦定理的證明過程需要學生對前后知識有比較強的靈活和綜合運用能力并且能熟練運用轉化化歸的數學思想解決問題；還需要掌握把一般三角形化為直角三角形的知識、思想和方法;需要比較高的數學運算和邏輯推理能力，知道數學運算和邏輯推理的關系，能把數學運算和邏輯推理有效結合解決問題.
基于以上分析，本節課的教學難點為：正弦定理的證明.
（3）難點及難點突破技巧
難點1：用“做高法”在銳角三角形中證明正弦定理
1.這個差異是學生對運用轉化化歸的數學思想解決問題還不夠熟練，需要先在銳角三角形中通過“做高”構建直角三角形來證明，而不是直接證明，可以通過老師點撥來消除差異.
2.這個差異是無目的的計算恰巧得到正弦定理，而不是通過分析目標式，在邏輯推理的指引下有方向的去進行數學運算，可以通過完成證明后教師點撥而讓大家知道是通過兩個直角三角形的公共邊建立等式完成證明的，讓學生知道邏輯推理和數學運算是有關系的，為鈍角三角形中證明正弦定理打下基礎.
難點2：用“做高法”在鈍角三角形中證明正弦定理時高線落在三角形外部的情況
這個差異是從學生單獨利用銳角三角函數定義證明正弦定理到通過銳角三角函數定義和三角函數誘導公式的綜合運用證明正弦定理，這里對知識掌握熟練，知識綜合運用能力較強的學生可以通過獨立思考自主消除差異，其他同學可以通過尖子生引領進行板書分享來消除差異.
難點3：用“外接圓法”在銳角三角形中證明正弦定理
差異是學生不清楚整個證明過程中用到的知識、思想和方法，通過采用獨立思考、組內、組間分享交流的教學活動由學生自主消除差異.
難點4：用“外接圓法”在鈍角三角形中證明正弦定理時處理鈍角的情況
差異是學生沒有想到利用“圓的內接四邊形對角互補”把鈍角轉化為銳角再進行證明，并且對圓的性質和三角函數誘導公式的綜合運用能力較弱. 這個差距多數需要教師設置有效教學環節幫助消除,本部分是放在完成了銳角三角形中證明正弦定理之后進行的，已經有了一定經驗，本環節采用獨立思考、組內、組間分享交流的教學活動 ，并在老師個別指導下進行，是以表格導學的方式呈現探究任務，同時細化了探究任務，進而攻克難點.
四、教學策略分析
（1）教學材料分析；
以人教版必修五中提到在1671年，兩位法國天文學家利用正弦定理計算出地月距離作為現實依據，設置以我國今年9月成功發射的遙感三十六號衛星新聞視頻引發愛國情懷和國家自豪感，同時提出估算一個低軌道衛星距離觀測者的距離作為情境導入，進而引發認知沖突激發學生學習興趣；為讓學生加深對正弦定理理解，得到其比值，也為接下來用“外接圓”法證明正弦定理作鋪墊，創造性的活用教材，合理調整教材內容順序，既保持了知識連貫性又分散難度；為讓學生加強對正弦定理的應用，層次遞進，設置引例和例1.
(2)教學方法分析;
本課教學內容重點是正弦定理的發現和證明及其簡單應用，要求學生有較高的知識綜合運用能力，故借助幻燈片、投影、幾何畫板、微課等多媒體技術的教學手段，采用觀察發現式、問題啟發式、合作討究式的教學方法.
（3）設計“問題串”的分析;
依據學生認知規律，從問題1至問題5，“問題串”的設計體現了由特殊到一般，從感性到理性、先猜想后證明的脈絡，有利于形成后續研究問題的一般方法，“問題串”的設計也體現了發現—證明—理解—應用的研究模式，引導學生數學思維，拉升思維高度，激發了探索欲望.
(4)縮小認知差距的分析;
通過設計探究、發現與合作交流，讓學生全程參與新知識的形成過程，及時獲得評價與反饋；通過問題的合理設計激發興趣，在師生互動、生生互動中，體驗知識與方法的生成過程，形成學生主動參與，自主與合作探究的課堂氣氛，為不同認知基礎的學生提供相應的學習機會和適當幫助.
(5)學習反饋的分析;
通過課堂觀察學生狀態、提問、板書、投影等方式來考察學生對知識的思考、學習和掌握程度并及時采取恰當的補救措施.通過提問和讓學生板書鈍角三角形中證明正弦定理過程反饋“做高法”證明正弦定理；通過學生完成探究任務1和探究任務2反饋“外接圓”法證明正弦定理證明過程；通過引例和例1反饋對正弦定理的理解和應用；通過課堂小結反饋學生的知識、方法、思想、學法上的收獲.
五、教學過程
(一)教學流程
（二）教學過程
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教學環節 |
教師活動 |
學生活動 |
設計意圖 |
創設情境
設問導學 |
視頻：2022年9月26日21時38分，我國在西昌衛星發射中心使用長征二號丁運載火箭，成功將遙感三十六號衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道，發射任務圓滿成功。
引入：看到這里，我們不禁為我們的祖國感到無比自豪。與此同時，同學們有沒有想過，衛星距離我們到底有多遠呢？能用我們所學知識進行估算嗎？下面是為測量某低軌道衛星獲取的一些數據：B、C兩地相距1200km,兩位觀測者在B、C兩地同時觀測同一顆衛星A，在B處記錄的仰角是60°，在C處記錄的仰角是75°，請問，衛星距離C地大概有多遠？
引例：如圖建立數學模型，如何求AC的距離？
設疑：這里已知兩角及夾邊，能用余弦定理直接求解嗎？
引導：需要我們繼續探索一般三角形新的邊角關系。 |
觀看視頻
獨立思考
集體回答 |
1．通過新聞視頻，激發學生愛國情懷和國家自豪感；
2.通過引例產生認知沖突，感受學習正弦定理的必要性，激發學生學習興趣；
3.提升學生數學抽象、數學建模核心素養. |
特例探尋
提出猜想 |
 設疑：【問題1】在直角三角形中，通過對角的正弦觀察，您能發現邊角新的數量關系嗎？
引導：
設疑：【問題2】這是在直角三角形中得到的，那么在任意三角形中，這個關系式是否仍然成立呢?
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獨立思考
集體回答
單獨回答
認知傾聽 |
1.以問啟思，從學生知識最近發展區設置問題1，引導學生從直角三角形中發現、歸納出正弦定理.
2.問題1和問題2引導學生感受“特殊到一般”的研究方法. |
幾何畫板
直觀驗證 |
1.驗證：幾何畫板驗證結論
引導：幾何畫板驗證過就算證明了嗎？ |
動手操作
觀察發現
集體回答 |
1.讓學生動手操作，用幾何畫板直觀驗證，感知結論正確，提高教學時效性，并為后續分類討論推導定理作鋪墊；
2.引導學生由感性認識過渡到理性思維. |
邏輯推理
證明猜想
形成定理
理解賞析 |
設疑：【問題3】你能理性證明得到的猜想嗎？
啟發：直角三角形中等式已經成立，能否化生為熟，把銳角三角形轉化為直角三角形來完成證明？如何轉化？
展示：
導思：如何建立等式？
設疑：類比銳角三角形中證明過程，你能給出鈍角三角形中的證明嗎？
展示：
設疑：你能用文字語言描述它嗎？
板書：
引導：你覺得正弦定理美嗎？體現出哪些美？
剖析：【問題4】利用正弦定理可以解決哪類解三角形問題呢？
板書：
兩角一邊；
兩邊和其中一邊的對角.
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獨立思考
同桌交流
個別發言
完成證明
認真傾聽
反思總結
投影展示
板書分享
生生互評
獨立思考
口答分享
板書分享
個別展示
認真傾聽
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1.引導學生用代數推理證明猜想，培養理性思維；
2．啟發引導學生由幾何畫板操作過程想到按銳角三角形和鈍角三角形分類證明，讓學生感悟分類討論的數學思想；
3．從已經構建的知識結構為切入點，經過老師引導點撥，讓學生想到通過構造直角三角形和建立等式完成證明，讓學生體會轉化化歸的數學思想；
4.提升學生的邏輯推理和數學運算核心素養.
1.用符號語言，文字語言概括出正弦定理，培養學生數學表達能力；
2.引導學生賞析定理，感悟定理美學價值；
3.通過問題4讓學生加深對定理理解，感悟數學應用價值；
4.通過學生獨立思考得到運用正弦定理可以解決的兩類解三角形題目類型，領悟方程思想. |
應用定理
解決問題
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 范例：【引例】
投影：
范例：【例1】
 
投影：
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自主解答
投影展示
生生互評
板書修正 |
1.層次遞進設置引例和例1，讓學生加強對正弦定理的理解和應用，領悟方程思想；
2.學生通過完成引例，體驗成功的自豪感，首尾呼應；
3.利用投影儀投影學生作業既提高課堂時效性又可以反饋學生學習情況并進行補救教學；
4.提升學生數學運算和邏輯推理素養. |
挖掘定理
拓展深化 |
引導：至此，大家對正弦定理的學習滿意了嗎？想揭秘這個“比值”是什么嗎？
設疑：下面我們繼續探究，來揭曉正弦定理中神秘的“比值”，請看課本例5，如何證明？
范例【例2】
設疑：【問題5】對于銳角三角形、鈍角三角形，上述結論還成立嗎？
探究：請同學們先獨立思考，然后先組內后組間交流，完成表格中的探究任務1，探究任務2.
展示：
歸納：對比正弦定理兩種方法你有什么感悟？
微課：通過學習，了解了正弦定理及其證明過程，同學們還想了解正弦定理發展簡史嗎？ |
獨立思考
組內交流
組間交流
投影展示
個別回答
反思總結
師生共評
觀看微課 |
1.為讓學生加深對正弦定理理解，得到其比值，也為接下來用“外接圓”法證明正弦定理作鋪墊，活用教材，把課本例5從第2課時提前，作為本節課的例題2；
2.“元認知”策略，挖掘知識內涵，深化知識理解；
3. 采用學案導學，分組攻克的教學策略，提高課堂效率，突破難點；
4.組織學生獨立思考、組內交流討論、組間交流、老師總結完善的師生、生生互動活動，培養學生樂于思考的習慣和敢于表達、交流的能力；
5.發展學生邏輯推理和數學運算的核心素養；
6.利用微課介紹正弦定理發展簡史，滲透數學文化，點燃學生探尋證明正弦定理的其它方法.
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課堂小結
回顧總結 |
歸納：請你從知識、思想和方法等角度談談本節課的收獲？
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集體回答
個別回答
傾聽回顧
概括總結 |
1.培養學生歸納概括及反思能力，提升學習境界. |
課后作業
鞏固提升
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一、必做作業：課本 練習1,2.
二、選做作業：
（1）探究作業：探究用向量法證明正弦定理
（2）活動作業：查閱正弦定理發展簡史,寫出查閱收獲 |
自主解答 |
1.分層作業，激發興趣，挖掘潛能;
2.以數學家華羅庚的名言與生共勉，感悟數學學習的真諦.
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七、板書設計
正弦定理
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草稿區域
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八、教學反思
1.學習反思 方法感悟
弗賴登塔爾說：“反思是數學化過程中一種重要的活動，它是數學活動的核心和動力”.第一課時比較“做高法”和“外接圓法”兩種證明方法，概括出共同要素—直角，激活所學知識，發展思維能力，提升核心素養.有了正弦定理第一課時的方法和經驗，有了第一課時中微課提出的用向量知識證明正弦定理的思路和充足的課后思考探討，在正弦定理第二課時可以以“向量法”再次展開對正弦定理證明，讓學生再次體會向量是溝通代數和幾何的工具，學會并適應用向量語言表示問題、解決問題,發展數學抽象和數學建模的核心素養.
2.對學生證明不嚴謹的認識
據多年的教學經驗發現：學生在用“做高法”證明正弦定理時很難想到分銳角三角形和鈍角三角形,所以在用幾何畫板驗證的操作過程中分靜態下的銳角三角形、鈍角三角形和動態下連續變化的三角形進行觀察，讓學生直觀感受并為接下來的證明做鋪墊.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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