視頻簡介：
視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《二項分布》河北—于
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第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《二項分布》河北—于
《二項分布》教學(xué)設(shè)計
授課者：于亞男
【教學(xué)內(nèi)容】
本節(jié)內(nèi)容是人教A版選擇性必修三第七章《隨機變量及其分布》的第四節(jié)《二項分布與超幾何分布》的第一節(jié)課。在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中，大量的隨機變量都服從或近似的服從二項分布，實際應(yīng)用廣泛，理論上也非常重要。本節(jié)課是從生活實際入手，了解伯努利試驗和n重伯努利試驗的特點，通過由特殊到一般的方法推導(dǎo)出二項分布的概率模型及其數(shù)字特征。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)。
本節(jié)內(nèi)容是對前邊所學(xué)知識的綜合應(yīng)用，是對已有知識的“再創(chuàng)造”與“整合”的過程；是從實際入手，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實際的過程。要鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣，從而體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和應(yīng)用價值。
【教學(xué)目標(biāo)】
1.學(xué)生通過具體實例，理解n次伯努利試驗的特點，并會判斷一個具體問題是否服從二項分布;
2.學(xué)生通過獨立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能歸納出二項分布的概率模型，從中體會數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)。
3.學(xué)生經(jīng)歷實際問題的對比分析，歸納提煉，樹立普遍聯(lián)系的概念；在問題的解決過程中感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美，體會數(shù)學(xué)的文化價值和應(yīng)用價值。
【重點難點】
教學(xué)重點：n重伯努利試驗，二項分布的概率模型及簡單應(yīng)用。
教學(xué)難點：在實際問題中抽象出模型的特征，并應(yīng)用二項分布的概率模型解決實際問題。
【學(xué)情分析】
通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握了有關(guān)概率和統(tǒng)計的知識：等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率、相互獨立事件概率的求法及分布列有關(guān)內(nèi)容。但是對于從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型還是有些困難的，需要老師啟發(fā)引導(dǎo)，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生能從拋硬幣的試驗中抽象出n重伯努利試驗的概念，從擲圖釘?shù)脑囼炛袣w納出二項分布的概率模型。
【教學(xué)策略】
本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示。為了讓學(xué)生歸納探究出二項分布的概率模型，課堂應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺。在教學(xué)設(shè)計中，采用情景教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)和合作學(xué)習(xí)策略，并借助Excel和ggb軟件輔助教學(xué)。問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究突破教學(xué)重點和難點。
教學(xué)過程中，重視二項分布概率模型的構(gòu)建，讓學(xué)生體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象的基本過程，同時模型的構(gòu)建和應(yīng)用是數(shù)學(xué)模型建立與應(yīng)用的典范。因此，本節(jié)課的教學(xué)是實施具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)相結(jié)合的嘗試。
【教學(xué)過程】
具體展開：
（一）情境創(chuàng)設(shè)
情景：兩名同學(xué)因某個問題而爭辯，均不能說服對方，決定用拋硬幣的方式來定勝負(fù)。將一枚質(zhì)地均勻的硬幣隨機拋擲100次，如果出現(xiàn)50次正面向上，則甲勝，否則乙勝。
(設(shè)計意圖：用同學(xué)們熟悉的情景引入，但課堂上并不真的拋擲硬幣，而是用Excel表格中生成0、1隨機數(shù)來替代拋硬幣的試驗，1代表正面向上，0代表反面向上，這樣既便于操作又便于數(shù)據(jù)的分析統(tǒng)計。另外通過多組隨機數(shù)的產(chǎn)生也可以讓學(xué)生進一步的理解頻率與概率的關(guān)系。）
（二）概念生成
問題1:每次拋硬幣試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果有幾種？
問題2:各次試驗間是否相互影響？
問題3:每次試驗中出現(xiàn)正面向上的概率是多少？
問題4:最可能出現(xiàn)多少次正面向上？
（設(shè)計意圖：通過例子引出概念，為了讓學(xué)生更好的理解n重伯努利概型的特征，提供更多生活實例引導(dǎo)同學(xué)們思考，問題中的伯努利試驗是什么，事件A發(fā)生的概率是多少，重復(fù)試驗的次數(shù)是多少，各次試驗的結(jié)果是否相互獨立等）
探究：投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續(xù)擲一枚圖釘3次。
Ai表示事件”第i次擲得針尖向上”i=1，2，3
Bk表示事件“連續(xù)擲3次圖釘，恰有k次針尖向上”k=0，1，2，3
問題1:針尖0次向上的概率
問題2:針尖恰有1次向上的概率
問題3:針尖恰有2次向上的概率
問題4:針尖恰有3次向上的概率
變式：投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續(xù)擲一枚圖釘n次。
用Ai表示事件”第i次擲得針尖向上”i=1，2，3,……,n.用Bk表示事件“連續(xù)擲n次圖釘，恰有k次針尖向上”k=0，1，2，3,……,n.
問題1:針尖0次向上的概率
問題2:針尖恰有1次向上的概率
問題3:針尖恰有2次向上的概率
...
問題4:針尖恰有k次向上的概率
于是得到隨機變量X的概率分布如下：(q=1－p)
對比該分布列與二項式定理(a+b)^n的展開,
你能看出它們之間的聯(lián)系嗎?
二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為用p（0<p<1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p)
（設(shè)計意圖：采用由特殊到一般；由具體到抽象的數(shù)學(xué)方法，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生逐步構(gòu)建出二項分布的模型，并在推導(dǎo)的過程中通過文字語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。教學(xué)中讓學(xué)生獨立思考，相互交流，充分經(jīng)歷探究過程，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)。最后對每個字母做詳細(xì)解讀，幫助學(xué)生理解二項分布的概念，在字母B的解釋中加入數(shù)學(xué)史，豐富課堂內(nèi)容。）
問題：這兩個模型之間具有什么聯(lián)系呢?
（設(shè)計意圖：回顧兩點分布的概率模型，引導(dǎo)學(xué)生對比兩點分布、二項分布兩個模型的區(qū)別與聯(lián)系，掌握兩點分布是二項分布的特例，二項分布是兩點分布的一般情況，進一步加深對兩個模型的理解。并引導(dǎo)學(xué)生樹立起用概率模型研究問題的意識，為后續(xù)超幾何分布及正態(tài)分布概率模型的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。）
1、有了二項分布的概率模型，我們就可以準(zhǔn)確計算出100次拋硬幣試驗中50次正面向上的概率
下面我們借助計算機來計算，通過Excel表格中的公式來計算出正面0-100次時的概率，并繪制圖表幫助同學(xué)們更直觀的觀察出，出現(xiàn)50次的概率確實是最大的，但這個數(shù)據(jù)遠(yuǎn)小于0.5，通過區(qū)間計算40≤X≤60內(nèi)的概率約為0.96，說明在100次拋擲硬幣的試驗中，正面向上的次數(shù)在50次左右，但并不能說明100次拋硬幣中就一定會有50次向上。
（設(shè)計意圖：注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂的深度融合，實現(xiàn)傳統(tǒng)的教學(xué)手段難以達(dá)到的教學(xué)效果。例如：利用計算機進行探究算法、進行大規(guī)模的數(shù)據(jù)處理并繪制合適的圖表幫助學(xué)生體會“概率為0.5”的含義，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上的概率為0.5，并不能保證拋擲100次就一定會有50次正面向上，只能說明出現(xiàn)正面向上的次數(shù)在50次左右的概率是比較大的。）
2、如：圖7.4-2是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求 X的分布列
通過數(shù)學(xué)軟件演示高爾頓板的動態(tài)過程，幫助學(xué)生理解試驗原理。
問題1:伯努利試驗是什么？
問題2:事件A是什么？
問題3:事件A發(fā)生的概率是多少？
問題4:各次試驗之間是否相互獨立？
問題5:重復(fù)試驗的次數(shù)是多少？
問題6:成功的次數(shù)與落入格子的號碼之間的對應(yīng)關(guān)系是什么？
問題7:隨機變量X是否服從二項分布？
歸納：確定一個二項分布模型的一般步驟
（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p
（2）確定重復(fù)試驗的次數(shù)n，并判斷各次試驗的獨立性
（3）設(shè)X為n次獨立重復(fù)試驗的事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(n,p)
（設(shè)計意圖：通過ggb軟件演示高爾頓板的試驗，使學(xué)生更加直觀的看到到小球下落的情況，即偶然中蘊含著必然的規(guī)律，另外可以發(fā)現(xiàn)，高爾頓板試驗和拋硬幣的試驗從數(shù)學(xué)上講本質(zhì)是一樣的。充分體現(xiàn)了隨機事件形形色色，隨機現(xiàn)象表現(xiàn)各異，但是如果舍棄具體背景，它們就會呈現(xiàn)出一些共性。并通過本例引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納確定一個二項分布模型的一般步驟）
3、喜迎黨的二十大，班級預(yù)開展男、女生知識競賽，如果每局比賽女生獲勝的概率為0.6，男生獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制，對女生更有利？
左邊三組計算3局2勝制時女生獲勝的概率
右邊三組計算5局3勝制時女生獲勝的概率
追問：若采用7局4勝制女生獲勝的概率又是多少呢？
追問：我們可以得到哪些結(jié)論？
乒乓球計分規(guī)則的改變：國際乒聯(lián)決定從2001年9月1日起將每局21分改為每局11分。
賽制的改變會對中國隊帶來哪些影響？
（設(shè)計意圖：比較不同賽制下一方獲勝的概率會有怎樣的變化，為了節(jié)省課堂時間，前3組完成3局2勝制中女生獲勝的概率，后3組完成5局3勝制中女生獲勝的概率，通過具體數(shù)據(jù)來驗證直覺。通過追問，引發(fā)學(xué)生思考，并總結(jié)出賽制越長對水平高的一方更有力的結(jié)論。通過以上實例的講解讓學(xué)生體會，數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活。對乒乓球賽制改變的解讀，是對本節(jié)課所學(xué)知識的再應(yīng)用，讓同學(xué)們體會到數(shù)學(xué)可以讓我們更理性、更客觀、更準(zhǔn)確的做出決策。）
（六）課堂小結(jié)
1.通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)我們學(xué)習(xí)到了什么知識？
2.我們通過什么樣的方法構(gòu)建了二項分布的概率模型？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？
3.確定一個模型是二項分布的模型的一般步驟是什么？
4.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我還有哪些收獲？
5.你能舉出哪些服從二項分布模型的實例？
（設(shè)計意圖：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課進行回顧和整理，在掌握知識的同時，更體會數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要性。梳理如何建立一個新的概率模型的一般方方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。）
（七）課后作業(yè)
二項分布模型的應(yīng)用非常的廣泛，例如：生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制和抽樣方案，都是以二項分布為基礎(chǔ)的；參加某保險人群中發(fā)生保險事故的人數(shù)；試制藥品治愈某種疾病的人數(shù)；感染某種病毒的人數(shù)等，都可以用二項分布來表述。
請同學(xué)們課下選擇一個感興趣的方向，通過查閱資料和收集數(shù)據(jù)，運用所學(xué)知識，給出對某種現(xiàn)象的科學(xué)解釋或某種決策的合理化建議，并形成文字報告。
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