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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《指數（第2課時）》河北—梁
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《指數（第2課時）》河北—梁
4.1 指數（2）
一、內容和內容解析
1.內容：分數指數冪的含義，指數冪的運算性質
2.內容解析：
數及其運算的產生和發展是推動數學發展的重要源泉和動力，數、式、方程、函數等內容的基礎是數及其運算，函數是數及其運算的延伸和發展.
指數函數是以指數為自變量的一類函數，其定義域為實數集.為研究指數函數，需要把指數冪運算的范圍進一步推廣.類似于先把整數推廣到有理數，再把有理數推廣到實數一樣，本節課也是將指數冪由整數指數冪推廣到有理數指數冪，然后推廣到實數指數冪，進而為指數函數的學習奠定基礎.
在指數冪運算的推廣過程中，“整數指數冪的運算性質在有理數指數冪、實數指數冪中仍然成立”是核心思想.對此，學生在初中學習整數指數冪時，在由正整數指數冪到負整數指數冪的推廣過程中已經有所體會，本節課要讓學生進一步體會.
學習指數冪的運算，必須解決無理數指數冪的問題.但是冪的指數由有理數推廣到實數，指數變為無理數，很難有實際背景這完全是數學理性思維的結果，所以，對無理數指數冪的理解是本節教學的難點.可以類比初中用有理數逼近無理數的經驗，從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向，用有理數指數冪逼近無理數指數冪，并在數軸上表示對應的點，從數和形兩個角度認識無理數指數冪的意義，并體會其中的極限思想.
基于以上分析，確定本節課的教學重點：實數指數冪的運算及其性質，難點：用有理數指數冪逼近無理數指數冪.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）認識有理數指數冪 （ ， ， 為整數， ）和無理數指數冪的含義；
（2）了解指數冪的拓展過程；
（3）掌握指數冪的運算性質.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）認識正數的正分數指數冪的意義 （ ， ， 為正整數， ）和正數的負分數指數冪的意義 （ ， ， 為正整數， ），知道分數指數冪是根式的另一種表達形式，并能將分數指數冪與根式互相轉化. 無理數指數冪的理解是本節的難點，只需讓學生知道任何正數的實數指數冪都是確定的實數，能通過逼近的方法直觀認識它，并體會其中的極限思想.
（2）通過回憶、類比初中指數冪運算由正整數指數冪到負整數指數冪的推廣過程，經歷由整數指數冪到有理數指數冪的推廣過程，體會其推廣過程的核心思想是“使冪的運算性質仍然成立”，了解分數指數冪的引入，不僅消除了運算性質中的一些限制，還實現了乘方與開方運算的統一.而有理數指數冪推廣到無理數指數冪的過程，是有理數指數冪逼近無理數指數冪的過程.
（3）實數指數冪的運算性質完全因襲了整數指數冪的運算性質，在操作層面上與整數指數冪的運算沒什么區別，對于學生來講是有一定的基礎的，通過練習鞏固即可掌握.
三、教學問題診斷分析
本節課是指數函數的第一節課，指數函數是以指數為自變量的一類函數，其定義域為實數集.為研究指數函數，需要把指數冪運算的范圍進一步推廣.教材從已知的平方根、立方根的意義入手先學習 次方根，再從幾個特殊的例子歸納發現分數指數冪與 次方根概念的聯系，規定了分數指數冪的意義.在教學實踐中，這一過程學生會比較容易接受，但是學生會感覺不知道為什么先學根式，而是被老師牽著走.因此，本節課從學生初中已經熟悉的整數指數冪的定義及運算性質入手，采用在初中引入零指數冪和負整數指數冪的定義過程，在“使整數指數冪的運算性質仍然成立”的思想指引下，將整數指數冪推廣到分數指數冪，建立分數指數冪與 次方根的聯系，得到分數指數冪的意義.既讓學生認識分數指數冪的含義，又能體會指數冪運算的推廣過程的核心思想是“使原有的運算性質仍然成立”.
無理數指數冪的理解是本節的難點，可以類比初中用有理數逼近無理數的方法，讓學生經歷從“過剩近似值”和“不足近似值”兩個方向，用有理數指數冪逼近無理數指數冪的過程，然后在數軸上表示它們的對應點，發現這些點逼近一個確定的點，其對應的數就是這個無理數指數冪，由此讓學生體會其中的極限思想，并從數和形兩個角度認識無理數指數冪是一個確定的實數即可，不需對學生要求更多.
四、教學支持條件分析
利用計算工具，計算 的近似值，幫助學生體會有理數指數冪逼近無理數指數冪的過程；利用信息技術作圖，在數軸上將 附近逐步放大，直觀展示逼近過程，加深學生對無理數指數冪的理解.
五、教學過程設計
（一）分數指數冪及其運算性質
問題1 某景區統計了近幾個月的游客人次，發現在免門票政策帶動下，每月的游客人次都是上一個月游客人次的1.1倍，如果按照此規律增長下去，那么
（1）2個月后的游客人次為現在的多少倍？
（2）3個月后的游客人次為現在的多少倍？
（3）3個半月后的游客人次為現在的多少倍？
師生活動：學生回答.最后指出：這是我們初中學過的冪運算 ，當指數為正整數時，其意義是 個 自乘.當指數為小數或分數時不會計算，需要把冪的指數拓展.
設計意圖：問題（1）（2）是為了讓學生回顧初中的冪運算，問題（3）是要激發認知沖突，認識到拓展指數的必要性，引入本節課的課題和學習內容.
追問：怎么拓展呢？
師生活動：老師引導學生回憶數系的擴充過程，從而得到指數的拓展路徑.
設計意圖：指數的拓展過程與數及其運算的擴充過程有關聯，通過回憶將本節課內容放在數系擴充的大背景下進行，讓學生體會數學的整體性.
問題2 回憶初中由正整數指數冪到整數指數冪的拓展過程，回答：零指數冪 和負整數指數冪 是如何引入的？
師生活動：學生回答 和 的意義，教師適當引導，使學生體會指數的拓展是為了使正整數指數冪的運算性質適用范圍得到擴充.最后指出：負整數指數冪的引入消除了運算性質中的限制，擴大了適用范圍，簡化了運算性質.其中冪的乘法對應指數的加法，冪的除法對應指數的減法，引入負數后，加減運算統一，從而冪的乘除運算統一，運算性質合并為三條.
設計意圖：學生通過回顧初中正整數指數冪到整數指數冪的拓展過程，體會指數冪運算的拓展過程的核心思想是原有的運算性質在新的范圍中仍然成立.
問題3 已知 ，求 ， .
師生活動：學生思考并回答，如： ， .老師追問每一步的計算依據：整數指數冪的運算性質.
追問（1） 已知 ，求 .
師生活動：學生獨立思考并嘗試，一是類比前面的問題利用整數指數冪的運算性質，發現指數為分數，不確定能否適用；二是通過開方運算求出 ，利用根式的運算求解.老師展示學生出現的各種不同的運算過程和結果，讓學生之間互相評價，最后使學生感受到 次方根和分數指數冪之間應該是存在聯系的.
追問（2） 如果像求 一樣，也通過開方運算，利用根式表示 ， ，結果是什么呢？
師生活動：學生思考后回答， ， .教師引導學生觀察冪的指數與被開方數的指數和根指數的關系，歸納規律，自然的得出 可以寫成 ，而且根據根式的性質 ，指數冪的運算性質如 仍然成立.推廣到一般情況，規定正數的正分數指數冪的意義: （ ， ， 為正整數， ）.
追問（3） 本節課開頭的問題 可以計算了嗎？
師生活動：學生回答， .
追問（4） 當指數為負分數時， 的意義是什么？
師生活動：學生回答， （ ， ， 為正整數， ）.
設計意圖：為了把 次方根與分數指數冪自然的聯系起來，這個問題從一道具體的計算題開始，當指數6和9都是3的整數倍時，可以利用已有的整數指數冪的運算性質求解，當指數7不是3的整數倍時，一方面可以利用已學過的 次方根的概念計算，另一方面又迫切希望引入分數指數冪，并且使得整數指數冪的運算性質對分數指數冪適用，自然的將兩者聯系起來，然后再通過具體實例的歸納，由特殊到一般，由具體到抽象，建立分數指數冪與 次方根的關系：分數指數冪是 次方根的一種表現形式，兩者是統一的.
例1 求值：
（1） ； （2） .
師生活動：學生計算回答.最后指出：分數指數冪的計算，既可以利用概念轉化為根式計算，也可以利用運算性質計算.
設計意圖：通過具體的數字運算，鞏固分數指數冪的概念、意義以及分數指數冪中指數的運算性質.
例2 用分數指數冪的形式表示并計算下列各式（其中 ）
（1） ； （2） .
師生活動：學生計算回答.最后指出：把根式轉化為分數指數冪，再利用有理數指數冪的運算性質進行計算，可以簡化根式的運算.
設計意圖：通過一般表達式的運算，鞏固分數指數冪和 次方根的互相轉化，特別是把 次方根轉化為分數指數冪進行運算，把結果表示為分數指數冪的形式.
（二）無理數指數冪及其運算性質
當指數是無理數時， 的意義是什么呢？比如 .
師：初中，我們通過 的不足近似值這一串有理數和 的過剩近似值這一串有理數逐步逼近認識了 的意義，那么，無理數指數冪 的意義是什么呢？
問題4 類比初中認識無理數 的過程，思考無理數指數冪 的意義.
師生活動：教師引導學生回顧初中通過有理數認識無理數的過程，類比思考無理數指數冪 的意義.教師展示表格中的數據，并將相應的數值在數軸上表示，讓學生理解逐漸逼近的過程.
設計意圖：由于無理數指數冪沒有實際背景，完全是數學理性思維的結果，而且學生也還沒有極限的概念，所以對逐步逼近理解起來比較困難.這里通過表格和數軸兩種方式展示逐步逼近的過程，用表格展示數據，呈現具體數值，用數軸表示數值，直觀展示逼近過程，兩者結合，相得益彰，加深學生對于無理數指數冪的理解.
師：類比 的探究過程，可以知道，無理數指數冪 （ ， 為無理數）都是一個確定的實數，在數軸上有唯一的點與它對應.
這樣指數冪 （ ）中的指數就可以取任意實數，且原有的運算性質也適用于實數指數冪.
（三）歸納小結
1.指數冪的拓展過程：
2. 指數冪拓展的核心思想：“整數指數冪的運算性質在有理數指數冪、實數指數冪中仍然成立”.
設計意圖：回顧本課的主要知識和研究過程，總結指數冪拓展的核心思想和基本原則.
（四）布置作業
教科書習題4.1第2,3,4,5,6,7,8,9,10題.
五、目標檢測設計
計算下列各式：
（1） ； （2） ； （3） .
設計意圖：考察學生對實數指數冪意義和運算性質的理解.
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