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視頻標簽：第十一屆全國高中

所屬欄目：高中數學優質課視頻

視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《超幾何分布》廣東—肖

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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《超幾何分布》廣東—肖

《超幾何分布》教學設計
（人民教育出版社A版 普通高中教科書 數學選擇性必修第三冊 第七章 第4節 第2課時）

一、內容和內容解析
1.內容
超幾何分布的定義，超幾何分布的均值，超幾何分布與二項分布的區別與聯系.
2.內容解析
超幾何分布是一種離散型隨機變量的分布，該概率模型的學習與簡單隨機抽樣、樣本空間、事件的關系與運算、概率的基本性質與計算、古典概型等基礎知識緊密聯系，是概率知識的綜合應用的過程.教材將超幾何分布的學習安排在離散型隨機變量及其分布列、數字特征的一般性知識后，與二項分布構成一個課時單元，一方面體現了兩個模型的重要性，另一方面也能突出兩個模型的應用價值.
超幾何分布是特殊的古典概型，主要用于不放回簡單隨機抽樣中的概率計算，其中對抽取的每個個體只考慮是否具有某種特征，即總體可以分為和兩個子總體，表示具有該特征的子總體，表示不具有該特征的子總體.與放回簡單隨機抽樣是重伯努利試驗不同，不放回簡單隨機抽樣每次抽取的條件不一樣，且各次抽取的結果不獨立，是個不同的伯努利試驗，而非重伯努利試驗.教材通過二項分布與超幾何分布的對比學習，深化對兩個模型特征的理解.
超幾何分布的學習體現了建立概率模型的一般研究路徑：問題情景—歸納隨機試驗的特征—定義隨機變量—推導的分布列—簡單應用.教材通過對比放回抽樣與不放回抽樣，初步認識二項分布與超幾何分布的區別與聯系，體現了類比的數學思想；在建立超幾何分布的概率模型的基礎上，教材通過列舉不放回選出學生、不放回抽取產品、不放回摸取小球等不同背景的試驗，引導學生根據試驗特征來判斷試驗是否為超幾何分布，體現了特殊與一般的數學思想；在解決簡單的實際問題的過程中，教材借助信息技術直觀地幫助學生理解二項分布與超幾何分布的區別與聯系，體現了應用信息技術研究概率統計問題的內在需求.
基于以上的分析，確定本節課的教學重點：超幾何分布模型及其均值，超幾何分布與二項分布的區別與聯系.
二、目標和目標解析
1.目標
（1）通過有放回與不放回抽樣試驗的對比，理解不放回簡單隨機抽樣的定義，理解事件的含義，會用排列組合數計算不放回簡單隨機抽樣的概率，發展邏輯推理素養；
（2）能借助Venn圖理解并抽象出超幾何分布模型，會用超幾何分布模型計算隨機事件的概率，培養學生應用類比、特殊與一般等數學思想方法的意識，發展直觀想象、數學抽象、邏輯推理素養；
（3）能借助Venn圖猜想超幾何分布的均值，通過解決較復雜的數學問題，體會超幾何分布和二項分布的區別與聯系，培養學生運用模型思想和信息技術軟件解決問題的意識，發展數學建模素養.
2.目標解析
達成以上目標的標志是：
（1）會區分有放回與不放回抽樣試驗的特征，會求不放回簡單隨機抽樣問題的概率；
（2）能借助Venn圖理解超幾何分布模型及其隨機變量的取值范圍，能識別概率問題能否用超幾何分布模型計算，會根據求解步驟應用超幾何分布模型計算隨機事件的概率；
（3）能借助Venn圖猜想超幾何分布的均值并理解其推導過程，會用信息技術生成概率統計圖表，能根據圖表分析得到概率統計結論，體會超幾何分布與二項分布的區別與聯系.
三、學生學情分析
超幾何分布學習的認知基礎是簡單隨機抽樣、樣本空間、古典概型等基礎知識，以及二項分布的學習經驗等.
對于簡單隨機抽樣，學生理解了放回抽樣與不放回抽樣的區別與聯系，初步感知到“逐個不放回地隨機抽取個個體作為樣本”與“一次性批量隨機抽取個個體作為樣本”是顯然等價的，其中，“逐個取”和“一次性批量取”的抽樣理解會影響試驗樣本空間中樣本點的個數計算，“逐個取”的試驗樣本空間是有序（無重復）樣本空間，“一次性批量取”的試驗樣本空間是無序樣本空間，兩種不同的理解能幫助學生從推理的角度理解“逐個取”和“一次性批量取”確實等價.在比較學習的基礎上，引導學生體會選擇更簡潔的求解方法作為數學模型，感悟數學的簡潔美，深化對超幾何分布的特征的理解.
對于超幾何分布的隨機變量取值的范圍，學生初步具備了用直觀圖示理解條件概率的概念、全概率公式的學習經驗，缺乏將不放回抽樣直觀化的意識，教學不妨引導學生在直觀圖示的基礎上，理解樣本空間，推理求解隨機變量取值的范圍.
對于超幾何分布均值的直觀猜想和推理證明，學生積累了應用特殊與一般的數學思想方法猜想二項分布均值的活動經驗，缺乏結合直觀圖示猜想均值、推導均值公式的意識，學生廣泛聯系等比例分層抽樣等相關知識的解決問題的意識有待進一步提高.此外，在理解二項分布與超幾何分布的區別與聯系時，需要借助信息技術幫助學生觀察、發現兩者的區別與聯系.
基于以上分析，確定本節課的教學難點：在實際問題中抽象出超幾何分布模型的特征，超幾何分布隨機變量范圍的理解，以及均值的猜想與推導.
四、教學策略分析
教學從有放回抽樣的隨機變量分布列的求解出發，幫助學生復習二項分布模型，回顧基于樣本空間利用古典概型計算概率的步驟，引導學生積累對比兩種不同思路得到的分布列結果之間的聯系，篩選更為簡潔的分布列結果作為概率模型的活動經驗，為不放回抽樣隨機試驗的研究提供類比基礎和研究思路，引導學生自然想到應用古典概型求解概率，對比一次性批量抽取和逐個有順序的依次抽取兩種思路，選取較簡的一次性批量抽取思路進行一般概率模型的抽象.在抽象超幾何分布模型的過程中，教學借鑒條件概率的概念、全概率公式的學習經驗，引導學生借助Venn圖理解超幾何分布的直觀意義，并推導隨機變量的取值范圍，進而引導學生借助Venn圖猜想超幾何分布的均值，并突破推導證明的難點，幫助學生通過直觀感知，加深對超幾何分布及其均值的理解.在研究二項分布與超幾何分布的過程中，教學需要借助信息技術計算二項分布和超幾何分布的概率值、生成概率統計圖表，引導學生通過觀察圖表歸納、總結二項分布和超幾何分布的區別與聯系，感悟應用信息技術研究概率統計問題的內在需求.

• 教學流程

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
六、教學過程
（一）對比問題、探究方法
問題：已知100件產品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4件.設抽取的4件產品中次品數為，求隨機變量的分布列.
師生活動：審視問題，明確差異，將問題分解為有放回和不放回兩個隨機試驗的問題.
【設計意圖】問題引入，引導學生關注差異，初步體會兩種簡單隨機抽樣對應的隨機試驗的區別.
 
問題1：已知100件產品中有8件次品，采用有放回的方式隨機抽取4件.設抽取的4件產品中次品數為，求隨機變量的分布列.
師生活動：分析試驗特征，利用二項分布求分布列，得到問題1的求解結果：隨機變量服從二項分布，即，所以的分布列為.
復習：應用古典概型求概率包含哪些步驟？
師生活動：復習回顧古典概型求概率的基本步驟：①計算樣本空間中樣本點的個數，②計算符合條件的樣本點的個數，③求比值.
教師：問題1還可以從樣本空間的角度出發進行求解，請寫出其計算過程.
師生活動，具體活動結果如下表：

步驟	計算過程	分析
1.求樣本空間中樣本點的個數		有放回抽取，每次都是從100件產品中抽取1件
2.求符合條件的樣本點的個數		抽取的4件產品中次品數為
3.求比值

教師：兩種思路下不同的分布列表達式之間有什么聯系？
教師分析，將應用古典概型求解得到的分布列通過運算形式的變形改寫成二項分布的形式，具體如下：
    【設計意圖】復習回顧二項分布，明確有放回抽樣的本質就是重伯努利試驗.復習基于樣本空間應用古典概型求解概率的步驟. 通過將應用古典概型求解得到的分布列改寫為二項分布概率模型，引導學生積累對比兩種不同思路得到的分布列結果之間的聯系，篩選更為簡潔的分布列結果作為概率模型的活動經驗，為不放回抽樣隨機試驗的研究提供類比基礎和研究思路.
 
問題2：已知100件產品中有8件次品，采用不放回的方式隨機抽取4件.設抽取的4件產品中次品數為，求隨機變量的分布列.
師生活動：首先，對于不放回抽樣的隨機試驗，明晰每次抽樣都是一個伯努利試驗，但每次抽取的不是同一個試驗，且各次抽取的結果也不相互獨立，所以不是重伯努利試驗，即用表示抽取到的次品個數，隨機變量不服從二項分布.其次，借助問題1的活動經驗，引導學生在將“不放回抽取”理解為“一次性批量無順序隨機抽取”和“逐個有順序依次抽取”的基礎上，得到兩種利用古典概型求解概率分布列的思路，進而組織學生分組根據兩種不同的思路進行概率分布列的求解，開展數學探究活動.
思路1活動結果：
教師在學生列式、展示的基礎上，借助Venn圖（各隨機變量表示的隨機事件的直觀圖示如下）幫助學生深化對一次性批量無順序隨機抽取4件產品時抽取次品數的分布列的理解，進而根據應用古典概型的一般步驟進行求解.


師生活動，具體活動結果如下表：

步驟	計算過程	分析
1.求樣本空間中樣本點的個數		不放回一次性批量無序抽取，試驗的樣本點用個元素的組合數表示
2.求符合條件的樣本點的個數		從8件次品中抽取件，從92件正品中抽取件
3.求比值

 
思路2活動結果：
教師在學生列式、展示的基礎上，借助畫格子、分步驟（圖示如下）幫助學生深化對逐個有順序依次抽取隨機抽取4件產品時抽取次品數的分布列的理解，進而根據應用古典概型的一般步驟進行求解.

步驟	計算過程	分析
1.求樣本空間中樣本點的個數		不放回有順序依次抽取，試驗的樣本點用個元素的排列表示
2.求符合條件的樣本點的個數		先從4個位置中選出個位置放次品，其余位置放正品
3.求比值

師生活動，具體活動結果如下表：
 
思考：兩種思路下不同的分布列表達式之間有什么聯系？
教師分析，將應用排列數求解得到的分布列通過運算形式的變形改寫成組合數的形式，具體如下：
    【設計意圖】深入辨析有放回抽樣和不放回抽樣隨機試驗的區別與聯系，強化基于樣本空間利用古典概型求概率的基本步驟.通過對兩種求解思路的分析、比較，引導學生發現不同思路下分布列結果的聯系，篩選出更為簡潔的分布列結果作為概率模型.此外，借助Venn圖幫助學生直觀地理解“一次性批量無順序隨機抽取”的求解過程，為超幾何分布模型的抽象與隨機變量范圍的求解做好鋪墊.
 
（二）抽象概括、生成概念
問題3：一般地，假設一批產品共有件，其中有件次品，從件產品中不放回地隨機抽取件產品，用表示抽取的件產品中的次品數，如何求的分布列？
師生活動：結合Venn圖，仿照問題2的研究思路，抽象概括出一般情形下的分布列模型：

思考：你能結合Venn圖的約束關系，探究隨機變量取值的取值范圍嗎？
師生活動：結合圖示，分析并求解隨機變量的取值范圍.具體過程如下：
由
得其中
超幾何分布：從件產品中任取件，樣本空間包含個樣本點，且每個樣本點都是等可能發生的，其中件產品中恰有件次品的結果數為.由古典概型的知識，得到的分布列為
【設計意圖】借助Venn圖，引導學生經歷從特殊到一般的抽象過程，初步完成超幾何分布模型的抽象概括，進而引導學生通過直觀理解各參數的約束條件，推導出隨機變量的取值范圍，感悟數學模型精致化的過程，體會數學的嚴謹美.
 
概念辨析：下列問題當中，哪些可以用超幾何分布模型求解？
（1）從50名學生中隨機選出5名學生代表，求甲被選中的概率.
（2）一批零件共有30個，其中有3個不合格.隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率.
（3）一批產品的二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機抽取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品的件數，求的分布列.
（4）袋子中有大小相同的個球，其中有個紅球，個白球，個黑球，從中不放回隨機摸出個球，設表示摸出的個球中紅球的個數，求的分布列.
師生活動：完成辨析判斷，明確超幾何分布概率模型的表述特征.
【設計意圖】檢測學生能否準確地根據問題情境，識別出相應的模型，加深對模型的理解，深化對“關心事件”與“不關心事件”的理解．
 
（三）應用概念、解決問題
例1（教材例4） 從50名學生中隨機選出5名學生代表，求甲被選中的概率.
師生活動：確定問題服從超幾何分布，找準模型中的參數，，，規范表達例題1，并形成解題步驟：.
解：設表示選出的5名學生中含甲的人數（只能取0或1），則服從超幾何分布，且，，. 因此，甲被選中的概率為
例2（教材例5） 一批零件共有30個，其中有3個不合格.隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率.
師生活動：借確定問題服從超幾何分布，找準模型中的參數，，，規范表達例題2.
解：設抽取的10個零件中不合格品數為，則服從超幾何分布，且，，. 的分布列為
至少有1件不合格的概率為
間接法：
【設計意圖】引導學生準確辨析模型，明確運用超幾何分布模型求概率的解題步驟，鞏固超幾何分布的概念，初步學會應用超幾何分布解決簡單的概率問題.
 
（四）直觀猜想、推理論證
思考：你能結合Venn圖和等比例分層抽樣猜想超幾何分布的均值嗎？
師生活動：先結合Venn圖猜想超幾何分布的均值，再用代數證明.
猜想過程：，記，則.

證明過程：令，，由隨機變量均值的定義：
當時，，

由上圖可以得到，
所以，
當時，注意到（1）式中間求和的第一項為0，類似可以證明結論依然成立.
【設計意圖】借助直觀圖示，引導學生觀察，合理猜想超幾何分布的均值，再應用均值計算公式進行推導證明.引導學生經歷“先猜后證”的一般研究過程，發展學生數學探究的能力，提升學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.
 
（五）探究差異、深化認識
例3（教材例6）一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機地摸出20個球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個數.
(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.
師生活動：學生分別運用二項分布和超幾何分布解決有放回和不放回摸球的分布列.用信息技術計算兩個分布列的概率值，展示并利用分布列計算誤差不超過0.1的概率，總結分析二項分布與超幾何分布的區別與聯系，具體結果如下.

區別	（1）一般地,二項分布的模型是“獨立重復試驗”，是有放回抽樣；而超幾何分布的模型是不放回抽樣.
	（2）在相同的誤差限制下，超幾何分布的結果更可靠些.
	（3）超幾何分布更集中在均值附近.
聯系	（1）二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的件產品中次品數的分布規律.
	（2）二項分布和超幾何分布的均值相同.
	（3）對于不放回抽樣，當遠遠小于時，每抽取一次后，對的影響很小，此時超幾何分布可以用二項分布近似.

【設計意圖】讓學生體會二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的件產品中次品數的分布規律，并且二者的均值相同.了解超幾何分布與二項分布的區別與聯系.
 
（六）總結提升、鞏固理解

【設計意圖】從知識和研究思路兩方面進行歸納總結，培養學生歸納總結的能力，逐步掌握抽象模型特征的一般步驟，梳理本節研究的內容，深化數學思維和思想方法.
 
（七）布置作業、發展素養
課本作業：課本第80頁練習1,2；課本第81頁練習6
探究作業：請你舉出兩個服從超幾何分布的隨機變量的例子，并在Excel中計算分布列的概率；
課外拓展：我們今天所學的內容為稱之為超幾何分布，為什么這樣命名，有沒有“幾何分布”？請大家自主查閱相關資料并進行交流．
【設計意圖】重視雙基的同時，設置數學探究活動作業，培養學生創新意識，以及發現和提出問題的能力和信息技術素養.

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