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視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《球的體積》甘肅—葉
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第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《球的體積》甘肅—葉
《球的體積》教學(xué)設(shè)計
授課內(nèi)容：湘教版必修二第四章第5節(jié)《球的體積》。
授課教師：蘭州市第五十七中學(xué) 葉薇
一、教學(xué)內(nèi)容解析
1.課標(biāo)分析
（1）數(shù)學(xué)文化視角：在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，明確指出：依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點，關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識之間的關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)實踐和數(shù)學(xué)文化。并指出：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動。數(shù)學(xué)課是傳播數(shù)學(xué)文化的重要載體，如果將數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻，就會使課堂變得豐富多彩，讓學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。
（2）數(shù)學(xué)“四基”視角：利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。知道球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。
通過直觀感知，操作確認(rèn)，推理論證、度量計算等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷球的體積的推導(dǎo)過程，認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。通過實際情境發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型的過程，滲透數(shù)學(xué)思想、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
2.教學(xué)內(nèi)容
本節(jié)內(nèi)容選自湘教版高中數(shù)學(xué)必修二第四章第五節(jié)，課程標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生知道球的體積計算公式，能用公式解決簡單的實際問題。考慮到課程標(biāo)準(zhǔn)要求培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，也要注重數(shù)學(xué)文化的滲透，所以本節(jié)課我設(shè)計為一節(jié)探究課，既是柱體、錐體、臺體相關(guān)知識的承接和延續(xù)，又為后續(xù)解決與球有關(guān)的實際問題奠定基礎(chǔ)，既可以用其結(jié)論又可以用推導(dǎo)這個結(jié)論的方法。為了從數(shù)學(xué)文化的角度認(rèn)識球體，結(jié)合人教B版高中數(shù)學(xué)必修四第十一章第一節(jié)的內(nèi)容，引入了“牟合方蓋”這個重要的幾何模型，具體有兩個任務(wù)：一是根據(jù)祖暅原理求球的體積；二是根據(jù)祖暅原理求牟合方蓋的體積。
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
1.教學(xué)目標(biāo)
（1）初步了解牟合方蓋的故事和其中蘊含的數(shù)學(xué)知識，會從實際物體中抽象出數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
（2）能利用實驗探究的方法，構(gòu)造出一個和半球體積相等，且滿足祖暅原理的幾何體模型，并借助祖暅原理完成球的體積公式的推理證明。
（3）類比球體積公式的推導(dǎo)方法，推導(dǎo)牟合方蓋的體積公式，學(xué)會構(gòu)建幾何體模型，求解幾何體體積的方法，滲透數(shù)形結(jié)合、類比轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。
2.教學(xué)目標(biāo)達成的標(biāo)志
（1）能借助實驗活動，構(gòu)建出和半球體積相等的幾何體模型。
（2）能將幾何體的體積相等的問題，轉(zhuǎn)化為等高處的截面積相等的問題。
（3）能用祖暅原理對求球的體積和牟合方蓋體積的方法進行理論證明。
3.教學(xué)重點
探究球的體積公式的推導(dǎo)方法，從而掌握解決一類幾何體體積的計算方法。
三、學(xué)生學(xué)情分析
1.已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了空間幾何體的形狀和位置關(guān)系，以及柱體、錐體、臺體的體積和表面積，具有一定的空間想象能力，將簡單的生活問題構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型的能力和邏輯推理的能力。
2.達成目標(biāo)需要具備的認(rèn)知基礎(chǔ)：（1）圓柱、圓錐的體積公式；（2）將實物抽象成數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)建模能力和邏輯推理能力。
3.可能遇到的問題：學(xué)生能直觀感受半球的體積介于同底等高的圓柱和圓錐之間，但是不能準(zhǔn)確得到它們之間的數(shù)量關(guān)系；牟合方蓋和球體相切時，無法確定切點位置，不會計算對應(yīng)截面積的大小。
4.解決方法：借助GGB軟件和實驗探究讓學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)模型有直觀的感知，逐步引導(dǎo)學(xué)生進行抽象概括；將牟合方蓋和正方體相切的切點找出，再確定牟合方蓋和球體相切的切點，求出對應(yīng)的截面積。
5.教學(xué)難點：（1）利用祖暅原理構(gòu)造和半球體積相等的幾何體模型。
（2）對牟合方蓋圖形的認(rèn)識及其體積的推導(dǎo)。
四、教學(xué)策略分析
問題是數(shù)學(xué)的心臟，本節(jié)課以建構(gòu)主義為理念，采用任務(wù)驅(qū)動的探究式教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，以問題為載體，掌握知識和方法。推理是數(shù)學(xué)的命脈，通過對球的體積公式的理論證明，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的核心素養(yǎng)。思想是數(shù)學(xué)的靈魂，在獲得知識的過程中滲透解決問題的數(shù)學(xué)思想和方法。根據(jù)維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，在學(xué)生已經(jīng)掌握的知識和已有思維特點的基礎(chǔ)上來建構(gòu)新知，通過動手操作、信息技術(shù)等手段，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題直觀化，經(jīng)歷數(shù)學(xué)之旅，體會數(shù)學(xué)之美。幫助學(xué)生完成從生活實例到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，實現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性思考的飛躍。
為達到理想的教學(xué)效果，本節(jié)課在學(xué)生合作探究的過程中，教師通過適時指導(dǎo)，調(diào)節(jié)學(xué)生探究的進度和效度。對學(xué)生展示交流的結(jié)果，引導(dǎo)同伴對推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、表達的完整性、書寫的規(guī)范性進行評價，通過同伴的相互評價，調(diào)動學(xué)生思維的活躍性，促使課堂問題高效解決。
教具：多媒體課件、半球、圓柱、圓錐道具（教師自制）、GGB軟件
五、教學(xué)過程
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容特點，我將本節(jié)課的教學(xué)過程分為10個環(huán)節(jié)。
環(huán)節(jié)1. 觸景生情——生活中的數(shù)學(xué)（找準(zhǔn)切入點）
看是一幅畫，
聽是一首歌。
牟合方蓋是星座，
千秋永不落。
圖中的物件是利用我國古代非常著名的數(shù)學(xué)模型——牟合方蓋制作而成的，什么是牟合方蓋呢？下面讓我們一起來認(rèn)識這個幾何模型。
設(shè)計意圖：利用一首小詩開場，突出牟合方蓋在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的重要性，同時結(jié)合食物罩和宿營帳篷引入牟合方蓋這個數(shù)學(xué)模型，將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，營造輕松學(xué)習(xí)的氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
環(huán)節(jié)2. 追根溯源——牟合方蓋的故事
魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作注的時候發(fā)現(xiàn)了“牟合方蓋”這個數(shù)學(xué)模型。它是正方體中放入兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱時，兩圓柱的公共部分形成的幾何體，由于其采用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋。
設(shè)計意圖：講述牟合方蓋的來源，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的了解。
環(huán)節(jié)3. 剝繭抽絲——牟合方蓋中的數(shù)學(xué)
（尋求發(fā)散點）
因為《九章算術(shù)》中的“開立圓術(shù)”記載半徑為R的圓與其外接正方形的面積之比為
，將球放入圓柱中，并與圓柱相切，
，結(jié)合圖形，我們知道圓柱的體積為
,所以
,《九章算術(shù)》中記載
，所以球的體積
.
但是，劉徽發(fā)現(xiàn)過圓柱旋轉(zhuǎn)軸的截面是圓與正方形相切，此時
，與旋轉(zhuǎn)軸平行的截面是長方形，與圓只有兩邊相切，此時
，所以劉徽認(rèn)為
，
.
于是劉徽想到了推算球體積的方法，他創(chuàng)造了一個稱為“牟合方蓋”的立體圖形。在一個正方體中作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是牟合方蓋。牟合方蓋恰好把正方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)，并且與球相切。正方體與球相切的切點是正方體各個面的中心，它們也是牟合方蓋和球相切的切點。
思考：（1）水平面截牟合方蓋及其內(nèi)切球會得到什么圖形？
（2）相同高度時，水平截面圓與其外切正方形的面積之比是多少？
（3）類比猜想：
。
因此，只要知道了牟合方蓋的體積就能算出球的體積，遺憾的是劉徽當(dāng)時并沒有求出牟合方蓋的體積，他說：“敢不闕疑，以俟能言者”，意思是：我解決不了的問題，等待后人解決吧！
設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解牟合方蓋和牟合方蓋中的數(shù)學(xué)，利用動畫讓學(xué)生直觀感受牟合方蓋的模型，球的截面和牟合方蓋截面面積的關(guān)系，類比猜想得到它們體積之間的關(guān)系。同時使學(xué)生知道古代數(shù)學(xué)家治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、一絲不茍、實事求是的數(shù)學(xué)精神。培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、直觀想象的核心素養(yǎng)。
環(huán)節(jié)4
4.1古為今用——祖沖之與祖暅
兩百多年后，祖暅在劉徽研究的基礎(chǔ)上，繼承了其父祖沖之的事業(yè)，徹底解決了球的體積，發(fā)現(xiàn)了著名的“祖暅原理”。
設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解古代數(shù)學(xué)家的偉大成就。
4.2古為今用——祖暅原理
祖暅原理的內(nèi)容是：冪勢既同，則積不容異。意思是，兩個幾何體高度相同，用任一水平面截這兩個幾何體時，截面積始終相等，則它們的體積相等。
比如，桌面上的一沓書，當(dāng)它傾斜或扭曲放置時，它們在相同高度處的截面積始終相等，那么它們的體積相等。這樣我們就可以將不規(guī)則幾何體的體積轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體的體積，將未知幾何體的體積轉(zhuǎn)化為已知幾何體的體積。
設(shè)計意圖：介紹祖暅原理，通過動畫讓學(xué)生理解祖暅原理的核心是相同高度時，截面積相等，則體積相等。培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)。
環(huán)節(jié)5. 借水行舟——球的體積（點擊興奮點）
探究一：如何利用祖暅原理求球體的體積
問題1：球的截面都是什么圖形？這些圖形是否具有對稱性？
設(shè)計意圖：利用球的對稱性，將球體一分為二，把整個球體的體積轉(zhuǎn)化為半球的體積，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。
5.1借水行舟——實驗探究
問題2：如圖所示，已知半球的半徑為R，圓柱和圓錐的底面半徑為R，高也為R.請觀察以下這三個幾何體的體積之間有什么關(guān)系？
為了更清晰、直觀的得到這三個幾何體體積之間的數(shù)量關(guān)系，請同學(xué)們借助手中的道具，以小組合作的方式，進行探究活動。
實驗的結(jié)論：
。
根據(jù)祖暅原理，可以得到相同高度時，
所以，在接下來的探究中，我們只需證明它們在相同高度處的截面積相等即可。
設(shè)計意圖：學(xué)生通過圖形直觀感知得到同底等高的圓柱體積最大，圓錐體積最小，半球的體積介于圓柱體積和圓錐體積之間，利用實驗可以得到更明確的關(guān)系，為接下來的理論證明打好基礎(chǔ)。培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
5.2借水行舟——構(gòu)造模型
通過實驗探究，我們得到
。如圖所示，半球的體積等于從圓柱中挖去一個和它同底等高的圓錐后所形成的幾何體的體積。我們來驗證這兩個幾何體是否滿足祖暅原理？用半球底面所在的平面去截這兩個幾何體，截面積分別為
，用圓柱上底面所在平面去截這兩個幾何體，截面積分別為
，它們不滿足祖暅原理。結(jié)合數(shù)據(jù)思考，如何調(diào)整，它們就有可能滿足祖暅原理？
設(shè)計意圖：根據(jù)前面實驗探究的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生嘗試構(gòu)造出一個和半球體積相等，且滿足祖暅原理的幾何體模型。培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
5.3借水行舟——模型釋義
我們用GGB軟件來直觀感受一下，圖中的陰影部分分別表示對應(yīng)幾何體的截面，數(shù)值是兩個截面積的大小。請同學(xué)們觀察，當(dāng)高度
變化時，這兩個截面積
的大小有什么關(guān)系？根據(jù)祖暅原理，這兩個幾何體的體積相等。
設(shè)計意圖：利用GGB動態(tài)展示圖，讓學(xué)生理解高度相同時，截面積相等，根據(jù)祖暅原理，就可以得到體積相等。培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
5.4借水行舟——理論證明
數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，推理是數(shù)學(xué)的命脈。實驗探究和觀察得到的結(jié)論可能會存在一定的誤差，所以我們要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韥碜C明所得到的結(jié)論。
問題3：如圖所示，用高為的水平面去截兩個幾何體，所截得的面積分別為
,
試用
和表示,并用祖暅原理證明實驗的結(jié)論。
（學(xué)生小組合作，展示證明過程）
請學(xué)生按下表所列內(nèi)容，評價剛才的展示過程。
設(shè)計意圖：學(xué)生通過對直觀感知的結(jié)論進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語言表達，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過同伴間的相互評價，使學(xué)生在邏輯推理、語言表達、書寫規(guī)范這幾個方面互相學(xué)習(xí)、揚長避短、精益求精。
5.5借水行舟——數(shù)學(xué)之美
觀察數(shù)學(xué)模型的動態(tài)演示，我們能更直觀、更清晰、更形象看到半球、圓柱、圓錐體積之間的關(guān)系，所以數(shù)學(xué)很神奇，數(shù)學(xué)很美！
設(shè)計意圖：同學(xué)們在直觀感受它們體積之間關(guān)系的同時，也能體會數(shù)學(xué)軟件的強大作用和數(shù)學(xué)之美。培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)。
環(huán)節(jié)6. 乘風(fēng)破浪——牟合方蓋的體積
探究二：如何利用祖暅原理求牟合方蓋的體積
問題1：（1）類比球的體積推導(dǎo)過程，可否將牟合方蓋一分為二？
（2）能否找出與其同底等高的幾何體，構(gòu)建相關(guān)的幾何體模型？（如：棱柱、棱錐等）
（3）類比半球體積的推導(dǎo)過程，猜想這幾個幾何體的體積之間有什么關(guān)系？
問題2：如圖所示，用高為的水平面去截這三個幾何體，所截得的面積分別為
,試用
和表示
,證明我們的猜想。
（學(xué)生展示證明過程）
請學(xué)生按下表所列內(nèi)容，評價剛才的展示過程。
祖暅用不同于今天的方法，求出了牟合方蓋的體積，然后利用
，得到球體的體積公式。感興趣的同學(xué)可以查閱資料進行推理證明。
設(shè)計意圖：通過問題鏈的思考，類比球的體積的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造求牟合方蓋體積的幾何體模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。學(xué)生通過對猜想的結(jié)論進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明，從特殊到一般，構(gòu)建解決同類幾何體體積的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。同伴間的相互評價，使學(xué)生養(yǎng)成一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、合作共贏的精神。
環(huán)節(jié)7. 引以為豪——古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)家劉徽、祖沖之、祖暅
祖暅原理的發(fā)現(xiàn)比意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里類似結(jié)論的提出早一千多年，祖暅原理是中華民族的驕傲，非常的了不起！同學(xué)們要向偉大的數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)，珍惜時光、不負(fù)韶華，做對祖國、對人民、對社會有用的人！
設(shè)計意圖：通過中國古代數(shù)學(xué)家的偉大成就，增強學(xué)生的文化自信和民族自豪感。
環(huán)節(jié)8. 回頭望月——小結(jié)（形成整合點）
問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么原理？
2.用祖暅原理解決了什么問題？
3.在解決問題的過程中得到了什么結(jié)論？
4.在得到結(jié)論的過程中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？
5.本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，了解了哪幾位中國古代的數(shù)學(xué)家？
結(jié)論：一、基礎(chǔ)知識：
1個原理：祖暅原理
2個幾何體：球、牟合方蓋
3個結(jié)論：
二、思想方法：數(shù)形結(jié)合、歸納類比、構(gòu)造轉(zhuǎn)化
三、核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理
四、數(shù)學(xué)文化：中國古代數(shù)學(xué)家——劉徽、祖沖之、祖暅
設(shè)計意圖：用回答問題的形式，引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，對本節(jié)課的內(nèi)容進行小結(jié)，通過提煉概括，形成知識的網(wǎng)絡(luò)體系。明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，檢測學(xué)習(xí)的效果。
環(huán)節(jié)9. 趁熱打鐵——作業(yè)設(shè)計
閱讀作業(yè)：1.閱讀課本P82-P86，根據(jù)本節(jié)課的講授內(nèi)容，梳理球體體積公式的發(fā)現(xiàn)過程。
2.請查閱資料，試著用微積分的方法推導(dǎo)球的體積公式，探究球的體積和表面積之間的關(guān)系。你還能想到別的推導(dǎo)球的體積和表面積的方法嗎？
基礎(chǔ)作業(yè)：1.如果一個球的大圓的面積增加到原來的
倍，那么這個球的體積會怎樣變化？
2.用一個平面截半徑為
的球，截面面積是
，求球心到截面的距離。
拓展作業(yè)：1.如圖所示，扇形的半徑為
，圓心角為
，若扇形AOB繞直線OB旋轉(zhuǎn)一周，圖中陰影部分旋轉(zhuǎn)后所得的幾何體與某不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為多少？
2.將鋼球放入一個正方體中，已知正方體的棱長為
,求鋼球的最大體積為多少?
3.已知一個正方體所有的頂點都在一個球面上，且這個球的體積是
，求正方體的棱長。
思維導(dǎo)圖作業(yè)：本單元學(xué)過的幾何體之間的聯(lián)系以及研究這些幾何體的方法。
設(shè)計意圖：通過四類作業(yè)的設(shè)計，實現(xiàn)知識的融合與綜合，讓不同水平的學(xué)生得到不同層次的發(fā)展。
環(huán)節(jié)10. 樂在其中——結(jié)束語
最后用一小段音樂來結(jié)束本節(jié)課，意在讓學(xué)生在輕松愉快的氣氛中掌握數(shù)學(xué)思想方法的重要作用，以期對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)有所幫助。
我想對你說
數(shù)學(xué)是首歌
問題是綠色的河
方法是奔騰的波
數(shù)學(xué)是首歌
同行是你和我
思考是春天的海
思想是生命的火
板書設(shè)計
六、教學(xué)反思
感悟收獲：
1.用一首小詩引入本節(jié)課的內(nèi)容，講述中國古代優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化，較好的完成了“立德樹人”的目標(biāo)。
2.通過提出猜想—實驗驗證—理論證明的互動體驗、啟發(fā)探究，較好的完成了教學(xué)目標(biāo)。
3.通過數(shù)學(xué)軟件，使數(shù)學(xué)教學(xué)與多媒體技術(shù)進行有效的融合。
4.在教學(xué)活動中，采用了學(xué)生之間的互動評價，使得教學(xué)活動的開展顯得生動、活潑。
反思不足：
1.對牟合方蓋物件結(jié)構(gòu)特征的研究不夠深入。
2.對劉徽、祖沖之、祖暅三位古代數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)成就的研究不夠深入。
3.由于數(shù)學(xué)理論水平不高，經(jīng)驗不足，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性構(gòu)造幾何體模型思維活動的研究不夠深入。
以上3個方面，需要在今后的教學(xué)中不斷的學(xué)習(xí)、改進、提高。
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