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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《函數的單調性》甘肅—甄
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《函數的單調性》甘肅—甄
《函數的單調性》教學設計
一、教學內容解析
從內容看，函數是刻畫客觀世界中變量關系和變化規律的工具，研究函數的規律，能夠把握事物的變化規律，函數的單調性是高中階段學生要掌握的函數的重要性質之一．本節教學任務是建構函數單調性的形式化定義，并用定義證明具體函數的單調性，讓學生經歷從直觀到抽象，從圖形語言、文字語言到符號語言的轉換過程，理解增函數、減函數及單調區間等概念，明白函數的單調性將自變量的變化方向和函數值的變化方向聯系起來，描述了函數的變化過程和趨勢．
從知識的上下位角度看，學習函數的單調性既是學習函數概念、表示方法等知識后的延伸與拓展，又是后續研究指、冪、對等基本初等函數的基礎，也是研究數列、不等式等問題的有力工具．
從單元教學的層序性看，高中函數的單調性的學習分為四個層次．第一層次，從圖形語言到符號語言的過渡，理解函數的單調性的概念，體會常用邏輯用語的重要意義，會用定義證明簡單函數的單調性．第二層次，研究幾種初等函數的單調性，理解用代數方法研究函數的單調性的基本思路．第三層次，利用導數研究函數的單調性，感悟導數是研究函數的單調性的有利工具．第四層次，利用函數的單調性研究數列、不等式、方程等問題，理解研究函數的單調性既是數學本身的需要，更是表達現實世界的需要，是構建數學模型的有效語言．本節教學位于第一層次．
從蘊含的思想與方法看，函數單調性是函數性質研究的第1課時，作為函數性質單元起始課，本節內容所滲透的研究函數性質的基本方法，為函數其它性質的研究奠定認知基礎和參考路徑，積累經驗．單調性的定義是用靜態的數學符號刻畫動態函數圖象在某個區間上的上升或下降的趨勢，具有高度的抽象性，是培養和提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象等核心素養的重要載體．
二、教學目標設置
1．通過具體實例，經歷函數的單調性從直觀描述到符號表示的抽象過程，體會符號化定義的必要性，體會數形結合、類比、從特殊到一般等思想方法，發展直觀想象、數學抽象素養．
2．能準確說出增函數和減函數的定義，體會全稱量詞的作用．
3．能用函數的單調性的定義證明簡單函數的單調性，發展邏輯推理、數學運算素養．
三、學生學情分析
1．從認知基礎上看，學生在初中已經學習了一次、二次和反比例函數，高中又從集合的角度系統地學習了函數的概念，對于函數的單調性已經有了“形”的直觀認識，也具備一定的不等關系的符號運算能力．
2．從認知障礙上講，用符號語言表示動態的數學對象，這對剛進入高中學習的學生而言顯得很不適應，表現出認知力不夠．“為何要用符號語言來表達函數的單調性”對這個問題，學生是存在困惑的．
3．從心理特點上講，學生對于函數的性質只有一些感性的、模糊的認識，對于一般數學意義上的描述是學生所不能的，也是迫切需要知道的，因此認識函數的單調性，正處于學生最近發展區．
4．從學生可能的發展來講，六大核心素養，除數據分析外，在本節課中皆有不同程度的體現，教師幫助學生在單調性概念不同的表征系統間進行靈活的轉換，有助于學生良好認知結構的建構，不同程度地發展學生素養．
四、教學重、難點
1．教學重點
理解函數的單調性的定義；根據定義證明函數的單調性．
2．教學難點
函數的單調性形式化定義的生成．
五、教學策略分析
利用現實生活中的實例，創設與函數的單調性相關的情境，引出學生將要探索的數學問題，調動學生的求知欲，帶動學生的內驅力．
基于學生的思維水平和認知現狀，從具體的函數出發，從正向、逆向兩個方面，從證實到否定，高度重視“任意”所蘊含的邏輯要求，設計環環緊扣的問題串，從圖形語言到符號語言，從定性到定量，從特殊到一般，教師采用啟發講授和合作交流相結合的教學方式，讓學生充分經歷觀察、分析、歸納、抽象的思維過程，再將有雛形的函數的單調性的定義進行表達加工，形成完整準確的函數的單調性的定義．在概念重構的過程中，加深對函數的單調性本質的理解．對學生的數學眼光、數學思維、數學語言表達產生積極影響．
借助多媒體技術輔助展示抽象過程，投屏展示學生的思考結果、演算、證明過程，及時反饋學生的學習情況．
六、教學過程
環節一 情境導入 把握方向
情境1 一碗水中加入一定量的糖，未飽和狀態下，糖加的越多，糖水越甜．
情境2 李白《將進酒》中的名句“君不見，高堂明鏡悲白發，朝如青絲暮成雪．”
情境3 嘉峪關某天的氣溫變化曲線，請同學們根據曲線圖說說氣溫的變化情況．
學生初步感受事物的變化規律后，教師指出：
現實世界是運動變化的，人們為了研究這些運動變化的規律，在數學中引入了函數，通過對函數變化規律的研究，從而實現對現實世界中事物運動變化規律研究的目的．從本節課起，開始學習函數相關的變化規律，即函數的基本性質．總體而言，函數的性質指的是變化中的不變性、變化中的規律性．
（設計意圖：設計“糖水模型”、“詩詞”、“氣溫曲線”等情境，讓學生順理成章地感受到事物的運動變化趨勢一般有三種情況：①整個運動過程呈上升趨勢；②整個運動過程呈下降趨勢；③整個運動過程呈時而上升時而下降趨勢．一方面激發學生的主動思考；另一方面，讓學生明白函數是描述事物變化規律的數學模型以及研究函數性質的必要性．）
環節二 直觀感知 形成沖突
活動 畫出下列函數的圖象，觀察并說明圖象有何變化趨勢．
①y=x+1; ②y=-2x+1; ③y=x2.
教師投屏展示學生所作的函數圖象，學生逐一說明圖象的變化趨勢及函數值隨自變量增大怎樣變化．
（設計意圖：從學生現有的知識經驗入手，觀察具體的函數圖象，直觀感受增減變化，體會數形結合的數學思想，知道y隨x的變化趨勢與x的范圍有關．）
思考 對于函數
，函數值隨自變量的增大怎樣變化？
學生描點作圖后，教師用畫板工具準確作圖，學生發現難以確定下降與上升分界點的確切位置．
通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數的單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的定量研究．
（設計意圖：設置問題，引發認知沖突．教師引導學生從定性描述走向定量刻畫，體會“形缺數時難入微”，體會到用數量大小關系嚴格表述函數的單調性的必要性．）
環節三 抽象建構 形成概念
問題1 函數y=x2，怎樣用符號語言刻畫“在區間(0,+∞)內，y隨x的增大而增大”？
教師引導：“增大”意味著比較，需要建立兩個量的大小關系．
預設：
①“x的增大”的符號化：x1<x2；
②“y的增大”的符號化：f(x1)<f(x2)；
③“隨”字的符號化：當x1<x2時，有f(x1)<f(x2)．
問題2 只取(0,+∞)內的兩個確定的值x1，x2，當x1<x2時，若f(x1)<f(x2)，能保證函數y=f(x)在區間(0,+∞)內y隨x的增大而增大嗎？
學生分組討論，作圖說明．
預設：
問題3 只取(0,+∞)內的三個確定的值x1，x2，x3，當x1<x2<x3時，若f(x1)<f(x2)<f(x3)，能保證函數y=f(x)在區間(0,+∞)內y隨x的增大而增大嗎？
問題4 取(0,+∞)內的無數個值x1，x2，x3，…，當x1<x2<x3<…時，若f(x1)<f(x2)<f(x3)<…，能保證函數y=f(x)在區間(0,+∞)內y隨x的增大而增大嗎？
追問
“無數個值”不行怎么辦？
“無數個值”和“所有的值”一樣嗎？
“所有的值”能取完嗎？那怎樣一一驗證呢？
我們之前學過表示“所有”概念的量詞嗎？
你能借助全稱量詞用符號語言嚴格表達“在區間(0,+∞)內，y隨x的增大而增大”嗎？
學生得出：∀x1,x2∈(0,+∞)，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)．
問題5 對于函數
，任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，為什么都有f(x1)＜f(x2)？
預設：作差證明、利用不等式的性質證明．
問題6 你能模仿上述過程，用符號語言描述在(-∞,0]上“y隨x的增大而減小”嗎？
教師引導學生梳理函數y=x2的單調性．
| 區間 | (-∞,0] | (0,+∞) |
| 圖象特征 | 從左到右，圖象下降 | 從左到右，圖象上升 |
| 文字語言 | y隨x的增大而減小 | y隨x的增大而增大 |
| 符號語言 |
∀x1,x2∈(-∞,0]， 當x1＜x2時， 都有f(x1)＞f(x2). |
∀x1,x2∈(0,+∞)， 當x1＜x2時， 都有f(x1)＜f(x2). |
| 單調性 |
在區間(-∞,0]上是 減函數 |
在區間(0,+∞)內是增函數 |
| 單調區間 | 單調減區間 | 單調增區間 |
等．，引導學生根據單調減函數的定義判斷其是否在整個定義域上單調遞減，并提醒學生單調區間的準確表示．
．
是
上的增函數．
在區間
上單調遞減，在區間
內單調遞增．
的大小與某區間內函數值增長快慢的關系．
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