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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《直線的傾斜角與斜率》安徽
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示《直線的傾斜角與斜率》安徽
用坐標法研究直線與圓，提升直觀想象、數學運算的核心素養
安徽省臨泉第一中學 夏凱月
一、《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂》要求及分析
本單元是選擇性必修課程主題二幾何與代數中平面解析幾何的內容。課標指出，本單元的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中，認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程；運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想。
內容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、平面解析幾何的形成與發展。
本單元直線與圓的方程內容要求如下：
1.內容要求
（1）直線與方程
①在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。
②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。
③能根據斜率判定兩條直線平行或垂直。
④根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）。
⑤能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標。
⑥探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
（2）圓與方程
①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程。
②能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。
③能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題。
2.教學提示
本主題的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數方法。
在平面解析幾何的教學中，應引導學生經歷以下過程：首先，通過實例了解幾何圖形的背景；進而，結合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問題，例如，兩點決定一條直線等，再結合具體問題合理地建立坐標系，用代數語言描述這些特征與問題；最后，借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，通過直觀想象和代數運算得到結果，并給出幾何解釋，解決問題。
應充分發揮信息技術的作用，通過計算機軟件向學生演示方程中參數的變化對方程所表示的曲線的影響，使學生進一步理解曲線與方程的關系。在教學中，可以組織學生收集、閱讀平面解析幾何的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻。
3.學業要求
能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題（圖形）的分析，探索解決問題的思路，運用代數方法得到結論，給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題。
能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程，能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題。
重點提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養。
（二）課程標準要求分析
從課程標準對本單元的要求來看：
1.解析幾何的研究對象是幾何圖形。以平面直角坐標系為研究工具，通過代數運算研究幾何問題是解析幾何的特征.坐標法的要點是通過代數運算和推理研究幾何圖形，這里的運算是具有幾何特征的運算.
2.解析幾何研究的核心問題是利用坐標法研究圖形，研究步驟是：在直角坐標系中認識圖形的幾何特征——建立標準方程——運用代數方法研究曲線的性質——通過代數運算研究曲線的位置關系——應用.一是用代數語言表達幾何要素和對象，二是用代數的知識研究幾何對象的性質以及幾何對象之間的關系。
3.研究直線與圓，要注重完整地探究過程，在用代數語言轉化幾何問題、用代數運算推導結論之前，要注意用幾何的眼光分析面臨的問題，在直角坐標系中把握幾何問題和圖形特點的基礎上，再進入到形數轉化、代數運算.
4.建立直線的方程、圓的方程，應認識曲線與方程之間的關系，純粹性（點在曲線上，坐標滿足方程）和完備性（坐標滿足方程，點在曲線上）。曲線與方程之間的一一對應反映了數量關系與空間形式之間的關系。有了這種關系，就可以用方程表示曲線，對曲線進行“運算”；建立方程的幾何直觀表達，把方程“形象化”，進一步體會數形結合的思想
解析幾何屬于幾何學。幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的一門數學學科，而解析幾何是用代數方法研究幾何圖形的數學分支科學，研究方法是通過建立幾何圖形的代數方程（或不等式），運用代數運算，由代數運算的結果得到幾何圖形的性質。本單元主要研究直線與圓，建立它們的方程，由方程研究它們的有關性質。“直線和圓”作為解析幾何起始階段的研究對象，一方面容易建立與平面幾何的聯系；另一方面，有利于學生構建研究的路徑，使學生在與“綜合法”的比較中體會“坐標法”的特點。
（一）單元結構
本單元包括兩部分，第一部分是直線的方程，包括“2.1直線的傾斜角與斜率”“2.2直線的方程”“2.3直線的交點坐標與距離公式”3節；第二部分是圓的方程，包括“2.4圓的方程”“2.5直線與圓、圓與圓的位置關系”2節。
（二）單元內容分析
本單元的主要內容是用代數語言表達幾何要素和對象以及用代數的知識研究幾何對象的性質、幾何對象之間的關系。具體概括一是用兩點的坐標刻畫斜率和距離，即角度和距離代數化，二是以此建立直線和圓的方程，即直線和圓代數化；三是進而用方程研究它們的性質：形狀、大小、位置關系。建立直線與圓的方程是本單元的教學重點，在這之前需要明確直線與圓的幾何特征，直線的幾何特征是經過其上任意兩點，直線的傾斜角不變。直線這種沒有定義的幾何對象，描述其幾何特征需要用比它本身復雜的幾何對象，如傾斜角進行描述。圓的幾何特征本質上則是兩點間的距離。
因此，本單元的內容按照直線與圓方程的建立安排了兩條線。對于直線的方程的建立，要先明確確定直線位置的幾何要素，方向如何刻畫，這樣就建立了直線的傾斜角與斜率，進而得到了過兩點的直線的斜率公式，在過兩點的直線斜率的公式的基礎上，推出直線的點斜式方程，又得到直線的兩點式方程、一般式方程。確定圓的幾何要素是圓心和半徑，刻畫半徑需要用到距離，即是一個線段的長度，于是在兩點間的距離公式基礎上，得到標準方程，進而在標準方程的基礎上得到圓的一般方程。除此之外，在兩點間距離公式的基礎上結合直線的一般式方程，又可得到點到直線以及兩條平行直線間的距離，即是把距離完全量化。得到直線與圓的方程后是研究他們的性質，本單元研究性質主要是研究位置關系，首先是直線與直線的位置關系，然后是直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系。
本章研究直線、圓及其相關問題用的是坐標法，坐標法是解析幾何中最基本的研究方法，它建立了幾何與代數之間的聯系，體現了數形結合的思想。通過本章的學習，學生能從利用代數運算研究幾何性質，掌握用坐標法解決問題的步驟，形成對坐標法與綜合法的聯系與差異的深刻體驗，經歷從形到數，又從數到形的過程，體會數形結合的思想，在這個過程中重點提升學生的直觀想象和數學運算素養。并且也為后續第三章圓錐曲線的學習積累有效的活動經驗，建立研究的范式。
1.直線的傾斜角與斜率
本節的主要內容是直線的傾斜角和斜率的概念以及它們之間的關系，過兩點的斜率公式，以及利用斜率判斷兩條直線平行或者垂直的位置關系。
直線的傾斜角和斜率分別從形和數刻畫了直線的方向，相對于x軸的傾斜程度。一點和傾斜角或一點和斜率確定了平面直角坐標系中直線的位置．過兩點的直線斜率公式把直線的傾斜角（方向或傾斜程度）與其上兩點的坐標聯系起來，實現了對直線幾何特征的代數刻畫.它是解析幾何中的基本公式，是建立直線方程的基礎.
教學時要讓學生認識到，對確定直線位置的幾何要素的刻畫，是按照方向--傾斜角---傾斜角的正切值---斜率---直線上任意兩點縱橫坐標的差商過程展開的，這個過程是對直線這個幾何研究對象逐步代數化的過程，把形逐步轉化為數，用數表示形，這個過程是解析幾何研究幾何圖形的基本過程，它是不斷深化，不斷精致的過程。在這個過程中提升學生直觀想象、數學抽象等核心素養。
2.直線的方程
本節內容主要是直線的點斜式、兩點式以及一般式方程。
直線的方程是直角坐標系中直線的代數表示，是確定直線位置幾何要素的完全代數刻畫.雖然傾斜角是刻畫直線傾斜程度的幾何要素，但它無法直接用直線上任意兩點的坐標定量刻畫，而傾斜角的正切值可以用直線上任意兩點的坐標定量刻畫，這種刻畫為我們研究直線帶來方便.直線的點斜式方程是經過兩點的直線斜率公式的一種“變式”表達，表達的是直線上任意一點坐標與直線的斜率以及所經過的定點坐標之間所滿足的代數關系式.直線的方程一方面表示直線上點的坐標都滿足這個方程，另一方面表示滿足這個方程的解為坐標的點都在這條直線上.
直線方程的建立過程本質上是將確定直線的幾何要素（點與方向）代數化的過程，這是學生第一次系統地用坐標法刻畫一個幾何對象. 坐標法是本節教學的核心，本節同時還蘊含著數形結合、特殊與一般、分類與整合、化歸與轉化等數學思想方法.
3.直線的交點坐標與距離公式
本節主要內容是兩直線的交點坐標、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、兩條平行線間的距離。
度量是幾何的本質所在，而長度是度量的根本.“兩點之間線段最短”是歐氏幾何的本質所在，把兩點所確定的線段長度定義為這兩點間的距離，再以此為基礎，利用空間元素的垂直關系，解決各種各樣的距離問題，這就是幾何中解決距離問題的基本思路.
初中定性地研究了相交線與平行線，建立直線方程后.我們就可以用代數方法對直線的有關問題進行定量研究.也就是說.利用直線的方程，我們不僅能判斷兩條直線是否相交.而且在相交時能求出交點的位置.在平行時能求出兩條平行線間的距離.同樣，在平面直角坐標系中，我們可以得到兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、兩條平行線間的距離公式等。通過平面直角坐標系，深化對平面內點、直線之間相互關系的認識。學生能借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路，利用直線方程，通過直觀想象和代數運算求解相關問題，提升直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養。
4.圓的方程
本節內容是圓的兩類方程∶標準方程和一般方程.
圓是學生熟悉的基本平面曲線，可以說圓是最簡單的封閉“曲線形”．學生在初中已經學習過圓的一些性質．現在在平面直角坐標系中研究圓，根據確定圓的幾何要素建立圓的方程，通過圓的方程，運用坐標法解決一些與圓有關的簡單問題.圓的方程的知識是平面解析幾何的基礎知識，圓的方程具有廣泛的應用.圓的方程的兩種形式各有特點.圓的標準方程直接體現了確定圓的兩個幾何要素，即圓心的位置和圓的半徑；圓的一般方程的代數特征很明顯，是
在
B = 0,A=C≠0時的特例.在直線與直線的方程中，教科書述及了兩者之間的一一對應關系．現在通過對圓與圓的方程關系的研究，豐富了學生對曲線與方程之間一一對應關系的認識.這種一一對應反映了數量關系與空間形式之間的關系．有了這種關系，我們可以用方程表示曲線，對曲線進行“運算”；建立方程的幾何直觀表達，把方程“形象化”.
通過本節的學習，要讓學生掌握圓的標準方程和一般方程的基本知識，能根據圓心坐標和圓的半徑熟練地求出圓的標準方程，能從圓的標準方程快速得出圓心坐標、半徑.要讓學生掌握圓的一般方程的特點，能把圓的一般方程化為圓的標準方程，從而求出圓心坐標和圓的半徑.能夠根據具體條件，選擇適當的圓的方程形式，求出圓的標準方程，或圓的一般方程.在這一過程中，滲透轉化化歸、數形結合的思想，重點發展學生直觀想象、數學運算的核心素養。
5.直線與圓、圓與圓的位置關系
在本節，教科書運用直線和圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系，并解決簡單的問題。
圖形之間的位置關系，既可以直觀定性描述，也可以嚴格定量刻畫。定量刻畫的方法既可以完全運用代數的方法，通過運算求解，得到圖形的性質；也可以綜合使用幾何方法、代數方法,得到圖形的性質。
在本節的教學中，應引導學生根據初中學習圖形與幾何的經驗以及本章前面所學內容，類比用直線的方程研究兩條直線的位置關系，研究運用直線和圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系。在這個過程中感受綜合法、坐標法以及向量法的差異。
（四）教學重難點
重點：直線與圓的方程的理解和應用，坐標法解決平面幾何問題的思想
難點：直線與圓的方程的推導及應用，曲線與方程的關系
四、單元學情分析
（一）已有的知識經驗
1.在平面幾何中，通過直觀感知、操作確認的方式，學生已經了解了直線與圓。掌握了兩點確定一條直線、兩點之間線段最短、點到直線的距離的意義及其度量等基本事實。知道了確定圓的幾何要素，以及圓的垂徑定理、切線長定理等；研究了相交線與平行線，知道了用兩條直線交成的角的關系可以刻畫相交線的性質，掌握了平行線的判定定理和性質定理以及平行關系的可傳遞性等.還定性的探究了直線與圓、圓與圓的位置關系。除了這些知識基礎之外，學生還具備了一定看圖識圖的能力，有了一定幾何直觀的能力。
2.學生知道了平面直角坐標系可以將點和有序實數對建立對應，并且掌握了一次函數，知道一次函數的圖象是一條直線。借助平面直角坐標系和單位圓研究三角函數，掌握了正切函數的圖像和性質，具備了一定的數形結合的思想，初步具備了直觀想象、數學抽象等素養。
3.在平面向量和空間向量的學習中，掌握了溝通幾何和代數的工具--向量，獲得平面直角坐標系是溝通代數和幾何的橋梁的經驗，掌握了向量的線性運算、投影、數量積、方向向量等知識，會用向量法解決幾何問題。有了數形結合的思想，初步具備了數學運算、邏輯推理等素養。
（二）可能存在的障礙點
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雖然在前面不同的學段中，學生已經研究過許多空間和平面幾何圖形，但是并沒有對研究內容和研究方法做系統的梳理，知識整體處于分散的狀態，不具有系統性。
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直線與圓是學生初中熟悉的圖形，但是從它們的幾何特征來看，圓的幾何特征學生比較清晰，在初中圓的定義中就已經明確特征，而直線的幾何特征學生是不明確的，只知兩點定直線、一點一方向定直線。所以在這兩部分內容的學習中直線幾何特征的確定會對學生產生一些困難。
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盡管學生對直角坐標系已經非常熟悉，但將它作為一個研究幾何圖形的工具以及如何利用直角坐標系刻畫直線的“方向”這個要素，是與平面幾何有質的不同的地方，也是學生所不習慣的。
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盡管學生已經學習過直線與圓的相關性質，但更多的是幾何直觀，是利用綜合幾何法研究的推理幾何，方程的學習也只是單純地停留在代數角度進行運算等，而將方程與曲線利用坐標法建立聯系，是學生的初次體驗，也是學生的思維障礙點。
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盡管在高中階段已經學習過向量這個工具的使用，但是利用向量的知識去推理、論證、求解相關問題，對學生來說具有挑戰性，需要充分調動以往的知識經驗等。
在單元起始部分可利用自制微課，讓學生感受解析幾何產生的背景以及思想；在單元教學過程中，利用geogebra及動圖，讓學生直觀感知幾何圖形的特征以及它們之間的位置關系；讓學生在單元開始前梳理初中對直線與圓的研究內容，為本單元學習內容做鋪墊且利于學生感受坐標法和綜合法的差異。
六、單元教學目標
1.在平面直角坐標系中，能通過探索直線的幾何要素，理解直線傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的公式能利用斜率判定兩直線的位置關系，提升直觀想象、數學抽象、邏輯推理的核心素養。
2.能根據直線的幾何要素，利用代數方法探索并掌握直線的方程，理解直線方程幾種形式之間的區別與聯系，初步體會曲線與方程的關系，培養數形結合、轉化化歸，從特殊到一般的數學思想。
3.能運用直線方程求出兩直線的交點坐標，推導出點與點，點與線，兩平行直線間的距離公式，在這個過程中體會利用代數方法研究幾何性質的思想，提升直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養。
4.通過坐標法對圓的幾何特征的表示，能推導和掌握圓的標準方程和一般方程，理解兩種方程的特點，能互相轉化，掌握坐標法探究曲線方程的一般步驟，加深對曲線與方程之間關系的理解。
5.能借助幾何直觀，從代數角度利用直線與圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系，體會幾何性質與代數方法相結合對于運算的簡便性，感受綜合法、坐標法與向量法的差異，強化數形結合思想，提升直觀想象、數學運算的核心素養。
6.通過對直線與圓方程的研究，體會解析幾何研究平面幾何圖形的思想，掌握坐標法研究幾何圖形的步驟，感受代數運算和幾何直觀之間的關系。在與初中對直線與圓用綜合法的研究方法對比過程中，感受坐標法和綜合法的差異。
七、課時教學設計
《直線的傾斜角與斜率》課時設計
安徽省臨泉第一中學 夏凱月
1.內容
直線的傾斜角和斜率的概念、過兩點的直線斜率公式。
2.內容解析
作為解析幾何的起始課，章引言部分較好的介紹了解析幾何的發展歷史和思想，以及本章的研究方法和路徑。而直線作為基本幾何對象之一，是解析幾何的起始研究對象，為了用代數方法研究直線的有關問題，首先要確定直線位置的幾何要素，然后用代數表示這些幾何要素。對確定直線位置的幾何要素的刻畫，是按照方向--傾斜角---傾斜角的正切值---斜率---直線上任意兩點縱橫坐標的差商過程展開的，傾斜角從幾何角度刻畫了直線的方向，斜率從代數角度刻畫了直線的方向。這個過程是對直線這個幾何研究對象逐步代數化的過程，把形逐步轉化為數，用數表示形，這個過程是解析幾何研究幾何圖形的基本過程，它是不斷深化的過程。
本節課承接了初中對直線的認識，用解析幾何的思想對直線的幾何要素進行探究。在已有的知識經驗基礎之上，分別從幾何角度和代數角度對直線的方向進行刻畫，并建立它們之間的聯系，在這個過程中讓學生初步體會坐標法的內涵和數形結合的思想，提高直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養。通過本節課的學習，一方面為后續直線位置關系的判定和直線方程的建立提供知識基礎，另一方面為本章乃至下一章圓錐曲線的學習，提供從曲線的幾何特征出發，通過代數運算對其進行研究，再將代數運算得到的結果翻譯成幾何語言的整體研究思路，加深學生對幾何直觀和代數運算關系的理解。
3.教學重點
直線的傾斜角與斜率的概念、過兩點的斜率公式
二、目標與目標分析
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目標
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了解解析幾何的發展史和坐標法的思想，把握整章的研究內容和方法
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理解傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的斜率公式
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掌握直線斜率與方向向量的內在聯系
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目標解析
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通過微課展示，學生能了解解析幾何的發展史以及坐標法的思想，整體把握單元的研究路徑和研究方法，感受數學文化。
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通過在平面直角坐標系中對直線運動的直觀感知，能找出刻畫直線傾斜程度的幾何量---傾斜角，并抽象出傾斜角的概念，感受利用傾斜角刻畫直線方向的合理性，提升直觀想象、數學抽象的核心素養。
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通過探究二的三個問題，能利用向量以及三角函數的相關知識探索出直線上兩點坐標與傾斜角的關系，掌握斜率的定義和過兩點的斜率公式，能辨析斜率與傾斜角的對應關系，體會從特殊到一般、數形結合、轉化化歸的思想方法，提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理的核心素養。
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能自主推導出斜率與方向向量的關系，在此基礎上整體把握直線兩點坐標、傾斜角、斜率以及方向向量之間的聯系，經歷對直線方向代數刻畫的完整過程，初步感受坐標法研究幾何問題的思想。
三、教學問題診斷
1.問題診斷
學生在初中階段學習了平面直角坐標系的相關概念，知道了直角坐標系中點與有序實數對之間的一一對應關系，并且掌握了兩點確定一條直線等直線有關知識。高中階段借助平面直角坐標系和單位圓研究了三角函數，掌握了正切函數的圖像和性質，具備了一定的的知識基礎以及數形結合的思想。在平面向量和空間向量的學習中，學生也掌握了溝通幾何和代數的工具--向量，獲得平面直角坐標系是溝通代數和幾何的橋梁的經驗，會用向量法解決幾何問題。這些都是學生已有的知識經驗。
盡管學生對直角坐標系已經非常熟悉，但如何利用直角坐標系刻畫直線的方向這個要素，是與平面幾何有質的不同的地方，也是學生所不習慣的。因此教學中要建立在學生已有知識經驗的基礎之上，先通過微課讓學生了解解析幾何的思想以及本章的研究內容及方法，整體把握。再以課前任務對初中直線與圓內容的梳理為起點，從學生熟悉的幾何直觀出發，逐步引導學生發現平面直角坐標系中刻畫直線方向的幾何量，緊接著從知識間的聯系出發，設置挑戰性的學習活動，最后代數刻畫直線的方向。
斜率概念的引入與以往借助生活中坡度概念的引入不同，本書中采取了全新的方法，以一個點和一個方向和兩個點都能唯一確定一條直線，那么它們有一定有內在聯系為指導思想，在已知兩個點的坐標時，探究如何用坐標表示傾斜角，這個過程十分簡潔，但對學生的抽象思維要求很高。因此在教學中先在傾斜角概念的基礎上歸納確定直線的方式，再由坐標法的思想為引導，啟發學生接下來要將傾斜角進一步代數化，最后由同一對象的不同刻畫方式之間有某種聯系出發，提出一般性問題。然后從特殊到一般，通過層層遞進的問題，讓學生通過動手操作、推理論證、小組合作推導出過兩點的斜率公式，在這個過程中自主完善探究的結論，提升思維的嚴謹性。
在推導過兩點的直線斜率公式時，需要聯系向量、三角函數等相關知識還要進行分類討論，需要充分調動以往的知識經驗，對于學生來說難度較大。而且斜率與方向向量的坐標表示具有內在一致性學生也不容易想到。因此在教學中注意適當的引導學生回顧相關知識，比如平面直角坐標系中有關角的定義、向量的特點等等，逐步啟發學生采取適當的方法進行探究，并類比兩點坐標與傾斜角的關系，讓學生自主提出并解決斜率與方向向量的關系。
2.教學難點
直線傾斜角的抽象、斜率公式的推導
四、教學支持條件分析
通過自制微課向學生展示解析幾何發展的背景和思想，應用geogebra制作動圖演示直線旋轉的過程，借助多媒體投影展示學生的探究成果
五、教學策略分析
本節采用探究式的教學方法，先以微視頻引入，介紹解析幾何的發展歷史，激發學生的學習興趣，感受數學文化；再以課前梳理為載體開啟本節課的探究，為學生搭建腳手架。利用信息技術動態演示充分調動學生的直觀感知能力，從而抽象出傾斜角的概念；采用從特殊到一般的方式探究斜率，設置有挑戰性的層層遞進的問題，鼓勵學生勇于發言提出質疑，在不斷的思維碰撞中總結和完善結論，提高課堂效率。
六、教學過程設計
（一）了解背景 整體把握
引言：上一章我們利用空間向量研究了立體幾何圖形的一些問題，比如位置關系：平行垂直，度量問題：角度距離等。對于幾何圖形的研究方法，在小學一般是歸納實驗，后來初中階段通過直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法研究幾何圖形，這種方法叫做綜合法，再到前面學習的向量法，主要利用向量的運算解決問題。本章我們將以新的視角坐標法去研究幾何圖形，開啟解析幾何的學習之旅。
師生活動：展示微課，簡單介紹解析幾何的發展背景、思想方法，以及本章的研究內容。
【設計意圖】通過對幾何研究方法的梳理，讓學生對研究幾何圖形的方法有個系統的認知，同時也引出本章的主題；以微課形式將數學史融入課堂，讓學生了解解析幾何發展的歷史背景，感受解析幾何解決幾何問題的基本內涵和方法；整體把握本章的研究對象，研究內容以及研究方法。
（二）創設情景 引入新知
師生活動：展示課前任務，即對初中直線與圓學習的梳理。從各組整理的兩點確定一條直線出發，開啟接下來的探究。
【設計意圖】立意在大單元的角度，單元目標之一是要讓學生在本章中經歷坐標法研究問題的完整步驟，體會綜合法與坐標法的差異性，因此設置課前任務：整理初中對直線、圓的研究內容。每節課結束后學生自行補充相應坐標法的研究內容，單元結束后，學生不僅可以構建出單元框架，增強知識的整體性，而且通過每部分研究內容的綜合法和坐標法的對比，能體會兩種方法的區別和聯系，加深對解析幾何思想的理解。
（三）動手操作 探究新知
探究一：直線的傾斜角
回顧：前面的學習中，還有什么方法可以確定一條直線？
師生活動：學生回顧向量中確定直線的方法，在此基礎上抽象出一個點和方向可確定一條直線，教師指出點和方向作為確定直線的幾何要素，點已經與有序實數對建立聯系，進行了代數化，提出方向如何代數化的問題，引導學生關注坐標系對方向的基準作用，引出接下來的探究。
問題1：在平面直角坐標系中，過定點P任意作出直線，觀察對比作出的直線有何不同？
問題2：觀察直線繞點P變化的過程，思考可以用哪個量刻畫直線的傾斜程度？
師生活動：學生直觀感受直線傾斜程度的不同，再通過動圖演示直線位置的變化，讓學生找出隨著直線傾斜程度不同，哪些量隨之發生變化，從而觀察抽象出角度刻畫，教師補充。
【設計意圖】問題1讓學生直觀感受過定點P任意作出直線的不同，引導學生找出傾斜程度的參照物，一方面讓學生感受坐標系對方向的刻畫作用，另一方面為接下來傾斜角的定義做鋪墊。在此基礎之上借助信息技術演示直線繞點P變化的過程，學生能更加清晰地感受隨著傾斜程度的不同直線向上的方向與x軸正方向的夾角也隨之不同，借助問題2，學生自主歸納并補充教師完善，從而抽象出傾斜角的概念。
傾斜角定義：當直線
與
軸相交時，我們以
軸為基準，
軸正向與直線
向上的方向之間所成的角α叫做直線
的傾斜角
思考：傾斜角的定義適用于所有直線嗎？
規定：當直線
與
軸平行或重合時，它的傾斜角為0°
問題3：傾斜角的范圍是多少？
師生活動：抽象出傾斜角定義后，教師追問學生定義是否適用所有直線，從而引出特殊直線傾斜角的規定。在此基礎上學生自主思考問題3，得出傾斜角的范圍，最后師生共同歸納傾斜角從形的角度對直線的方向進行了刻畫。
【設計意圖】研究數學對象時，往往要通過探索特例或進行推廣，從而對問題有更深入的知識。給出傾斜角定義后，通過思考中的問題，一方面給出特殊直線傾斜角的規定，另一方面為問題3中傾斜角的范圍研究做鋪墊，提升思維的嚴謹性。
探究二 直線的斜率
根據坐標法的思想，提出接下來的任務，將傾斜角代數化。由兩點確定，直線確定，則方向確定即是傾斜角確定，引出兩點坐標與傾斜角一定有某種聯系。
探究：在平面直角坐標系中，設直線
的傾斜角為
-
已知直線經過
,與
，
的坐標有什么關系？
-
類似地，如果直線經過
，
，與
,
的坐標又有什么關系？
-
一般地，如果經過兩點
，
，那么與,的坐標有怎樣的關系？
師生活動：問題1由學生自主做答，教師引導學生回顧正切函數的定義，考慮到學情，未對學生刻意引導采用向量法；問題2采用學生展示交流的方式，鼓勵用不同方法解決但以向量方法為重點，這個過程中教師可根據學情適當引導，如類比問題1想用正切函數的定義就要讓角的頂點在原點，從而啟發學生想到平移，再結合向量在平移前后大小和方向保持不變的性質，引導學生借助向量去解決等；在前兩個問題的基礎上，問題3采用小組合作的方式，得出一般結論，在這個過程中，鼓勵學生積極展示和大膽質疑，對不同的情況進行補充完善，最終得到傾斜角正切值與兩點坐標的聯系。
【設計意圖】探究1中的三個問題，從特殊到一般，展示了數學中研究一般問題常用的思想方法，問題1給出的是過原點的特殊直線，對學生難度較小，為后續問題提供了利用正切函數定義探究該類問題的經驗。有了問題1的基礎，學生便有了將問題2轉化為問題1的思想，在這個過程中體會轉化化歸的數學思想。在前兩個問題研究基礎上，學生可類比給出一般的推導從而完成問題3，通過問題3，學生合作交流質疑補充，在思維碰撞的過程中逐步完善傾斜角正切值與兩點坐標的關系，在這一過程中感受和總結出公式的適應范圍以及與兩點的順序無關等結論。從特殊到一般的研究方法符合學生初步體會坐標法的學情，將幾何問題代數化，培養學生直觀想象、邏輯推理等核心素養。
直線
的傾斜角
與直線上的兩點
，
的坐標有如下關系：
(1)，我們把一條直線的傾斜角
的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母
表示，即：
(2)
思考1：傾斜角與斜率是否為一一對應？
思考2：當直線的傾斜角由0°增大到180°時，斜率如何變化？
由（1）（2）可知，若直線經過兩點
， ， 則斜率公式為：
【設計意圖】通過思考中的問題加深學生對直線斜率的理解，體會傾斜角與斜率的對應關系，理解斜率可以用來刻畫傾斜角的合理性，增強思維的嚴謹性。
問題4 實際生活中有沒有像斜率這樣刻畫傾斜程度的量？
師生活動：師生引出生活中的坡度，坡度等于鉛直高度除以水平寬度，并指出當直線的傾斜角為銳角時，直線的斜率與坡度是類似的。
探究三：方向向量與斜率聯系
問題5：已知直線
經過兩點
，
且直線斜率為
，試用
表示直線的一個方向向量.
若直線的斜率為
，則直線的一個方向向量為（
若直線的方向向量為
，則斜率
師生活動：教師指出，除了傾斜角與斜率可以刻畫直線的方向，方向向量也刻畫了直線的方向，引出斜率與方向向量之間也具有一定的關系，從而引出問題5，由學生自主探究。
【設計意圖】問題5的設計是為了探究斜率與方向向量的關系，是直線方向的表示要素間關系的進一步總結，體現數學內部的知識聯系，使得知識的呈現更具有邏輯性和整體性。考慮到本節的重點是傾斜角與斜率的探究，因此這里的探究以具體問題的形式呈現，一方面是為了給學生的探究提供方向性，另一方面是作為斜率的簡單應用。
（四）初步應用 鞏固新知
例1 如圖，已知
，
，
，求直線
,
,
的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。
【設計意圖】本題一方面考察了斜率公式的掌握，另一方面考察了斜率與傾斜角的聯系，也是一個從形到數再到形的過程，讓學生知道不僅要會用代數語言表示幾何特征，還要會把代數運算得出的結果翻譯成幾何結論，體現了坐標法中把幾何問題代數化，再通過代數運算研究幾何性質的思想。
例2 如圖是部分斜拉索抽象出的直線，比較它們傾斜角以及斜率的大小
【設計意圖】通過對斜拉索所在直線傾斜角和斜率的大小比較，一方面加深傾斜角概念的理解，另一方面考察隨著傾斜角的變化斜率變化的趨勢。
（五）課堂小結 形成結構
回顧本節課的學習，回答以下問題：
（1）本節課我們是按照什么路徑對直線的方向進行刻畫的？
（2）刻畫直線的方向有幾種方式？它們有什么區別和聯系？
師生活動：學生自主發言，教師適時引導，啟發學生在內容梳理的過程中思考涉及到的數學思想方法等。
【設計意圖】問題1是對本節課的研究框架進行的梳理，在這個梳理的過程中，一方面讓學生重現研究過程，初步體會坐標法的研究思路，另一方面結合具體研究內容滲透相關的數學思想方法，如數形結合、從特殊到一般、轉化化歸等等。問題2則是對本節重難點內容進行再加深。
（六）作業布置 鞏固提高
鞏固作業：
必做題：（1）課后練習1,2,3,4,5
（2）完善課前梳理的表格，總結本節課利用坐標法對直線幾何要素的探究
選做題：課本58頁習題2.1第8題
探究作業：小組合作探究如何利用斜率判斷兩直線位置關系，完成探究活動報告（附后）
師生活動：教師指出，本節課用代數語言斜率表達了直線的幾何要素，根據解析幾何研究的思想，接下來要會用代數的知識研究幾何對象的性質，比如直線中特殊的位置關系：平行與垂直，請大家嘗試利用斜率的角度思考探究：兩直線平行或垂直與斜率之間的關系，下節課展示交流。
【設計意圖】鞏固作業的第一部分，是對本節所學內容的進一步應用，第二部分對課前梳理表格的完善是整個單元過程都滲透的持續性作業，通過本節坐標法對確定直線的方法探究，學生通過表格的對比，可以初步體會坐標法的思想以及與綜合法的不同。課后探究一方面是斜率的進一步應用，讓學生體會利用代數運算研究幾何對象性質的思想；另一方面也為下節課的內容研究做鋪墊。
七、板書設計
直線的傾斜角與斜率
1.傾斜角
2.斜率
 
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3.方向向量與斜率
（
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探究活動報告
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探究課題 |
兩直線平行和垂直與斜率之間的關系 |
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小組成員 |
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小組分工 |
組長： |
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其他組員分工: |
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探究目標 |
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探究過程 |
探究結論 |
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探究過程中遇到的問題和解決方式：
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檢測習題：
1.已知 ,試判斷直線AB與PQ的位置關系，并說明理由。
2.已知 ,試判斷直線AB與PQ的位置關系，并說明理由。
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