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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示5.1導數的概念及其意義-安徽
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課課例展示5.1導數的概念及其意義-安徽
5.1導數的概念及其意義(4課時，單元教學設計)
一、單元內容及其解析
1.內容
變化率的典型實例，導數的概念，導數的幾何意義.
2.內容解析
導數是微積分的核心內容之一，是現代數學的基本概念，導數定量地刻畫了函數的局部變化，是研究函數增減、變化快慢、最大(小)值等性質的基本方法，也是解決增長率、膨脹率，效率、密度、速度、加速度等實際問題的基本工具.
在大多數大學數學教科書所呈現的微積分知識體系中，都是先介紹極限概念，再介紹導數樓念，但現在的高中數學教科書在給出導數概念之前并沒有介紹極限概念及其運算，因此就不能用極限理論建立導數概念，導數的本質是函數的瞬時變化率，即函數平均變化率的極限.教科書選取高臺跳水運動員的速度和拋物線的切線的斜率這兩個典型的變化率問題.通過這些特殊案例.使學生經歷由平均速度過渡到瞬時速度、由割線斜率過渡到切線斜率的過程，以直觀的方式由平均變化率的極限引出瞬時變化率，進而建立導數的概念.
極限是人們從微觀層面認識世界變化規律的重要工具.由于導數是一種特殊的極限，其中自然蘊含著極限思想，所以導數的學習對于發展學生的數學抽象素養和正確的世界觀有著重要的作用.從瞬時速度、切線的斜率這些特殊的瞬時變化率出發，再抽象出導數概念，蘊含了數形結合、從特殊到一般的數學思想方法，導數的幾何意義表明，函數在某點處的導數是函數的圖象在相應點處切線的斜率，這對于幫助學生理解導數的意義，提升學生的
數形結合能力，發展直觀想象素養，有著重要的作用.
基于以上分析，確定本單元的教學重點:導數的概念及其幾何意義、極限思想
本單元數學需4課時，具體分配如下:第1課時，高臺跳水運動員的速度;第2課時，拋物線的切線的斜率;第3課時，導數的概念;第4課時，導數的幾何意義、導數的概念及其幾何意義的綜合應用.
二、單元目標及其解析
1.目標
(1)通例，經歷均變化率過渡到瞬時變化率的過程，理解導數的概念.
(2)通過數圖象直觀理解導數的幾何意義.
(3)通過經歷導數概念的抽象概括過程，體會極限思想.
2.目標解析
達成上述目標的標志是:
(1)結合“高臺跳水運動員的速度”問題，學生能借助計算工具計算運動員的平均速度，并通過觀察平均速度在自變量問隔不斷變小的過程中的變化趨勢，得出瞬時速度;結合“拋物線的切線的斜率”問題，觀察從割線過渡到切線的過程中，割線斜率在兩交點的橫坐標間隔不斷變小的過程中的變化趨勢，得出切線的斜半，從而了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵與思想.
(2)通過研究從曲線的割線過渡到切線、從割線斜率過渡到切線斜率的過程，得到導數的兒何意義，能通過求函數在某點處的導數得出函數的圖象在對應點處的切線斜率，進而求出切線的方程.
(3)結合“高臺跳水運動員的速度”和“拋物線的切線的斜率”問題，能從平均速度的數值變化和圖象過某點處的割線斜率的變化趨勢直觀感知瞬時速度是平均速度的極限，切線斜率是割線斜率的極限，能結合導數的概念和幾何意義知道函數在某指定點處的導數是一個確定的數，是一個特殊的極限，對于簡單的函數，能通過計算平均變化率的極限得出導數.
三、單元教學問題診斷分析
由于學生在學習導數之前沒有學習極限，所以學習導數的過程實際上是學生體會極限思想的過程，因此，如何用平均速度的極限理解瞬時速度，用割線斜率的極限理解切線的斜率，并由此體會極限思想，這是第一個教學難點，要突破這個難點，需要在“高臺跳水運動員的速度”和“拋物線的切線的斜率”這兩個案例中，讓學生充分經歷由“平均變化率”過渡到“瞬時變化率”的過程，通過觀察平均速度的數值變化和圖象過某點處的割線的變化趨勢，正確理解平均速度的極限就是瞬時速度，以及割線的極限位置就是切線，割線斜率的極限就是切線斜率，在此過程中，幫助學生正確理解“極限”的含義是建立導數概念的關鍵.
學生到高中階段已經有了一定的歸納能力，但在歸納的基礎上抽象出數學概念的能力仍有所欠缺，因此，如何從瞬時速度、切線的斜率這些具體案例中抽象出導數概念，是第二個教學難點，要解決這個問題，需要先從學習過的具體案例中提煉出平均變化率的概念，并用符號形式化地表示出來，在此基礎上，觀察隨著自變量的改變量趨于 0，平均變化率的數值變化和形式化后的變化趨勢，建立導數的概念.
導數概念的建立過程涉及大量的概念與符號，如何正確理解這些概念與符號的意義，是第三個教學難點，教學中要通過具體案例進行剖析，不僅要使學生能正確理解這些概念與符號，還要能準確運用相關概念與符號.
四、單元教學支持條件分析
學生之前沒有學過極限的概念，而導數的本質便是極限，同時導數的表示要借助極限符號，這些都增加了學生抽象概括出導數概念的難度，因此，教學中要借助信息技術工具，使學生通過列表觀察平均變化率的變化趨勢，通過圖象直觀觀察割線變化到切線的過程，感受“逼近”過程，以此降低學生對導數就是極限的認知難度
五、第4課時教學設計
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課程基本信息 |
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| 學科 | 高中數學 | 年級 | 高二 | 學期 | 春季 | ||||||||||||||
| 課題 | 5.1.2導數的概念及其幾何意義（第2課時） | ||||||||||||||||||
| 教科書 |
書 名：數學選擇性必修第二冊教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年7月 |
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| 內容與內容解析 | |||||||||||||||||||
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1. 課時內容 導數的幾何意義、導數的概念及其幾何意義的綜合應用. 2. 內容解析 微積分學是人類思維的偉大成果之一，為研究變量和函數提供了重要的方法.導數是微積分的核心概念之一，有極其豐富的實際背景和廣泛的應用.導數的幾何意義作為導數的概念的下位知識課，是學生掌握了上位知識——平均變化率、瞬時變化率以及導數的概念的基礎上進一步從“形”的角度理解導數的含義與價值，體會逼近、以直代曲和數形結合的數學思想方法.同時，本節的學習也為下位知識——導數的計算以及導數在研究函數中的應用奠定堅實的基礎. 3．核心素養：直觀想象、邏輯推理、數學運算. 基于以上分析，本課時的教學重點：對導數的幾何意義的探究，及其在數學、實際問題中的應用. |
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| 目標與目標解析 | |||||||||||||||||||
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1. 教學目標 (1)通過函數圖象直觀理解導數的幾何意義； (2)通過經歷導數幾何意義的抽象概括過程，體會數形結合、以直代曲、極限思想； (3)會應用導數的幾何意義求曲線上某點處的切線方程. 2. 目標解析 達成上述目標的標志： （1）通過研究從曲線的割線過渡到切線，從割線斜率過渡到切線斜率的過程，得到導數的幾何意義； （2）利用信息技術演示  的動態變化效果，體會數形結合、以直代曲、極限思想；（3）給定一個具體函數上某個已知點P（  ，會應用導數的概念得到 ，進一步用導數的幾何意義得到該點處的切線方程. |
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| 教學問題診斷分析 | |||||||||||||||||||
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（一）已經具備的基礎 從知識儲備上看，學生通過了對實例的分析，經歷了由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解了導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數，從數上體會了“逼近”的思想；同時，學生已經學習了直線的斜率與直線方程的相關知識. 從學習能力上看，教學對象是高二理科班的學生，思維活躍，具有一定的想象能力和研究問題的能力.經過高中近兩年的訓練，學生逐步形成小組合作探究，代表上臺解釋概括總結的學習模式. （二）可能存在的困難 首先學生對切線認識存在一定的思維定勢——“與曲線僅有一個公共點的直線是曲線的切線”，其次學生對導數幾何意義的認知即找到數與形之間的聯系存在一定的困難. 基于以上分析，確定本節課的教學難點：用運動變化、極限的觀點理解導數的幾何意義.在教學中借助信息技術工具，組織、引導學生通過圖象直觀觀察割線變化到切線的過程，感受“逼近”過程，以此降低學生對導數幾何意義的認知難度，從而突破本節課的教學難點. |
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| 教學支持條件分析 | |||||||||||||||||||
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為突破本節課的教學難點，在教學中借助信息技術工具，使學生通過圖象直觀觀察割線變化到切線的過程，感受“逼近”過程，以此降低學生對導數幾何意義的認知難度. 1、教法分析：“啟發探究式”教學法，教學中遵循教師主導、學生主體、探究主線，教師更多的是啟發引導學生的思維. 2、學法指導：（1）自主學習 （2）合作學習 （3）探究學習 3.教學媒體：PPT,GeoGebra |
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| 教學過程設計 | |||||||||||||||||||
教學流程圖 （環節一）情境引入 問題1：求函數  處導數 分哪幾步？第一步：求增量  第二步：求平均變化率  ；第三步：求瞬時變化率  .前面我們以物理為背景，從“數”的角度研究了導數，現在我們想從“形”的角度來解讀導數，即導數的幾何意義. 【設計意圖】：由舊知引出問題，既復習了舊知，又啟發學生思考，引出本節課課題. （環節二）探索建構 1.切線的定義 問題2：平均變化率 的幾何意義是什么？【學情預設】：平均變化率表示的是割線 的斜率.師：這就是平均變化率(  )的幾何意義 【設計意圖】：以求導數的兩個步驟為依據，從平均變化率的幾何意義入手，探索導數的幾何意義，抓住  的聯系，在圖形上從割線入手來研究問題.◆多媒體演示【動畫1】：  學生自己拖動點  沿著曲線 趨近于點 時，割線 的變化趨勢圖. 教師引導學生觀察割線與切線是否有某種內在聯系呢？【學情預設】：學生觀察【動畫1】，類比得出一般曲線的切線 切線定義：在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x)),如果當P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點 時，割線 趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線 稱為曲線y=f(x)在點 處的切線.【設計意圖】：讓學生在獲得直觀感知的基礎上，通過合作探索，親身經歷一般曲線切線的發生、發展過程，上升理性思維，形成切線定義，體會“逼近”思想. 問題3：初中時，我們怎樣定義圓的切線？ 追問1：圓的切線定義適合于任意曲線嗎？ 活動1：小組合作列舉必修一中基本初等函數的圖象，探究圓的切線定義是否適合以上函數？  【學情預設】：（1）切線與曲線的相對位置（二次函數）；（2）切線與曲線公共點的個數（三次函數，正弦函數）.追問2：今天對切線的定義符合初中圓的切線定義嗎？ 多媒體演示【動畫2】：圓上點 處的切線T和割線，演示點P從右邊沿著圓逼近點 ,然后再從左邊沿著圓逼近點 ，即 ，割線的變化趨勢.【學情預設】：先感知后發現，當 ，隨著點P沿著圓逼近點，割線無限趨近于點處的切線.【設計意圖】：帶著問題觀察動畫，借助熟悉的圓中的某點處的割線和切線，學生更易感知當 ，割線的變化趨勢.2.導數的幾何意義 問題:4：曲線上兩點  ， ，割線 點P處的切線，那么：，割線的斜率 ？與導數 又有何關系呢？【學情預設】： 生： 
 問題5：你能發現導數的幾何意義嗎？ 【學情預設】：生：函數 在 處的導數就是曲線在該點處的切線斜率 ，即： 導數的幾何意義：  活動2：小組討論利用導數的幾何意義能幫助我們解決哪些函數問題？以f(x)=  為例.【學情預設】：（1）求瞬時變化率.（2）求曲線上某點處的切線方程. 【設計意圖】：體會導數的幾何意義，抓住求導數的點與切點的聯系. （環節三）應用拓展 3. 了解以直代曲思想  例1（課本例5）：圖5.1-7表示人體血管中的藥物濃度 （單位： ）隨時間 （單位： ）變化的函數圖像，根據圖像，估計 min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1).解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度  在此時刻的導數，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切線的斜率．如圖5.1-7，畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值．作  處的切線，并在切線上去兩點，如 ， 則該切線的斜率： 所以  活動3：小組合作利用網格估t=0.2,0.4,0.6min時，血管中藥物濃度的瞬時變化率 下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：
問題6：圖中哪條直線最貼近點 附近的曲線？  師：帶領學生利用信息技術工具將  發現 越來越接近于直線，引導學生理解以直代曲思想是指某點附近一個很小的研究區域內，曲線與切線的變化趨勢基本一致，故可由曲線上某點處的切線近似代替這一點附近的曲線.以直代曲：在點 附近，曲線 可以用點處的切線T近似代替,這是微積分中重要的思想方法 【設計意圖】：通過將曲線一點處的局部“放大、放大、再放大”的直觀方法，形象而逼真地再現“以直代曲”思想. 例2（課本例4）：圖5.1-6是高臺跳水運動中運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數  的圖象.根據圖像，請描述、比較曲線 在 附近的變化情況.  活動4：小組合作根據圖像，請描述、比較曲線  在附近的變化情況.解：我們用曲線  在 、 、 處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況．（1）當  時，曲線在處的切線 平行于 軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降；（2）當  時，曲線在處的切線 的斜率 ，所以，在附近曲線下降，即函數 在附近單調遞減；（3）當  時，曲線在處的切線 的斜率 ，所以，在附近曲線下降，即函數在附近單調遞減．從圖3.1-3可以看出，直線 的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在 附近比在 附近下降的緩慢．問題7: 比較曲線 在 附近的變化情況.【設計意圖】：要求學生動腦(審題)、動手(畫切線)、動口(討論)，體會利用導數的幾何意義及運用導數來研究函數在某點附近的單調性，滲透“數形結合”的思想方法，運用“以直代曲”的思想方法. 導函數：y=f(x)的導函數f'(x)=y'=  (環節四) 歸納總結 【設計意圖】：引導學生回顧本節課所學知識并從中體會數學思想與方法，幫助學生建構知識體系。 （環節五）目標檢測 1．已知函數  的圖像如圖所示， 是的導函數，則下列結論正確的是（ ）  （第1題） （第2題） A．  B． C．  D． 2．如圖，函數  的圖象在點 處的切線方程是 ，則 （ ） A．1 B．3 C． D． 3．下面對函數  , 和 在區間 上的說法正確的是（ ）A．  的遞減速度越來越慢， 的遞減速度越來越快， 的遞減速度越來越慢B． 的遞減速度越來越快， 的遞減速度越來越慢， 的遞減速度越來越快C． 的遞減速度越來越慢，的遞減速度越來越慢，的遞增速度越來越慢D． 的遞減速度越來越快，的遞減速度越來越快，的遞減速度越來越快【設計意圖】：檢測本課時目標的達成情況 （環節六）分層作業 A組 感受 理解 1.（1）求曲線  處的切線方程.(2)求曲線  點（ ）處切線的傾斜角.（3）課本71頁第10題. B組 思考 運用 2.(1)課本71頁第11，12題 （2）閱讀•理解：收集有關微積分創立的時代背景和牛頓、萊布尼茲的資料. 【設計意圖】：尊重個體差異并努力減輕他們學習上的壓力,讓學困生“吃得了”、中等生“吃得好”、優等生“吃得飽”.給他們嘗試成功的機會，讓他們樹立自信心. 六．教學板書設計
課后反思：
3. 例題及其活動目的是使學生體會“以直代曲”的方法在解決問題中的作用，加深學生對導數幾何意義的理解、掌握和應用，同時注意將導數多方面的意義聯系起來，有效突破難點.課堂中學生數學符號的表達及數形結合的水平、讀圖的水平還需提高，希望在以后的教學中不斷提高自己的教學理念，讓學生有效的“動”起來. |
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視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
處的切線的斜率.
