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視頻標簽：信息技術應用,正態分布的影響
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高二數學選修2-3第二章《信息技術應用對正態分布的影響》黑龍江省級優課
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信息技術應用,對正態分布的影響
一．教材分析： （1）地位：
正態分布是高中數學學習內容中新增的內容之一，是概率論與統計學的重要內容。一方面，它是在學生學習了總體分布后給出的一種自然界最常見的一種分布，它是學生進一步應用正態分布解決實際問題的理論依據，因此它起著承上啟下的橋梁作用；另一方面，正態分布具有許多良好的性質，許多分布都可以用正態分布來近似描述。因此在理論研究中， 正態分布占有很重要的地位。 （2）作用：
在學習了離散型隨機變量之后，正態分布作為連續型隨機變量，在這里既是對前面內容的一種補充，也是對前面知識的一種拓展，是必修三第三章概率知識的后續。該節內容通過研究頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線，引出擬合的函數式，進而得到正態分布的概念、分析正態曲線的特點，最后研究了它的應用。 （3）編排：
舊教材采用直接給出正態分布密度函數表達式的方法，這使學生在很長一段時間里不理解正態分布的來源。新教材利用高爾頓板引入正態分布的密度曲線更直觀，易于解釋曲線的來源。正態分布是描述隨機現象的一種最常見的分布，在現實生活中有非常廣泛的應用。在這里學習正態分布，也有利于學生在大學階段的進一步學習。
二．學情分析：
（1）認知結構：在必修三的學習中，學生已經掌握了統計等知識，這為學生理解利用頻率分布直方圖來研究小球的分布規律奠定了基礎。但正態分布的密度函數表達式較為復雜抽象，學生理解比較困難。
（2）年齡特征：做為在學生高中階段編排的知識點，學生在以往的經歷與學習生活中對正態分布有所接觸，但不知其理論，在教學中可引用學生較為熟悉的例子進行教學，例如一個班級的成績分布，一個地區的人口年齡分布等。
三．教學目標：
（1）知識與技能目標：理解并掌握（標準）正態分布和正態曲線的概念、意義及性質，并
能簡單應用。
（2） 過程與方法目標：能用正態分布、正態曲線研究有關隨機變量分布的規律，引導學生
通過觀察并探究
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律，提高分析問題，解決問題的能力；培養學生數形結合，函數與方程等數學思想方法。 （3）情感態度與價值觀目標：通過教學中一系列的探究過程使學生體驗發現的快樂，形成積極的學習態度、健康向上的人生態度，具有科學精神和正確的世界觀、人生觀、價值觀，形成有責任感和使命感的社會公民。
四．教學重點：
本節課是概念課教學，應該有一個讓學生參與討論、發現規律、總結特點并給出定義、歸納方法的探索認識過程，其重點為正態分布的概念、正態曲線的性質和標準正態分布的一些簡單計算。
五．教學難點：
正態分布做為一個高中新課程新引入的知識點，沒有現成的教學經驗，其概念難于理解，但在現實生活中有會經常遇見的一種分布，學生不熟悉其本身性質，概念中又涉及一些微積分知識，致使教師的教與學生的學都相對比較困難。
六．教學方法：
按照建構主義觀點，教學不只是知識的傳遞，更應該是知識的處理和轉換。因此，本節課主要采用“啟發式教學”與“合作學習教學”的模式組織教學，凸現學生的主體地位，讓教師成為學生數學活動的組織者、引導者、合作者，讓學生通過函數觀點主動建構出正態分布、 正態曲線和標準正態分布、標準正態曲線。其中主要的教學方法是講授法，實驗觀察法。
七．設計思想：
（1）有序的教學，在基于課本講解的基礎上做適當的拓展，讓學生有發展的空間，提高學生對知識追求的渴望欲。
（2）遵循教學的基本規律，根據學生特點，達到教學目標的要求。 （3）有目的有計劃的教學，恰當解決教學過程中遇到的問題。
（4）完成教學要求同時，提升學生對真理的認同感，對科學對事物有自己的理解看法，最終對學生的情感價值觀產生積極影響。
八．教學過程：（借助多媒體設備） （一）復習引入
總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線。 （二）導入新課
1. 利用多媒體設備掩飾高爾頓板試驗
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（1）教師創設情境，為導入新知做準備。
（2）學生感悟體驗，對試驗的結果進行定向思考。
（3）學生經過觀察發現：下落的小球在槽中的分布是有規律的。 （4）師生互動發現小球掉落發布情況為中間多兩邊少。 2. 用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規律
（1）觀察頻率分布直方圖。
（2）學生依然發現頻率的分布依然是中間多兩邊少。 3. 引入正態分布曲線
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（1）學生看出其圖像型如“鐘”。 （2）引出正態分布的函數
22
()2,1
(),(,)2xxex
（3）簡單介紹正態曲線
曲線中任意的一個x均對應著唯一的一個y值，經過擬合，這條曲線是（或近似地是）下列函數的圖像： 22
()2,1
(),(,)2xxex
（即正態分布函數）
其中是圓周率，e是自然對數的底，實數和)0(為參數。我們稱x,的圖像為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線。 與分別反映的是均值與標準差。 （三）講授新知 1. 正態分布函數
22
()2,1
(),(,)2xxex
記做),(~2NX，其中0,. 2. 正態分布曲線特點
（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交。
（2）曲線是單峰的，它關于直線x對稱。 （3）曲線在x處達到峰值
21
.
（4）曲線與x軸之間面積為1.（其中面積的計算涉及積分內容，講解點到即可。） 3. 函數與參數,之間的關系
（1）固定的值，觀察對圖像的影響
當值固定時，正態分布曲線位置由確定，曲線隨之變化而沿x軸平移。
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（2）固定的值，觀察對圖像的影響
當值固定時，正態分布曲線形狀由確定，值越小，曲線形狀越“瘦高，總統分布越集中；值越大，曲線形狀越“矮胖”，總統分布越分散。
4. 曲線與x軸之間的面積為1。根據對稱性知，隨機變量X落在對稱軸x兩側的概率都是21。請思考：對于任意一個隨機變量X，如何求出落在給定區間],(ba內的概率？
一般的，如果對于任何實數a，b)(ba，隨機變量X滿足
,()()b
a
PaXbxdx（積分內容高中涉及不多，講明積分作用即可）
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（5）3原則
()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.
PXPXPX 68.3%
2σ
x
95.4%
4σ
x
99.7%
6σ
x
（四）練習鞏固
例題1（呈現于PPT） 把一條正態曲線a沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到新的一條曲線b，下列說法不正確的是（ C） A．曲線b仍然是正態曲線
B．曲線a和b的最高點的縱坐標相等
C．以曲線b為正態分布的總體的方差比以曲線a為正態分布的總體的方差大2 D．以曲線b為正態分布的總體的期望比以曲線a為正態分布的總體的期望大2 例題講解分析： 學生獨立分析，并學生間互問互檢，質疑答辯。教師排難解惑，幫助學生鞏固深化所學知識。 學生易分析知：正態曲線a經過平移仍是正態曲線，峰值不變。而曲線的左右平移與即均值（期望）有關。故C選項的說法不正確。
例題2（呈現于PPT） 某地區數學考試的成績X服從正態分布，其密度函數曲線如下圖：
① 寫出X的分布密度函數；
② 求成績X位于區間68,52的概率是多少？ ③ 求成績X位于區間68,60的概率是多少？
若該地區有10000名學生參加考試，從理論上講成績在76分以上的考生有多少人？ 例題講解分析：
學生相互討論，根據對稱軸可知60，根據峰值可知8，代入正態曲線表達式可得：
20 40 60 80
100
y
281x
O
- 7 -
128
60,2
281
xe
x
由8,60知：
（1）6852XP＜XP＜6826.0
（2）6860XP＜68522
1
XP＜ 3413.0 4476＜＞XPXP7644121
XP9544.012
10228.0
例3 （呈現于PPT）設正態總體落在區間1,和區間,3內的概率相等，落在區間4,2內的概率為%74.99，求該正態總體對應的正態曲線的最高點的坐標。
例題講解分析：
學生分析易知：落在1,和,3內概率相等知1,由區間4,2概率為99.74%，知431,231,即1，代入正態分布密度函數解析式知最高點的坐標為
21,
1. （5）布置作業
以課本習題做為基礎布置相應作業練習。 九．教學反思：
（1）要有明確的教學目標，備課時要依據教材，但又不拘泥于教材，靈活運用教材。在數學教學中，要通過師生的共同努力，使學生在知識、能力、技能、心理、思想品德等方面達到預定的目標，以提高學生的綜合素質。
（2）要能突出重點、化解難點，講授重點內容，是整堂課的教學高潮。教師要通過聲音、手勢、板書等的變化或應用模型、投影儀等直觀教具，刺激學生的大腦，使學生能夠興奮起來，適當地還可以插入與此類知識有關的笑話，對所學內容在大腦中刻下強烈的印象，激發學生的學習興趣，提高學生對新知識的接受能力。
（3）要善于應用現代化教學手段，例如電腦軟件PPT，MATLAB，幾何畫板等教學軟件。 （4）根據具體內容，選擇恰當的教學方法，每一堂課都有規定的教學任務和目標要求。所謂“教學有法，但無定法”，教師要能隨著教學內容的變化，教學對象的變化，教學設備的變化，靈活應用教學方法。
（5）關愛學生，及時鼓勵，充分發揮學生主體作用，調動學生的學習積極性切實重視基礎知識、基本技能和基本方法，滲透教學思想方法，培養綜合運用能力。 十．板書設計：
板式：
主板
副板1
副板2
內容如下
內容如下
內容視教學情況而定
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（具體內容見下頁）
主板
信息技術應用,對正態分布的影響
一．正態分布函數
22
()2,1
(),(,)2xxex
記做),(~2NX，其中0,.其中是圓周率，e是自然對數的底，與分別反映的是均值與標準差。 二. 曲線與，關系
（1）當值固定時，正態分布曲線位置由確定，曲線隨之變化而沿x軸平移。
（2）當值固定時，正態分布曲線形狀由確定，值越小，曲線形狀越“瘦高，總統分布越集中；值越大，曲線形狀越“矮胖”，總統分布越分散。 三. 3原則
()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.
PXPXPX 副板1（ PPT中例題答案）
例一：曲線函數值增加2.
例二：8,60，128
60,2
281
xe
x
（1）6852XP＜XP＜6826.0
（2）6860XP＜68522
1
XP＜ 3413.0 4476＜＞XPXP7644121
XP9544.012
10228.0
例三：1
431,231,即1
最高點的坐標為
21,1 副板2（臨時例題或草稿，可擦去部分）
視教學情況而定
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