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視頻標(biāo)簽：信息技術(shù)應(yīng)用,正態(tài)分布
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：人教A版高二數(shù)學(xué)選修2-3第二章信息技術(shù)應(yīng)用 正態(tài)分布-河北省 - 保定
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信息技術(shù)應(yīng)用 正態(tài)分布
一、教學(xué)目標(biāo)
1.知識與技能：（1）認(rèn)識正態(tài)分布密度函數(shù)解析式；
(2）利用幾何畫板，歸納正態(tài)曲線的特點及其表示的意義；
2.過程與方法：通過師生共同探究的方式，讓學(xué)生深刻理解相關(guān)概念，領(lǐng)會數(shù)形
結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法 ，體會數(shù)學(xué)知識的形成。
3.情感態(tài)度與價值觀：以實驗作載體，讓學(xué)生自己動手操作感受曲線的變換，激
發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；通過教學(xué)中一系列的探究過程使學(xué)生體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神。
二、教學(xué)重點與難點
重點：正態(tài)分布曲線的特點及其所表示的意義；
難點：了解在實際中什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，并掌握正態(tài)分布曲線所表示的意義。 三、教學(xué)方法
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法 四、教具準(zhǔn)備
黑板，多媒體，幾何畫板，電腦 五、教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié)
教 學(xué) 內(nèi) 容
（教師活動）
師 生 互 動
設(shè) 計 意 圖
創(chuàng)設(shè)情境 在現(xiàn)實生活中充滿了很
多的偶然因素，比如：時值
盛夏，正是多雨的季節(jié)，然
而究竟在哪天下雨又是不確定的。但是同學(xué)們有沒有想過：在大量偶然因素的作用下是否會產(chǎn)生某種必然的結(jié)果呢？
早在100多年前英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計了高爾頓板實驗。
首先借助幾何畫板演示
高爾頓板實驗的過程。
接著請同學(xué)們打開高爾頓板實驗的模擬程序。
我們分三組進(jìn)行實驗操
作：
第一組：放入小球數(shù)n=100
創(chuàng)設(shè)情境，為導(dǎo)入新知做準(zhǔn)備。
學(xué)生對實驗有
了直觀的認(rèn)識，對試驗的結(jié)果進(jìn)行定向思考。
學(xué)生經(jīng)過觀察小球在槽中的堆積形狀發(fā)現(xiàn)：下落的
小球在槽中的分
讓學(xué)生操
作試驗，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積
極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。讓學(xué)生體驗“正態(tài)
分布曲線“的生
成和發(fā)現(xiàn)歷程。
第二組：n=200 第三組：n=300 觀察小球下落后的分布情況。 布是有規(guī)律的：中間高，兩頭低，左右基本成對稱。
建構(gòu)概念
為了更清晰地研究小球
的分布規(guī)律，我們需要做出頻率分布直方圖。 （參見課件）
如果我們繼續(xù)放入更多
的小球后，隨著樣本容量的增加，所分組數(shù)增加，組距
減少，相應(yīng)的頻率分布折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，在統(tǒng)計學(xué)中把這條光滑曲線叫總體密度曲線。 這條曲線形狀像一口鐘，
稱為鐘形曲線。 從描述曲線形狀的角度自然引入了正態(tài)密度函數(shù)的
表達(dá)式：
在這里引導(dǎo)學(xué)生回憶頻率分布直方圖
通過把與新內(nèi)容有關(guān)的舊知識抽出來作為新知識的“生長點”，為引入新知搭橋鋪路，形成正遷移。
,,212
2
2,xe
xx
分析表達(dá)式特點：解析式中前有一個系數(shù)
21，
后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)形式，冪指數(shù)為
2
22)(
x，解析式
中含兩個常數(shù)和e，還含有兩個參數(shù)和
課堂探究一
繼續(xù)探究：當(dāng)我們?nèi)サ舾郀栴D板試驗最下邊的球槽，并沿其底部建立一個水平坐標(biāo)軸，其刻度單位為球槽的寬度，引入隨機(jī)變量X，用X表示落下的小球第一次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo)。 引導(dǎo)學(xué)生思考：X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量。
對于連續(xù)型隨機(jī)變量，
這個步驟實現(xiàn)了由離散型隨機(jī)變量到連續(xù)型隨機(jī)變量的過渡。
我們更關(guān)心的是在某區(qū)間],(ba上的概率
在],(ba上的概率如何表示？
X
落在區(qū)間],(ba的概率為圖中陰影部分的面積；再結(jié)合定積分的意義,陰影部分面積就是正態(tài)密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分值，這樣，概率與積分間
就建立了一個等量關(guān)系。
通過設(shè)疑，
引起學(xué)生對問
題的深入思考，加深對定積分幾何意義的理解。
形成概念
在前面分析的基礎(chǔ)上，引出正態(tài)分布概念：
一般地，如果對于任何
實數(shù)a＜b，隨機(jī)變量X滿足：
dx
xbXaPba,＜，則稱X的分布為正態(tài)分布，常記作2,N。
如果隨機(jī)變量X服從正
引導(dǎo)學(xué)生分析，X所落區(qū)間的端點能否取值，均不影響X落在該區(qū)間內(nèi)的概率。 以舊引新，雖概念較抽象，
但這樣處理學(xué)
生不會覺得太突兀，易于接受新知識。
O
y
x
ab
態(tài)分布，則記作2,~NX。
列舉實例
正態(tài)分布廣泛存在于自
然現(xiàn)象，生產(chǎn)生活中，比如咱們年級學(xué)生的身高，體重，某地的平均氣溫，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)等。它在概率統(tǒng)計中占有重要地位。
教師列舉實例分析，
幫助學(xué)生更加透徹的理解。
通過舉例，
讓學(xué)生體會到生活中處處有正態(tài)分布，感受到數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用。
課堂探究二
引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)解析式以及圖像歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)： 引導(dǎo)思考以下問題： (1)曲線在坐標(biāo)平面的什么位置？曲線為什么與x軸不相交？
(2)曲線有沒有對稱軸？
(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；
(2)曲線是單峰
該環(huán)節(jié)借
助函數(shù)圖像，很好地鍛煉了學(xué)生觀察歸納的能力，體現(xiàn)了歸納分類、化難為易、數(shù)形結(jié)合的思想。
(3) 曲線有沒有最高點？坐標(biāo)是？
(4)曲線與x軸圍成的面積是多少？
的，圖像關(guān)于直線
x對稱；
(3)曲線在x處達(dá)峰值
21；
(4)曲線與x軸之間的面積為1；
課堂探究三
因為正太分布完全由
和兩個參數(shù)確定，下面我們研究和對正態(tài)曲線的
影響。 但是如果兩個參數(shù)一起討論會比較困難，因此我們不妨先固定其中一個參數(shù)，探究另一個參數(shù)對正太曲線的影響。
下面請同學(xué)們打開幾何畫板。
首先固定的值，研究對曲線的影響。
用點A的縱坐標(biāo)控制的取值。
當(dāng)一定時，引導(dǎo)學(xué)生操作，拖動
點A，觀察曲線隨的變化發(fā)生了
針對解析式中含有兩個參數(shù)，學(xué)生較難獨(dú)立分析參數(shù)對曲線的影響，這里通過固定一個參數(shù)，討論另一個參數(shù)對圖象的影響，這樣的處理大大降低了難度，并能很好地突出重點。
接著固定的值，研究對曲線的影響。
用點B的縱坐標(biāo)控制的取值。
通過實際操作，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的什么規(guī)律？
什么改變。 當(dāng)一定時，引導(dǎo)學(xué)生操作，拖動點B，觀察曲線隨
的變化發(fā)生了
什么改變。
（5）當(dāng) 一定時，曲線的位置由確定，
曲線隨著的變化而沿
軸平移。 （6）當(dāng) 一定時，曲線的形狀由 確定，越小，則曲線越瘦高，表示總體分布越集中；越大，則曲線越矮胖，表示總體分布越分散。
通過學(xué)生實際操作，很直觀地發(fā)現(xiàn)了圖像地變化，激發(fā)了學(xué)生的興趣。
探究
形
成理論 在實際問題中，我們往
往需要計算出服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某區(qū)間內(nèi)發(fā)生的概率， ,()()daa
PaXaxx
≤
特別地，當(dāng)a取值
,2,3時，得到了三個特殊
區(qū)間上的概率，經(jīng)過數(shù)學(xué)家反復(fù)驗證，無論和取什么值，正太總體在三個區(qū)間內(nèi)的概率均為固定值。 同學(xué)們打開幾何畫板，
觀察概率的取值。
由此得到3原則。即：
在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正太分布2,~NX的隨機(jī)變量
X
只取
(3,3)之間的值。
引導(dǎo)學(xué)生觀察
當(dāng)和改變時，在這三個區(qū)間內(nèi)的概率是否發(fā)生改變？
激發(fā)學(xué)生積
極思考。
自 我
嘗 試
利用3原則，我們經(jīng)常求解某些概率問題。 例1.
利用三個已知
區(qū)間的概率，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。 結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性可得到結(jié)果。
設(shè)計這一題
主要為了加強(qiáng)
學(xué)生對正態(tài)分
布概率的求解
思想的理解。 體會面積的對稱性。
例2.在某次數(shù)學(xué)考試中，
考生的成績 X服從一個正 態(tài)分布，即 X~N(90,100)。 （1）試求考試成績 X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？
（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人？
學(xué)生結(jié)合概率的幾何意義可知。
通過一個貼近生活的實例，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力，并
體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。
2(1,2),(1)(13);(2)(35)XNPXPX設(shè)服從正態(tài)分布試求：
六、課后作業(yè)
完成相應(yīng)的課時作業(yè)。 七、板書設(shè)計
課堂小結(jié)
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲到了哪些知識？
最后與同學(xué)們共同分享一首詩： 正態(tài)分布像口鐘，
研究起來放輕松，
左右位置均值管，
高矮盡在方差中。 生產(chǎn)生活常應(yīng)用， 積分唯一不變通， 各種細(xì)節(jié)要牢記， 努力學(xué)習(xí)向前沖。
教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)
行課堂小結(jié)。
通過小結(jié)使學(xué)生對本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)
有一個清晰的
認(rèn)識,同時使學(xué)生自己內(nèi)化知識，同學(xué)之間相互補(bǔ)充。
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