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視頻標簽：圖形的平移,旋轉回顧
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版八年級數學下冊《圖形的平移與旋轉回顧與思考》（第二課時）福建省 - 漳州
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《圖形的平移與旋轉回顧與思考》（第二課時）
一、教學內容分析
本節課是八下第三章《圖形的平移與旋轉》學完后，對圖形的變換——平移、旋轉的相關性質復習后的應用提高.本課是在全等三角形、角平分線的性質、等邊三角形、勾股定理、圖形的旋轉基礎上學習的，又是后面學生后續解決運動型問題、幾何綜合問題等類型的動態幾何問題的必備知識，為學生解決動態幾何問題做了必要的準備.是學生體會轉化思想、分類討論思想、特殊到一般思想等數學思想方法的必要體驗.
二、學情分析
幾何是初中學生中考數學的“難過的坑”，動態幾何更令學生談虎色變.大部分的學生沒能養成認真審題的習慣，對太長的題目沒有足夠的耐心去審讀，更別說去挖掘題目中的相關知識的聯系，對于會動的幾何.很多學生更是直接選擇放棄.而優生雖然學習熱情高，但對問題的分析能力、概括能力、化解難點等方面存在嚴重不足. 三、教學目標
1.通過復習，讓學生熟練掌握借助圖形的變化研究圖形的性質一般思路；體會圖形的旋轉與全等三角形的構造之間的內在聯系，提高學生觀察分析綜合問題的能力.
2.通過動手操作、觀察推理提高學生分解、組合圖形的能力，提高和完善邏輯思維能力和運用知識解決問題的能力.
3.通過欣賞圖形變換所創造出的美，進一步感受“動中有靜”、“以不變應萬變”的數學解題方法之美. 四、重難點分析
1.教學重點：體會圖形的旋轉與構造全等三角形的內在聯系；通過類比、歸納，探索圖形的變換過程中存在的內在聯系，尋找其中的內在規律.
2.教學難點：培養學生的模型意識，并自覺運用運動變化的觀點思考問題，在復雜的問題情境中能將復雜問題轉化為基本模型，從而順利解決數學問題. 五、教法分析
1.通過典型例題的剖析，歸納動態幾何問題的處理策略，形成解決同類問題的一般思路與分析方法； 2.引導學生在日常學習中重視模型和基本圖形的發現、積累和運用，提高解題能力，培養數學模型意
識，用模型意識來指導解題，用模式識別來選擇解題策略；
3.教學要充分考慮初中學生的思維習慣，照顧到最大部分的學生，設計好梯度，先直觀再抽象，抓住圖形變換中不變的量，“以不變應萬變”.
六、課前準備
學生：三角尺；導學案. 教師：ppt、幾何畫板、微課視頻 七、教學過程設計 （一）情境引入
武俠里的“無招勝有招”與數學里的“以不變應萬變”,本課要借助手中的三角尺探究圖形的變換過
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B
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程中的“變”與“不變”. （二）探究活動【見導學案】
活動一：如圖：∠AOB=90°，OC是∠AOB的角平分線，將三角尺△PQR的直角頂點P放在OC上，繞著點P轉動△PQR，四條直角邊圍成四邊形OMPN.
問題1：當PM⊥OA時，∠PMO與∠PNO的度數如何？PM與PN相等嗎？為什么？ 問題2：此時，若OM+ON＝k·OP，求k的值.
【設計意圖】 從最簡單，也是最特殊的位置入手，尋找規律，暗中揭示本課研究的主要數量關系，也是讓學生體會探索數學規律從特殊到一般的方法，也教給學生“動中尋靜”的一種“特殊值法”.
活動二：保持點P在OC上，繞著點P轉動△PQR，探究轉動過程中變化的量以及不變的量.
問題1：轉動△PQR的過程中，四邊形OMPN的哪些元素變化了？哪些沒變？ 問題2：結合活動一，你認為PM、PN還相等嗎？怎么證明？
問題3： PM與PN可以通過怎樣的運動變化重合？這能給全等三角形的證明提供其他思路嗎？
問題4：OM+ON＝
OP還成立嗎？四邊形OMPN的什么特征使得OM在旋轉后能與
ON拼合在同一直線上？
問題5：如果點M移動到了射線OA的反向延長線上，這兩個結論還成立嗎？
【設計意圖】 最特殊的情況往往蘊含著最本質的規律和方法，本環節的設計，由淺入深，由于有活動一的鋪墊，學生心理對結論有著較強的目的性，重點在于探索全等三角形的證法中的難點——證明角的相等，力求多種思路；同時，借助幾何畫板工具，探究△PQR在旋轉過程中存在的不變關系，增強學生的感性認識，對線段以及全等三角形的旋轉重合加深印象，體會“動靜互化”的思想，為以下的解題提供思路.
活動三：改變∠AOB的度數，探究旋轉過程中的不變規律.
問題1：已知∠AOB=120°，OC是它的角平分線，利用手中的三角尺選擇一個特殊的角∠QPR（如30°，45°，60°，90°，120°等），使其頂點P在OC上.為了使∠QPR在繞點P旋轉的過程中PM＝PN仍然成立，∠QPR應取多少度？
問題2：為了證明PM＝PN，你按什么樣的思路構造全等三角形？ 問題3：剛才的結論：OM+ON＝
OP還成立嗎？四邊形OMPN的什么特征保證了OM
在旋轉后能與ON拼合在同一直線上？
問題4： 如果∠MON＝α，∠MPN＝β，你認為α與β應該滿足什么關系才能使PM＝PN成立？如何證明？
【設計意圖】 特殊的情況雖然能幫助學生探索結論，但是在從特殊到一般的探究過程中也會對學生造成干擾，容易認為∠AOB與∠MPN應該相等，改變∠MPN的度數就是要盡量降低這種負遷移，為數學模型的抽象做好鋪墊.
同時，脫離三角尺的背景，也是培養學生的模型意識的需要，感性到理性必須有一個抽象的過程，有了前面探究的基礎，學生用相同的思路、相同的證法思考全等三角形的證明，在思考的過程中深刻體會“以
N
M
OP
N
M
O
P
3
靜制動”的分析方法以及“動中有靜”的結論. （三）鞏固應用
1.已知：在正方形ABCD中，P為直線AD上一點，連接BP,以BP為底邊作等腰直角三角形△PBE,連接AE. （1）如圖1，當點P在線段AD上時，求證：AB+AP=
AE;
（2）如圖2,當點P在線段 DA 的延長線上時，線段 AB、AP、AE 的數量關系是___________________.
【設計意圖】將活動二的情形適當變式，其中的旋轉思路并無變化，通過兩種情形的練習，培養學生的模型意識，體會旋轉在證明線段關系中的應用，使技能得到固化. （四）歸納提高
播放微課視頻，歸納課上分析的幾種情形，挖掘出最本質的特征，建立幾何模型，通過視頻展現圖形變換中的“變與不變”，體會旋轉在解題思路中的應用，拓展聯系相關知識點，總結提高.
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名稱：對角互補模型
條件：①對角互補（∠MON+∠MPN=180°）②角平分線OP 結論：PM＝PN
思路：旋轉（△POM繞點P逆時針旋轉∠MPN的度數） 輔助線：過點P作∠OPG=∠MPN，交ON的延長線于點G
【設計意圖】 從借助工具到脫離工具，學生經歷觀察、抽象、建立模型的過程，在逐漸抽象的過程中挖掘模型中最本質的特征，體會數學模型是聯系數學與實際問題的橋梁，培養學生的模型意識，培養學生敏銳的洞察力、持久的創造力.利用微課視頻，增強學生的興趣，把整個課濃縮并升華.
（五）回顧思考--問題清單
（1） 今天學習了什么數學模型？
（2） 你是如何記住這個模型的？它的最本質的特征是什么？ （3） 它有幾種特殊情況？分別對應著什么結論？ （4） 在證明結論時哪一部分最重要？你的思路是什么？ （5） 在證明結論時哪一部分最困難？你的方法是什么？ （6） 你在學習過程中有哪些新的體驗？感受到了哪些思想方法？
G
NM
OP
4
（六）布置作業
1. 如左下圖，在對角互補模型中，已知∠MON=60°, ∠MPN=120°，旋轉∠MPN的過程中， ①PM＝PN，②OM+ON＝OP仍然成立，求k的值.
2.已知等邊△ABC，點D為BC的中點，∠NDM=120°,兩邊分別交直線AC、AB分別于點M、N
（1） 如圖1，求證MC=AB+BN：
（2） 如圖2，線段MC、AB、BN的數量關系是_________________________________.
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