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視頻標簽：閱讀與思考,圓周率π
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：人教版初中數學九年級上冊24.3閱讀與思考---圓周率π-福建
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人教版初中數學九年級上冊24.3閱讀與思考---圓周率π-福建省 - 莆田
閱讀與思考---圓周率π
學科
數學
教材分析
本節課是以人教版初中數學九年級上冊第二十四章《圓》中的第24.4節“圓與正多邊形”為內容依托，是課本第109頁和110頁的閱讀與思考的內容。學生在學習“圓與正多邊形”和銳角三角函數的基礎上,對圓周率的計算進行初步探究和對圓周率的歷史進行初步的了解。這個數學閱讀內容：1.介紹了利用正多邊形的周長逼近圓的周長，從而得到了圓周率π的計算方法，其中涉及極限思想、轉化思想；2.教材羅列了在圓周率研究歷史中最為重要的人物及方法，從古至今，涵蓋中外，以圓周率的探索過程為主線，以體現圓周率的文化價值為主格調，來滿足孩子們的好奇心：也為學生打開了一扇窺視數學文化發展史的窗戶，為進一步理解圓周率的意義，及今后對數學的學習，留下一片想象的空間。通過閱讀來挖掘圓周率蘊含的教育價值，感受數學的魅力，激發研究數學的興趣。
學情分析 學生已經學習了圓的相關知識、圓與正多邊形的關系、銳角三函數的相關知識的基礎上，進行學習《閱讀與思考---圓周率π》。
教學目標
知識與技能 1.利用圓的內接正多邊形的周長逼近圓的周長，學會用圓的相關知識和銳角三角函數等求出圓的內接正多邊形的周長、圓的內接正多邊形的周長與直徑的比值，從而得到了圓周率π的計算方法。
2.閱讀和了解圓周率的發展簡史，感受數學知識的探索過程。 過程與方法
1.通過動手操作探索圓的周長和直徑的比值，并會用式子表示，理解圓周率的意義；
2.通過幾何畫板軟件動態演示“逼近”過程，同時表中的數據在變化及表格的行數在增加和伸長，給學生直觀形象的感覺、增強學習興趣。 3.了解圓周率的歷史，體會它的文化價值。通過自主搜集圓周率的相關資料、交流體驗，培養收集信息、整合信息，提高質疑、理解的能力。在閱讀理解過程中，體驗數學研究方法發展的過程、極限思想、圓周率精確位數的現代價值等，為今后的數學學習提供一定的參考價值。
情感、態度、價值觀
經歷求圓周率π的過程，體會轉化、逼近、數學建模、方程、從特殊到一般、數形結合等數學思想的應用。通過閱讀“圓周率的歷史”，體驗數學文化的魅力，激發研究數學的興趣，在閱讀劉徽、祖沖之的相關成就時激發民族自豪感。
教學重 難點
重點
1.將圓的周長轉化為圓的內接正多邊形的長，計算圓的內接正多邊形的周長、圓的內接正多邊形的周長與直徑的比值，體會其中涉及到的數學思想。
2.閱讀圓周率的發展簡史，感受數學知識的探索過程。體驗數學文化的魅力，激發研究數學的興趣；在閱讀劉徽、祖沖之的相關成就時激發民族自豪感。
難點
將圓的周長轉化為圓的內接正多邊形的長，計算圓的內接正多邊形的周長、圓的內接正多邊形的周長與直徑的比值。通過自主搜集圓周率的相關資料、交流體驗，培養收集信息、整合信息，提高質疑、理解的能力。
教學資源利用和教學策略 利用白板播放視頻、相關的教學內容，利用幾何畫板進行動畫演示圓的內接正多邊形的變化及表格中的數據的相應的變化，來啟發學生思考，培養學生的思維能力，在收集、分享、思考中體會數學知識和歷史，感受數學文化的博大精深，及在探索過程中所隱含的數學方法。
學生課前準備 學生課前閱讀課本第109頁和110頁的內容及搜集的各種信息、資料，課前閱讀之后的感受、想法。
教具準備
白板、幾何畫板、圓規、三角板
本節課的主要內容的思維導圖：
教學 環節
教學活動設計 師生活動 設計意圖 創設問題情境
活動1:播放鋼琴曲《song form π》：
這首鋼琴曲是把無限不無限小數π=3.141596……變成音符寫成的曲子。竟然也如此美妙動聽!圓周率π真是太神奇了。
師生一起聆聽鋼琴曲。聽完之后教師提出一些問題，學生回答。
用美妙動聽的鋼琴曲，激發學生的學習興趣，及對圓周率π的好奇，對探索圓周率π的奧秘的欲望。感受數學的美！ 探索新知 活動2:圓周率π=3.14159……是怎么求出來的？ 分析：從圓的周長公式C=2πR，可得到π=R
C2,
如果已經求得了圓的周長，那么將圓的周長與直徑相比，就可以求出圓周率π了。因此，在某種意義上求圓周率π的問題就轉成求圓的周長的問題。
教師引導，
學生先思考
一下并回答。 引導學生回憶圓的周長公式，并將公式變形，求圓周率π的問題轉化成求圓的周長的問題。體會“轉化思想”。 探究與合作
活動3：如何求圓的周長？ 分析：1.測量法：（1）用一根繩子繞圓的一周，然后再測量一下繩子的長度。（2）把一個圓向右滾動一周，再測量一下它的運動軌跡的長。 2.可以用圓的內接正多邊形近似替代圓的周長。幾何畫板驗證如下：
n = 12.00B
A
歸納：當圓的內接正多邊形的邊數越來越大，圓的內接正多邊形越來越貼近圓了。所以可以用圓的內接正多邊形的周長來近似地替代圓的周長。 學生先分組合作討論，然后小組代表發言。對學生的回答，教師點評并給予鼓
勵。
學生觀看幾
何畫板動畫的演示，并總結當圓的內接正多邊形的邊數越
來越大，圓的內接正多邊形與圓的接近程度。
用圓的內接正多邊形的周長來近似替代圓的周長。體會“轉化思想”。
體會“逼近思想” 探究與合作
活動4：已知圓的半徑，如何求圓的內接正多邊形的周長？不妨設圓的半徑R=1。
分析：正多邊形的性質：各條邊都相等、各角也相等，所以圓的內接正n邊形的周長就會等于它的邊長的n倍。
回顧一下圓的內接正三角形、正方形、正五邊形的邊長、周長是如何求的？ （分組討論）
分析：
（1）如圖1，分別連接OB、OC,再過點O作ODBC于點D,易得∠BOC=120°， ∠BOD=
2
1
∠BOC=60°，在直角△BOD中，BD=OBsin∠BOD，又OB=1，所以
BD=sin60°=
2
3
，BC=2BD=3， 所以圓的內接正三角形的周長P3=3BC=33. 如圖2，分別連接OB、OC,易得BC=2,圓的內接正方形的周長
P
4
=24
圖1 圖2
教師先引導學生回憶正多邊形的定義。 學生先獨立思考后分作合作討論交流。教師巡視。 小組代表起來表達自己的解法，其他同學補充，老師點評和補充。 教師提示：已知圓的半徑，要求圓的內接正n邊形的邊長，要求這條邊所對的圓心角的度復習與回顧：圓的內接正三角形、正方形、正五邊形的邊長、周長的求法。同時也為求圓的內接正多邊形的周長做鋪墊。體會從特殊到一般、轉化、方程等思想。
學生感受到“已知圓的半徑，如何求圓的內接正多邊形的周長”，因為圓的內接正n邊形的n條邊都相等，所以圓的內接正n邊形的周長=邊長的n倍，即求正n邊形的周長轉化成求邊長的問題，體會轉化思想。
圖3 圖4 (2) 如圖3，分別連接OB、OC，再過點O作OMBC于點M，
BM=OBsinBOM=1×sin36=sin36°,BC=2BM=2sin36°。圓的內接正五邊形的周長
P
5
=5BC=10sin36°。
(3) 如圖4，圓的內接正n邊形的邊長BC=2BD=2OBsin∠BOD =2×1×sin
n
180 圓的內接正n邊形的周長（圓的半徑為1）
P
n
=n×2×1×sinn
180 追問：如果圓的半徑為R，那么圓的內接正n邊形的周長
Pn
=
（用含R、n的式子表示）
P
n
=n×2×R×sinn
180 數，這是隱含的條件，同學們要注意挖掘。
個別同學單獨回答。
引導學生用含n、R等參數來表示圓的內接正多邊形的周長，用函數的模型來刻畫圓的內接正多邊形的周長。
已知圓的半徑R=1，圓的內接正n邊形的周長
P
n
=n×2×1
×sin
n
180，體會“函數建模思想”、“數學結合思想”。 再次感受從特殊到一般的思想、數建模思想”等。
探究
與合作
活動5：計算圓的內接正多邊形的周長與直徑的比值。不妨設圓的半徑R=1。分組合作討論并把計算結果填到本小組的答題板中。從表格中，你有什么發現？
具體分工如下：
第1、2小組：計算：當n=3，4，5，6，7，8 時，圓的正n邊形的周長與直徑的比值。
第3、4小組：計算：當n=9，10，11，12，13，14 時，圓的正n邊形的周長與直徑的比值。 第5、6小組：計算：當n=28，56，112，224，448，896 時，圓的正n邊形的周長與直徑的比值。
分析：（用幾何畫板演示）
學生分組合作討論，教師巡視，參與到各組的討論中。然后
每個小組派代表把答題貼到黑板上。
教師用幾何畫板展示動畫（圓的內
通過小組活
動，每個學生都參與計算，并做組內交流自己的看法和計算結果，也培養團隊合作精神。
歸納：當圓的內接正多邊形的邊數越來越大時，它的周長
P
n
越來越接近圓的周長C，
R
P
n
2也越來
越接近圓的周長與直徑的比值
R
C
2,這個數就是圓周率π，π是一個無理數=3.141592653793……
接正多邊形的邊數的變化，它的形狀的變化，及表格中的數據和相應的行數也跟著變化）。
教師操作幾何畫板，并且與學生一起比對每個小組的計算結果，并做出點評。
學生觀察幾何畫板動態的演示和表格中的數據的變化，試著歸納：當圓的內接正多邊形的邊數越來越大時，它的周長與直徑的比值的變化趨勢。教師及時點評。
通過幾何畫板的演示，學生可以直觀正n邊形的形狀的動態變化過程，同時表格也會跟著動、拉伸且表中的數據也跟著變。這樣學生能夠清楚地比對他們的計算結果的是否正確，也能更直觀對比數據和更進一步發現變化的規律，同時學生對圓周率π的興趣也提高很多了。用幾何畫板進行動畫演示，課堂氣氛更加活躍了。
探究與合作
活動6：圓周率π的由來
圓周率π的探索歷程大致可以分為以下五個階段：
（1）最早的圓周率:在我國東漢初年的《周髀算經》（如圖1）里就有記載“徑一而周三”的古率，即圓周率π≈3.
教師先把圓周率的探索歷程大致分成五個階段。接下來，學生分組合作討論。
學生通過對圓周率的歷史閱讀、收集、分享，培養收集2）阿基米德與圓周率：公元前3世紀，古希臘數學家阿基米德（如圖2），用圓的內接正多邊形和圓的外切正多邊形，從內外兩個方向逼近圓，得到圓周率的值介于
71223和7
22
之間。阿基米德是當時世界上第一個用科學的方法尋求圓周率的
人。
（3）劉徽的割圓術：魏晉時期的數學家劉徽（如圖3）首創“割圓術”求圓周率的方法，在數學史占有有重要的地位。下面我們就一起來看看劉徽是怎么割圓的？劉徽的方法是用圓的內接正多邊形從一個方向逐步地逼近。首先是用正六邊形來逼近圓，進而再對圓十二等分，用一個正十二邊形來逼近……，這個時候他發現“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。也就是，當我分割的越細，這個時候正多邊形，則與圓越接近，劉徽用這種方法不斷地“割圓”，一直到圓內接正192邊形，得到圓周率的近似值是3.14.劉徽把圓周率精確到了小數點后的2位。劉徽的割圓術與阿基米德的方法類似，都是用正多邊形逼近圓，而不同的是阿基米德是從兩個方向同時逼近圓，而劉徽是從一個方向來逼近圓。
圖3 圖4
(4)祖沖之計算圓周率：在我國南北朝時期的數學家祖沖之（如圖4）在公元5世紀又進一步求得圓周率的值介在3.1415926和3.1415927之間，還得到兩個分數形式的近似值：密率為113
335
，約率為
7
22
，用分數來代替π，極大地簡化了計算，這種思想比西方也早一千多年。他是第一個將圓周
接下來，小組代表發言。教師點評與補充。
學生體會到阿基米德用圓的內接正多邊形和圓的外接正多邊形，從內外兩個方向逼近圓，從求得圓周率π。
而劉徽的割圓術也是利用用內接正多邊形，從一個方向上逼近圓。 師：科學家們追求真實令人佩服啊！圓周率是圓的周長與直徑的比值，是一個固定值，且是一個五限不循環小數，3.14是它的近似值。
教師引導學生對阿基米德求圓周率的方法與劉
信息、整合信息，提高質疑、理解的能力。會進一步感受科學家們追求真理的堅強的精神與品質。 在閱讀理解過程中，體驗數學研究方法發展的過程、極限思想、圓周率精確位數的現代價值等，為今后的數學學習提供一定的參考價值；
體驗數學文化的魅力，激發研究數學的興趣，在閱讀劉徽、祖沖之的相關成就時，激發學生的民族自豪感。
這個數學閱讀
率的計算精確到小數點后7位的人。這是中國人的驕傲。
師：隨著時代的發展，人們利用高等數學的知識來計算π的值，先后得出了許多π的計算公式，π的近似值的位數也迅速增長。
（4）計算機出現以后：電子計算機問世以后，圓周率的計算突飛猛進，π的小數點后的位數不斷地增長。20世紀50年代，π的近似值得到千位以上，60年年代則達到50萬位，80年代得到10億位，到21世紀初，科學家已計算出π的小數點后超過萬億的位數。
圖5
徽的求圓周率的方法進行對比，找出相同與不同的地方。
學生舉手回答，各抒己見。教師點評與總結。
內容，為學生展示了圓周率的研究簡史，介紹了相關的圓周率的研究歷史和方法，為學生打開了一扇窺視數學文化發展史的窗戶，為進一步理解圓周率的意義，及為今后中學的相關數學學習，留下一片想象的空間。。
探究與合作
活動7：圓周率π的作用與生活.
1. 在數學、物理學、航天、統計學等領域有重要的作用。
2. 當今時代，π的計算成為測試超級計算機的各項性能的方法之一。運算速度與計算機的穩定性對計算機至關重要。這正是超高精度的π的計算直到今天仍然有重要意義的原因之一。
3. 人們對π的研究從未停止過。為了紀念圓周率π，還把每年的3月14日，規定為圓周率日。你看還有π的愛好者制作一個π形單車、π形地標等。有關于π的作用與生活還有很多，可以說生活中處處有π。留著你們課后去發現與研究。
教師講述，學生認真傾聽。學生感受的圓周率π在生活的應用很廣。
學生感受圓周率π的重要作用及意義。體會圓周率π與我們的生活息息相關。激發學生學習數學的興趣。
小結
活動8：
1.本節課，你有什么收獲？ 2.本節課的數學思想有哪些？ 教書聆聽學生的回答。并做點評與小結。
再次回顧本節所學的內容與數學思想。 作業 活動9：閱讀與收集有關于π的資料。
進一步了解圓周率π的知識。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
