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視頻標簽：用頻率,估計概率
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學九年級上冊數學活動《動手實踐用頻率估計概率》北京
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初中數學九年級上冊數學活動《動手實踐用頻率估計概率》 北京師范大學朝陽附屬學校
課題： 數學活動《動手實踐用頻率估計概率》 授課教師：
授課班級： 授課時間： 年 月 日
教學目標
（一）知識與技能目標：
1.理解通過大量重復實驗可以用頻率估計概率．
2.了解頻率和概率的區別與聯系，進一步理解頻率的隨機性和穩定性． （二）過程與方法目標：
3.經歷拋擲硬幣和投圖釘試驗，通過對數據進行收集、整理、描述與分析，獲得用頻率估計概率的方法, 并能依據特定情境運用方法解決問題． 4.了解用頻率估計概率的合理性和必要性，理解求隨機事件概率兩種方法（列舉法，用頻率估計概率）的區別和聯系． （三）情感與態度目標：
5.通過動手試驗，培養隨機觀念和勇于探究的核心素養及交流協作的精神．
知識 維度 認知過程維度
記憶/ 回憶 理解 應用
分析 評價
創造
事實性知識 目標1 目標4 概念性知識 目標2 程序性知識 目標3 元認知知識
目標5
學情分析
學生在小學對事件發生的可能性大小已經有了初步的認識，有了在具體環境中對可能性的體驗. 在七年級時學習了用全面調查、抽樣調查的方法收集數據，用簡單的統計圖表整理和描述數據，對統計活動的基本過程已經比較熟悉，有能力開展試驗活動、統計分析試驗數據．在本章前兩節的學習中，學生們也已經接觸了概率的古典定義，能夠在“結果有限和各種結果出現的可能性相等”的前提下計算一些簡單事件發生的概率．學生已有的統計與概率知識為本節課的學習打下了較好的認知基礎．
學生可以從試驗中歸納、總結得到一個事件發生的頻率，進而可能就認為這個頻率就是這個事件發生的概率，較難理解概率是一個客觀存在的數值，是這些頻率的一個穩定的趨向值．
教學 重點與難點 重點：用頻率估計概率
難點：用頻率估計概率的合理性；頻率的隨機性
設計思路
在本節教學中，充分考慮了本階段學生的數學學習特點，根據學生的認知基礎，設置恰當的試驗過程，引導學生對試驗數據進行分析、發現、歸納和辨析。合作探究實驗有利于激發學生的學習興趣，引起學生的數學思考．在試驗的過程中逐漸體會到大量重復試驗中，隨機事件發生的頻率具有穩定性，可以用頻率的穩定值作為概率的估計值，加深對概率統計意義的理解．為了盡可能減小用頻率估計概率的誤差，需要進行大量的重復試驗，課堂上運用Excel軟件的統計功能和程序軟件的投幣結果圖來提高試驗數據分析的有效性，更好地呈現大量數據中蘊含的規律性，即讓學生直觀形象地看到事件發生的頻率隨著試驗次數的增加而呈現出的穩定性．
在學以致用環節考慮了數學本身的特點，在學生獲得的基本數學活動經驗基礎上，重視學生已有經驗，進行投擲圖釘探究釘尖朝上的概率．這種探究的過程是從
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實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程．
學材選擇與分析 “用頻率估計概率”是 人教版九年級上25章《概率初步》這一章的第三節，本節課是在試驗的基礎上對課本知識和實驗操作的一種整合，學生初步了解概率的意義及會用概率的古典定義求一些簡單等可能事件的概率之后對概率的進一步研究. 教材這樣編排其主要意圖有三：1、遵從概率的產生及發展規律. 歷史上概率（指
客觀概率）的定義經歷了三個階段：①概率的古典定義；②概率的統計定義；③概
率的公理化定義. 2、符合學生的認知規律. 概率的古典定義相對簡單，所涉事件的概率有確定的結果，學生易于接受，而概率的統計定義其內涵更為深刻. 3、相對于概率的古典定義，用頻率估計概率的方法更具一般性與普遍性，它不受列舉法求概率兩個條件的限制，適用范圍更廣．
教與學的方法 啟發式、歸納總結式教法 自主試驗與合作、探究式學習法 一課一問
列舉法求概率的條件是什么？
板書設計
動手實踐用頻率估計概率
一．悟
結論1： 結論2： 歸納小結： 二．行
由此可以估計圖釘釘尖朝上的概率為_____________
教學環節
師生活動
設計意圖
活動一 作業展示 問題呈現
一課一問：列舉法求概率的條件是什么？
引入問題：問題：拋擲一枚圖釘，你能估計出“釘尖朝上”的概率嗎？
釘尖朝上 釘尖朝下 思考：能否用列舉法求上述事件的概率？為什么？
由分析可知：釘尖朝上和釘尖朝下兩種結果出現的可能性不相等，列舉法無法解決此類問題，我們需要一種新的方法．在此基礎上，導出課題．
首先復習列舉
法求概率的兩個條件，再從學生熟悉的事物引入，激發學習興趣的同時，得出投擲圖釘中結果的可能性不相等，由此引發認知沖突，導入新課.
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活動二 分組實驗 探究新知
任務1：考察頻率與概率是否相同？
活動1： 拋擲一枚硬幣 50 次，統計“正面向上”出現的頻數，計算頻率，填寫表格，思考． 組員分工：
1 號同學 拋擲硬幣，約達 1 臂高度，接住落下的硬幣，報告試驗結果； 2 號同學 用畫記法記錄試驗結果；
3 號同學 監督，盡可能保證每次試驗條件相同，確保試驗的隨機性，填寫表格．
全班同學分成若干小組，同時進行試驗．
思考1：請觀察表中頻率欄的數據，你能不能發現事件“正面向上”的頻率有什么特點？頻率與概率有什么區別？
結論1：頻率是在相同條件下進行重復實驗時事件發生的次數與試驗總次數的比值，是隨機的，變化的，在試驗前不能夠確定的。而一個隨機事件發生的概率是確定的數，是客觀存在的，與實驗無關．
任務2：隨著重復試驗次數的增加，觀察“正面向上”的頻率的變化趨勢是什么？
活動2：教師引導全班學生一起，把第1組的試驗數據記錄在表格的第一列，第1、2組的數據之和記錄在第二列，第1、2、3組的數據之和記錄在第三列……，完成統計表1-2；教師填寫完表格后，電腦軟件Excel自動繪出頻率折線圖．
教師展示4組由投幣程序軟件獲得的500次試驗的頻數圖。
在已知概率的情況下引入試驗，基于以下原因：（1）拋擲硬幣試驗所需條件容易實現，可操作性強；（2）硬幣試驗歷史上積累了大量數據，更有利于問題的說明；（3）用頻率估計概率可以和前兩節學習的概率的古典定義統一，兩種不同的方法求得的是同一個概率，且概率的統計定義比古典定義更具一般性.
①“在相同條件下”使數據更真實有效；②合理分組，可以減少勞動強度，加快試驗速度，同時在培養動手能力與探索精神中，培養團隊協作精神. 通過試驗，進一步揭示概率的內涵──概率是針對大量重復試驗而言的，大量重復試驗
反映的規律并
非在每一次試
驗中反映出來.
反過來，試驗次數太少時，有時不能合理估計概率.
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活動三 學以致用，
解決問題
任務：拋擲一枚圖釘，估計“釘尖朝上”的概率． 活動：拋擲一枚圖釘 50 次，統計“釘尖朝上”出現的頻數，用 Excel 逐步累加全班數據，觀察頻率變化 折線圖，估計“釘尖朝上”的概率．
注意：水平拿圖釘，如圖，從視線高度松手，讓圖釘下落，盡可能保證每次試驗條件相同，確保試驗的隨機性．
試驗規則：
①每分成若干小組，每組完成50次，做好記錄；
② 每個小組的組長匯總50次試驗的結果，并報給教師，同學們都完成下列統計表3-1；
③教師在電腦內設置自動生成統計表3-2；
老師填寫完表格后，由此可以估計圖釘釘尖朝上的概率為_____________．
結論：當隨機試驗可能出現的結果有無限多個，或者各種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率．一般地，試驗次數越多，估計的效果就越好．但是頻率不能代替概率．
思考：請你再舉出一些與這個例子類似的生活、學習、工作中的案例． 可以舉出拋擲瓶蓋，求“蓋面著地”的概率；拋擲一枚不均勻的骰子，“向上的一面點數為6”的概率等．
通過對生活中
常見實例的研究，經歷猜測、實驗、驗證的過程.
通過拋擲圖釘的試驗，讓學生進一步感受用頻率估計概率方法的適用范圍，并用概率值來解釋生活經驗．
通過兩次試驗，引導學生體會概率定義“從簡單到復雜、從特殊到一般、從具體到抽象”的逐步變化，感受概率統計定義是對古典定義的進一步擴充．
活動四 當堂總結，
思維升華
1：目前我們學了兩種求隨機事件概率的方法，那么這兩種方法各有什么特點？ 概率的古典定義應用時需要滿足有限性與等可能性，應用范圍較窄，但
是求出的是概率的準確值．概率的統計定義應用時沒有條件限制，應用范圍較廣，但通常情況下求出的是概率的估計值． 2：通過本節課的學習，你有哪些收獲？
在長期實踐中，人們觀察到，對一般的隨機事件，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，呈現出一定的穩定性．人們就用頻率的穩定值作為概率的估計值．這 就是求隨機事件概率的新方法“用頻率估計概率”．
歸納總結本課時學習的知識與方法，讓學生對所學內容有
一個系統、完整的認識．
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活動五 課后作業 感悟提升
1.必做題課本148頁第4題《投針試驗》
作業說明：（1）針可以用小木棒來代替。（2）分組進行探究。 2.選做題: 閱讀投針試驗相關材料,思考在蒲豐試驗中應用了本節課那些相關知識,并在網上進行拓展閱讀。
數學家的故事：蒲豐試驗
一天，法國數學家蒲豐請許多朋友到家里，做了一次試驗。蒲豐在桌子上鋪好一張大白紙，白紙上畫滿了等距離的平行線，他又拿出很多等長的小針，小針的長度都是平行線的一半。蒲豐說:“請大家把這些小針往這張白紙上隨便仍吧!”客人們按他說的做了。蒲豐的統計結果是：大家共擲2212次，其中小針與紙上平行線相交704次，2210÷704≈3.142。蒲豐說：“這個數是π的近似值。每次都會得到圓周率的近似值，而且投擲的次數越多，求出的圓周率近似值越精確。”這就是著名的“蒲豐
試驗”。蒲豐最早設計了投針試驗。這一方法的步驟是： 1) 取一張白紙，在上面畫上許多條間距為a的平行線。 2) 取一根長度為l(l=a/2) 的針，隨機地向畫有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數，記為m。 3)計算針與直線相交的概率.
蒲豐驚奇地發現：有利的扔出與不利的扔出兩者次數的比，是一個包含π的表示式.如果針的長度等于a/2，那么有利扔出的概率為1/π.扔的次數越多，由此能求出越為精確的π的值。蒲豐本人證明了，這個概率是：
(其中π為圓周率) 由于它與π有關，于是人們想到利用
投針試驗來估計圓周率的值。
通過活動探究進行知識上的鞏固和拓展．
蒲豐投針問題被認為是數學史上最早的幾何概率的研究成果，在數學史上有著非常重
要的意義，課后的蒲豐投針的閱讀材料希望學生能夠感受
數學的魅力
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