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視頻標簽：單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學必修13.2.1單調性與最大小值第2課時教學設計_巢湖
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高中數學必修13.2.1單調性與最大小值第2課時教學設計_巢湖
課題：3.2.1單調性與最大（小）值
(第2課時)
一、內容和內容解析
1.內容
函數的最大值、最小值
2.內容解析
上一課時我們已經學習過函數的單調性，函數的最大值、最小值可以看成是函數單調性的一個“派生”性質，只要在討論函數單調性的基礎之上，從大小關系上進一步確定函數值中的最大或最小者即可.不過，這個性質非常實用，在具體確定這個值的時候還需要進行一番數學運算.
基于以上分析，確定教學重點：函數最大值、最小值的定義及應用；
二、目標和目標解析
1.目標
（1）借助函數圖象，會用符號語言表達函數的最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義；
（2）能夠解決簡單的最優化問題.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）知道求函數最大值、最小值的基本步驟，會用最大值、最小值定義求函數的最大值、最小值；
（2）能舉例說明解決簡單最優化問題的一般步驟；
（3）經歷從圖象直觀到自然語言描述再到符號語言表達最大值、最小值的過程，感受符號語言的作用和力量.
三、教學問題診斷分析
我們知道，語言學習的基本規律是“示范-模仿-熟練應用”，因此，函數的最大值、最小值宜采用“規-例”法教學，設置概念同化與概念形成相結合的學習過程，即先由教師在具體情境中示范如何用符號語言表達函數的最大值，再讓學生模仿著表達函數的最小值，在熟悉相應的符號語言表達方式的基礎上，再給出嚴格的定義，并在結合單調性求具體函數最大值、最小值的過程中，更深入地理解符號語言.
根據以上分析，確定教學難點是：函數最大值、最小值的符號表示及存在性.
四、教學支持條件分析
利用信息技術工具GeoGebra繪制函數圖象.
五、教學過程設計
引導語：上一節課我們研究了函數的單調性，研究的路徑是:圖象直觀描述——數量關系刻畫——符號語言表達.具體研究時，我們采取從具體到抽象的方法，從一些具體函數的研究中歸納共性，再抽象成定義.本節課仍按這一路徑研究函數的最大值、最小值問題.
環節一 抽象概括，形成概念
問題1：觀察函數
的圖象，可以發現，除了單調性以外，還有一些其他的特征，例如它有一個最低點，而且這個點其實是與函數的單調性有關系的.我們把與這個點有關的特征梳理成表1左邊欄的內容.對于函數
，你能仿照
的情況填寫該表的右邊欄嗎?
表1
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函數 |
 |
 |
|
圖象特征 |
圖象上有一個最低點 |
|
|
數量刻畫 |
其他點的縱坐標都不小于該點的縱坐標 |
|
|
符號語言 |
 ,都有 |
|
|
結論 |
函數 有最小值 |
|
師生活動：學生自主完成，再分組選學生代表進行全班展示、交流，給出正確結果.
追問1：函數
有最大值嗎？為什么？
師生活動：學生獨立完成后 ，由學生代表發言,給出正確答案.因為不存在最大的負數，所以這個函數沒有最大值.
追問2：函數
有最大值嗎？為什么？
師生活動：學生獨立完成后 ，由學生代表發言,給出正確答案.
因為當
時，
；又
，所以，
都有
.所以該函數有最大值
.
設計意圖：通過具體函數的分析,積累感性經驗,為形成定義做鋪墊.通過正反兩方面的例子，幫助學生理解函數存在最大值、最小值的充要條件.
問題2：你能歸納上述幾個例子的共性，類比用符號語言表達單調性的方式，用符號語言表達函數
的最大值嗎?請你給出自己的定義，然后與教材80頁的相關內容對照.
師生活動：學生先給出自己的定義，再與教科書中相關內容對照，檢查、完善.
追問：你能仿照函數最大值的定義給出函數
的最小值的定義嗎?
師生活動：由學生類比完成.
設計意圖：借鑒函數單調性的研究經驗，從具體到一般抽象出函數最大值的定義，并類比得出函數最小值的定義.
問題3：設函數
的定義域是
.如果
在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增，畫出
的一個大致圖象，從圖象上可以發現
是函數的一個 .
師生活動：學生先畫
的一個大致圖象，組內對比，交流，得出結論.
追問：你能找到
的最大值嗎?
設計意圖：通過圖象直觀定性分析，提升至對函數最值性質更高層次的理解，得出定量刻畫.同時，讓學生體會到函數的單調性是函數的局部性質，而函數的最值是函數在整個定義域上的整體性質.
環節二 初步應用，理解定義
例1“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度
（單位:
)與時間
(單位:
)之間的關系為
,那么煙花沖出去后什么時候是它爆裂的最佳時刻?這時距地面的高度是多少(精確到
)?
師生活動：先讓學生讀題、分析題意，教師可以通過問題引導學生思考，例如，題中的函數關系描述了實際問題中哪兩個量之間的對應關系?什么是“爆裂的最佳時刻”?依據函數的哪個性質求解?再由學生獨立求解，然后進行全班展示、交流.
本題中的函數關系描述了實際問題中煙花距地面的高度
（單位:
)與時間
(單位:
)之間的關系。“爆裂的最佳時刻”就是煙花軌跡最高點對應的時間，因此該實際問題轉化為二次函數的最大值問題.
追問：你能說說計算煙花爆裂最佳時刻的實際意義嗎?
師生活動：學生獨立思考、作答.有了這個時間點，煙花設計者就可以設定其他的一些相關因素的參數，例如延時引信的長度、發射管的推進燃料量、煙花藥劑量等，以達到施放煙花的最佳效果.讓學生課后查閱一些相關資料了解煙花的有關制作原理.
設計意圖：體會函數模型的現實應用，利用函數性質即可進行有效的規劃和設計,感受函數的應用價值.
例2已知函數
，求函數的最大值和最小值.
師生活動：學生先獨立進行題意分析，再交流解題思路.教師可以通過問題引導學生分析解題思路，例如求解的依據是什么?按怎樣的步驟進行?如何確保滿足最大值、最小值定義中的兩個條件?等等.
在學生自主完成解答后，展示學生的典型解題過程，規范解題格式，總結解題的一般思路.教科書中給出的思路是先作圖象發現函數
上單調遞減，再用單調性定義證明.這個過程體現了“圖象直觀定方向，代數推理精解答"的解題路徑,具有一般意義.
另外，讓學生分享一下如何作出這個函數的草圖.最理想的方式是通過圖象變換，即先作函數
的圖象,再平移得到
的圖象.
追問：利用單調性求函數最大(小)值的步驟大致是怎樣的?
師生活動：師生一起梳理出求解步驟.
第一步，根據問題條件確定函數的定義域；
第二步，通過圖象直觀、代數推理判斷(證明)函數的單調性；
第三步，將定義域區間端點值代入函數中求值；
第四步，比較大小，給出最大(小)值.
設計意圖：在應用中理解函數最值的定義,培養思維的嚴謹性，表達的規范性，提升數學運算素養.
練習: 已知函數
，求函數的最大值和最小值.
師生活動：學生獨立思考并求解，教師予以及時點撥.
設計意圖：引導學生學會觀察分析，進行理性思考，學會有序求解，幫助學生提升數學運算素養．
環節三 單元小結，形成結構
問題4： 回顧本節的學習過程，回答下列問題:
(1)函數的單調性、最大（小）值分別刻畫了什么問題?
(2)我們是如何發現函數的這些性質的?
(3)用命題的方式梳理函數的單調性、最大（小）值的所有定義，從符號語言的角度歸納這些定義的共性，你有什么體會?
(4)用定義求解函數的單調性、最大（小）值的一般步驟是怎樣的?
師生活動：學生先自主小結,再全班交流，教師通過提問與學生互動，促進學生思考，最后給出總結.
(1)函數的性質建立在函數有意義的前提下，因此明確函數的定義域是首要的.函數的單調性所描述的是在函數定義域的某個區間上函數值隨自變量的增大而增大或減小的規律,這里自變量總是增加的，函數值保持了一種確定的變化趨勢；最大（小）值是函數的一個整體性質，是指函數的所有取值中那個最大（或最小）的值，在具體確定這個值時往往要借助于函數的單調性.
這里的任務主要是掌握一種刻畫函數性質的數學符號語言，采取了“模仿——練習——運用”的學習路徑.但在這個過程中還是要注意從具體實例中體會抽象概念的本質，體會符號語言的力量的同時要仔細領會這樣的話語方式.特別是它通過運用全稱量詞、充要條件等邏輯用語，將一個涉及“無限”的問題轉化為一種“有限”的數學命題表達,這是具有一般意義的.
(2)函數的性質就是“變化中的不變性和規律性”，因此，多研究幾個具體事例，從中歸納共性，就能得到性質.
(3)將幾個定義放在一起看，可以得出命題中的條件有同一種語言結構，即“任給……都有……”，是從大小關系給出的.
(4)解題步驟詳見教學過程.
設計意圖：著重從數學語言學習的角度對本節的內容、過程和思想方法進行梳理.從而落實課程標準提出的“會用符號語言表達函數的單調性、最大（小）值，理解它們的作用和實際意義”的要求.其中，特別注意了從邏輯用語的視角、從命題結構的角度進行歸納總結.當然，它們的作用和實際意義還會在后續研究基本初等函數的過程中得到充分體現.
環節四 目標檢測，檢驗效果
1.下列函數在
上最大值為3的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 求函數
的最大值和最小值.
設計意圖：檢測學生對求最大(小)值的方法的掌握情況及思維的嚴謹性和表達的規范性.
(五)課后作業
1.教材第86頁,習題3.2：第4，7，10題.
2.學習了函數的單調性及函數的最大(小)值，你能對初中學過的函數進行一個梳理嗎?請你完成下表.表格中列出的是基本要求，你可以根據自己的研究修改表格的樣式.
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單調性 |
單調區間 |
最大（小）值 |
常函數 |
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一次函數 |
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二次函數 |
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反比例函數 |
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設計意圖：應用鞏固，深化理解，使學生充分感受數學符號語言的簡潔，體驗數學表達方式的力量.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
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