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視頻標簽：單調性
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學新版必修13.2.1單調性與最大小值第1課時單調性教學設計合肥
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高中數學新版必修13.2.1單調性與最大小值第1課時單調性教學設計合肥
課題：3.2.1單調性與最大（小）值
（第一課時）
一、內容和內容解析
1.內容
函數的單調性.
2.內容解析
函數的單調性是函數的基本性質之一，它刻畫了函數的增減變化趨勢.
函數的單調性是函數的“局部”性質，即它通常是在函數定義域的某個子集上具有的性質.從初中到高中，函數單調性概念的形成，經歷了從定性到定量的過程，實現了變化規律的精確化表達，體現了數學抽象的一般過程，對于培養學生的數學抽象能力具有重要意義.
基于以上分析，確定本節課的教學重點：借助符號語言刻畫函數圖象從左向右的上升（下降），得到單調性定義，運用定義證明常見函數的單調性，形成研究函數基本性質的思路.
二、目標和目標解析
1.目標
(1)借助函數圖象,會用符號語言表達函數的單調性，理解它們的作用和實際意義；
(2)會用定義證明簡單函數的單調性.
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）經歷借助函數圖象變化趨勢，用數量刻畫特征，再到符號語言表達特征的探究過程，形成單調性定義.積累應用從特殊到一般、類比、數形結合等方法研究函數基本性質的經驗，發展直觀想象和數學抽象素養.
（2）體驗利用單調性定義證明函數單調性的作用與過程，掌握證明的基本步驟：取值——作差——變形——判號——定論,發展邏輯推理素養.
（3）在抽象函數單調性的過程中感悟數學概念的抽象過程及符號表示的作用，體會通過引入“
”的符號表示，把一個含有“無限”的問題轉化為一種“有限”方式表示的方法，感受數學符號語言的作用.
三、教學問題診斷分析
學生的已有認知基礎是,在初中階段,通過對一次函數、二次函數和反比例函數性質的學習，學生能夠結合具體的函數圖象，用自然語言定性的刻畫函數的性質，并積累了一些利用函數單調性比較兩個實數大小的經驗.在上一節內容進一步學習了用集合語言刻畫函數的概念，認識到構成函數概念的三個要素，函數的本質就是兩個非空數集之間的一種對應關系和函數的三種表示方法，能夠結合函數圖象，用集合語言描述具體函數的三個要素，積累了一些通過觀察函數圖象分析函數特征的經驗.通過對集合的概念和表示、集合的性質和運算的學習，初步體會研究數學對象的一般路徑.通過對充分必要條件學習，對如何認識數學對象的“性質”有了進一步認識.通過對邏輯語言的學習和不等式性質的學習，為用符號語言刻畫函數的性質奠定了基礎.
即便如此,由于高一新生處在由感性為主的經驗型思維向理性為主的抽象型思維的過渡期，這需要一個較長的過程，因此在使用符號語言表述函數性質的過程中,“任意”兩字是學生遇到的一個難點.另外,根據定義證明具體函數的性質也是一個難點，原因是剛進入高一的學生推理論證能力還比較薄弱，尤其是在代數方面的內容上，前面缺少足夠的學習經驗.
根據以上分析，確定本節課的教學難點：符號語言的引入，對“任意”“都有”等涉及無限取值的語言的理解和使用.
四、教學支持條件分析
利用信息技術，采用動態方式展現函數值隨自變量變化的規律，體會取值的任意性.
五、教學過程設計
（一）創設情境，聯系生活
引導語：前面我們分別學習了函數的定義和表示法，用嚴謹的集合和對應語言表述了函數的概念，明確了函數的三要素是：定義域、對應關系、值域.之后又學習了函數的三種表示法，分別是：解析法、列表法、圖象法.從中我們更深刻地感受到對于客觀世界中各種各樣的運動變化現象，都可以借助函數模型來描述.
情境一：這是“神舟十二號載人飛船“的發射過程，飛船離發射點的距離隨時間的變化而變化，具體來說，隨著時間的增加距離在不斷變大.
情境二：這是一段過山車的體驗過程，隨著時間的增加體驗者離地面距離在交替地增大減小，也因此增強了體驗的刺激感.
以上的運動變化反映在函數圖象上，便是圖象的變化趨勢.
師生活動：教師引導學生發現兩個情境中離地面距離隨時間變化而變化的函數關系，以及增減趨勢.
設計意圖：在現實世界的運動變化中，增減趨勢是主要的變化規律之一，通過熟悉的生活情境讓學生感知這一點，為后面引進函數單調性的概念來刻畫這種變化規律做好鋪墊，并讓學生感受到數學是來源于生活并應用于生活，提高學習數學的興趣，激發探索欲.
問題一：從上述變化的角度觀察下列函數圖象，說說它們的特點.
追問：除了變化趨勢外，圖象還有哪些其他特征嗎？
師生活動：請不同的學生代表回答，盡可能多地從不同角度作出回答，老師予以肯定，并指出所回答的特征與之后學習內容的聯系，體現本單元的整體性與聯系性.
預設回答：1.第一個圖象是上升的，第二個第三個圖象有升也有降.
2.第一個圖象關于原點對稱，第三個圖象關于y軸對稱.
3.第二個圖象有最高點，第三個圖象有最低點.
4.第一個圖象雖然一直在上升，但是一開始上升的越來越慢，后來又越來越快等等.
教師指出：函數圖象所反映的這些特點就是函數的性質，有我們即將要學習的單調性、最大（小）值、奇偶性.對于圖象在某個區間保持上升或下降的特點的就是函數的單調性，也是本節課要學習的內容.
設計意圖：通過觀察函數圖象從多角度得出圖象特征，提高學生直觀想象的學科素養，為大單元教學中知識的延續性、思維的連貫性、方法的一致性做好指引.
(二)探究新知，引出概念
問題二：以二次函數
為例，探究單調性的符號語言.
思考1:觀察函數圖象，如何描述圖象在y軸左側的變化趨勢？
預設回答：是下降的.
追問1：能不能說是上升的？
預設回答：按照習慣自左向右觀察圖象，所以是下降的.
追問2：為了更直觀地感受圖象的下降，可在左側圖象上選取點A進行拖動，按什么方向拖動？點除了從左向右變化外，還伴隨著怎樣的變化？
預設回答：沿著圖象從左向右拖動，發現點除了從左向右變化外還伴隨著從上到下的變化.
設計意圖：發展學生的直觀想象素養，為后面的以數解形做好鋪墊，明確圖象變化趨勢的觀察方向，方便得出相應的符號語言.
思考2：對于上述變化我們能不能從數量的角度進行刻畫呢？
追問1：點的位置是由什么確定的呢？
預設回答：坐標.
追問2:在點A從左向右的變化過程中坐標如何在變？
預設回答：橫坐標在變大，縱坐標在減小，而且縱坐標隨著橫坐標的增大而減小.
教師指出：站在函數的角度，又可以說成當
時，函數值隨自變量的增大而減小.
追問3:“增大”“減小”如何用數量刻畫？
師生活動：在教師的啟發下，請學生代表上黑板經歷實踐過程，發現規律，師生一起完善思路，明確探究方向.
“增大”“減小”意味著需要兩個量來比較，那么在點A的拖動過程中，隨機暫停，便可以得到一些點，請兩位同學上來展示一下獲取點的過程并記錄下它們的坐標，完成表格.讓學生結合數據來具體描述“函數值隨自變量的增大而減小”，如：當自變量
從-4增大到-3時，則函數值y從16減小到9等等.我們可以借助不等式
來表示不等關系.
由于我們可以在這個過程中獲取更多的點，所以這樣的不等式寫不完，更重要的是，具體數值無法表示“一直變化”的過程，所以我們需要借助具有一般性的符號來表示.
設計意圖：探究對“y軸左側圖象自左向右是下降的”進行數量刻畫的過程，結合第二章已學習不等式表示大小，得到一些特殊的不等式，為推廣到一般的符號語言埋下伏筆.
思考3:如何用符號語言表示“
時，函數值隨自變量的增大而減小”？
師生活動：學生小組討論，然后展示，得出結論.
初中就學習過用字母表示數，而且字母具有一般性.所以在y軸左側圖象上選取一點A,記坐標為（
f
）,也就是在
上取一個數
，相應函數值為f
，隨自變量的增大，也就是從左向右，所以在A點右側選取一點B，坐標為（
f
），顯然
而函數值減小便是f
>f
.
追問1：“隨著”說明了兩個不等式之間是怎樣的關系？
預設回答：是條件與結論的關系，在
的條件下，有f
>f
的結論.
追問2：
的取值有多少對？
預設回答：無數對.
教師指出：回憶點A、B的產生過程，結合第一章所學內容可知，
的取值是任意的.綜上所述，
，此時我們稱函數
在區間
上單調遞減.
追問3:類比上述過程，你能用符號語言刻畫
圖象在y軸右側的變化趨勢嗎？
圖象在y軸右側是上升的，也就是
時，函數值隨自變量的增大而增大，所以在y軸右側圖象上選取一點A,記坐標為（
f
）,也就是在
上取一個數
，相應函數值為f
，隨自變量的增大，也就是從左向右，所以在A點右側選取一點B，坐標為（
f
），顯然
而函數值增大便是f
<f
.完整來說，
，此時我們稱函數
在區間
上單調遞增.
設計意圖：該環節是本節課的重點，其核心是通過具體到抽象的過程，讓學生學會用嚴格的符號語言刻畫“
時，函數值隨自變量的增大而減小”.在“圖象從左向右下降——y隨x的增大而減小——任取
”的不斷精確化的過程，引導他們體會借助符號，體會用“任意”刻畫“無限”的數學方法的威力，并有效地突破x取值任意性這一難點.
（三）二次體驗，抽象定義
問題三：函數
各有怎樣的單調性？
師生活動：學生結合圖象說出函數在區間上的單調性，對于第二個函數再用符號語言進行描述.
設計意圖：從數形結合的角度感悟函數圖象的變化趨勢和符號語言的刻畫.
問題四：一般函數
定義域為I，區間
，那么就稱函數f(x)在D上單調遞增.
，那么就稱函數f(x)在D上單調遞減.
體現了從左向右觀察的角度;
在
前提下判斷f(
)與f(
)的大小的有限操作.此時我們就說函數y=f(x)在區間D上有單調性，區間D叫做函數y=f(x)的單調區間.
的取值不滿足任意性，還能根據定義得到函數的單調性嗎？
在它的定義域上單調遞增（減）時，我們就稱它是增（減）函數.
的單調性.
與
的大小關系，就是基于兩實數大小關系的基本事實，只需要將函數值大小關系轉化為判斷它們差的正負，即與0比大小，這種方法形象地稱為作差法，操作過程為作差——變形——判號——定論，其中變形的手段多樣，對于整式常采用因式分解，配方，對于分式采用通分，而對于根式采用有理化，在證明單調性的過程中，需要先給出
的前提條件，我們稱為取值.通過作差將“無限”的問題轉化為了具體可操作的“有限”過程.
(k為正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p增大，試對此用函數的單調性證明.
,（k為正常數）如何描述它在定義域上的單調性？
我們可以通過什么方法知道它圖象的變化趨勢呢？
”的含義，如何對“
”進行代數變形.
，可以利用定義證明單調性來判斷圖象的變化趨勢嗎？
的圖象，區別在哪？能否從等價形式的角度作出解釋？
在區間[−2,2]上的圖象如圖所示，則此函數的增區間是( )
的減區間是( )
，當
時，都有
( )
B．
D．f(x)＝2x＋1
上是增函數．
是定義在 R 上的減函數，則a的取值范圍為( )
B．
D．
在定義域(－1,1)上是減函數，且
，求a的取值范圍.
且
，則有( )視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
