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視頻標(biāo)簽：直線與橢圓的位置關(guān)系

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《直線與橢圓的位置關(guān)系》福建省優(yōu)課

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高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《直線與橢圓的位置關(guān)系》福建省優(yōu)課

高三復(fù)習(xí)《直線與橢圓的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì) 
教學(xué)目標(biāo)： 
1.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷方法，結(jié)合一題多變、一題多解的形式，掌握利用“數(shù)形結(jié)合思想”和“方程思想”在解決圓錐曲線過(guò)程中的應(yīng)用。   
2．掌握和運(yùn)用直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)及相應(yīng)的直線方程相關(guān)題型的解決方法；   3．培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、合作交流的意識(shí)和運(yùn)用方程思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想解決問題的能力，激發(fā)提出問題和解決問題的勇氣。 
教學(xué)重點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系的判定及方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)
用。 
教學(xué)難點(diǎn)：等價(jià)轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求在解題中的靈活應(yīng)用。 教學(xué)方法：多媒體課件輔助教學(xué). 教學(xué)過(guò)程： 
一、高考要求： 
1、能解決直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷  2、會(huì)用弦長(zhǎng)公式求弦的長(zhǎng)；  
3、會(huì)利用“設(shè)點(diǎn)代點(diǎn)、設(shè)而不求”的方法求弦所在直線的方程等。 
本節(jié)內(nèi)容是《直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》，著重是掌握如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，體會(huì)運(yùn)用方程思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比歸納等數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化解題思維，提高解題能力。這為后面解決直線與圓錐曲線的綜合問題打下良好的基礎(chǔ)。 
二、知識(shí)梳理： 
1．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 
點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓22xa+2
2y
b
=1(a>b>0)的位置關(guān)系: 
點(diǎn)P在橢圓上 ⇔202xa+202yb=1,點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部 ⇔202xa+202yb<1,點(diǎn)P在橢圓外部 ⇔202xa+2
0
2yb
>1. 
2．直線Ax+By+C=0與橢圓22xa+2
2yb
=1的位置關(guān)系： 
（1）幾何法(數(shù)形結(jié)合思想) （2）代數(shù)法（方程思想）     Δ的取值 解的個(gè)數(shù) 
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 
位置關(guān)系 Δ>0 2 2 相交 Δ=0 1 1 相切 Δ<0 
0 
0 
相離 
3．橢圓的弦長(zhǎng) 
）0（或0  1 
0x聯(lián)立2222112122
2
2CyByACxBxAbya
xCByA
                    
             
                    
                            2 
 
（1）若直線AB斜率不存在，即直線AB：x=x1，則|AB|=|y1-y2| 
（2）若直線AB斜率存在，設(shè)直線方程：y=kx+b，與橢圓22xa+2
2yb
=1(a>b>0)交于
A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長(zhǎng)|AB| 
法1：解方程組得A、B的坐標(biāo)再求|AB|； 
法2：利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求。(設(shè)而不求) 
|AB|=2
1k|x1-x2|=
2
1k21212
()4xxxx 
=
2
11k|y1-y2|=
2
11k21212
()4yyyy. 
 
 
三、應(yīng)用舉例： 
例1.（1）判斷直線y=2x+1和橢圓              的位置關(guān)系； 直線與橢圓相交。,064089  12
12）聯(lián)立1解：（2
2
2xxyxxy 
 
變式：設(shè)交點(diǎn)分別為A、B，求所截弦長(zhǎng)|AB|. 
解： 
958）971（）980（|| ）9
7
-，98-（）1，0（法一：22
ABBA 
9
58)98(54)(k1||k1|AB| 0,9
8
法二：22
122122122121


xxxxxxxxxx 
 
（2）判斷直線y=2x+m和橢圓              
的位置關(guān)系； 2
222
22
2872)22(366402289  122）聯(lián)立2解：（mmmmmxxyxm
xy 
.直線與橢圓相離,時(shí)3或3，即0當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相切；3，即0當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相交；33-，即0當(dāng)mmmm 
12
22
yx12
22
yx
                    
             
                    
                            3 
 
所在直線的方程。
最長(zhǎng)弦相交時(shí)，被橢圓截得的
12
與橢圓 m2xy：求直線1變式22
AByx 
02289解：聯(lián)立方程22mmxx 
時(shí)，直線與橢圓相交；33-，即0當(dāng)m 
2
222
1221221222121m-99
10
29）22（4)98(54)(k1||k1|AB| 922,98



mmxxxxxxmxxmxx 
.2  所在直線方程為AB 最長(zhǎng)，此時(shí)|AB|時(shí)，0當(dāng)xym 
 
最小？最小距離是？
的距離
上是否存在一點(diǎn)到直線12
時(shí)，橢圓4：當(dāng)2變式22
yxm 
與橢圓相離42 時(shí)，直線4解：xym 
5
55
|
43|.的距離42，32即兩平行直線的距離最短，42直線與橢圓的交點(diǎn)到
32 直線min
dxyxyxyxy 
 
（3）直線y=kx+1和橢圓              恒有公共點(diǎn)，求m的取值范圍。  
0224)2(  12
1
聯(lián)立2
且0）依題意可知，3解法一：（2222
mkxxkmmy
xkxymm 01688)22)(2(4162222mkmmmkmk 
1212km 
綜上可知，m的取值范圍為[1,2)∪(2,+∞). 
122
2m
yx
                    
             
                    
                            4 
 
2且0解法二：依題意可知，mm 
直線y=2x+1過(guò)定點(diǎn)（0，1） 
① 當(dāng)m<2時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，短半軸長(zhǎng)b=m， 
要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，則
，
1m21即m ②當(dāng)m>2時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=2m 
可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即m>2 
綜上可知，m的取值范圍為[1,2)∪(2,+∞).  
2且0解法三：依題意可知，mm 
直線y=2x+1過(guò)定點(diǎn)（0，1） 
要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證 定點(diǎn)（0，1）在橢圓上或內(nèi)部： 
11202
2m   1即m 
綜上可知，m的取值范圍為[1,2)∪(2,+∞). 
 
設(shè)計(jì)說(shuō)明： 
（1）學(xué)生可以分別從形和數(shù)這兩個(gè)角度考慮； 
（2）含參問題，需要分類討論，來(lái)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系； 
（3）可以利用根的判別式得出恒成立，這個(gè)代數(shù)角度去解決，也可以從直線過(guò)定點(diǎn)（0，1）的幾何角度去解。  
（4）利用一題多解的形式，鍛煉學(xué)生的思維能力。 
 
的面積。兩點(diǎn)，求,于的直線交橢圓
）及2-，0（，若過(guò),的左右焦點(diǎn)分別為12
已知橢圓.2例212122
ABFBAFPFFyx 
（一題多解） 
022方程為直線,1,1,2解：222yxABcba 
 
 
                    
             
                    
                            5 
 
9
2
104)(1|
|1||32
,916,06169可得12
22法一：由21221221221212
2
2


xxxxkxxkABxxxxxxxyyx 
5545
|
22|的距離到直線又2

hABF 
.9104554921021||212
hABSABF 
。91049104221||||219
10
44)(||94
,94,0449可得12
022法二：由2121212212121212
2
22



yyFFSyyyyyyyyyyyyyxABFyx 
 
設(shè)計(jì)說(shuō)明： 
（1）弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用； 
（2）一題多解的形式，利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求，求出弦長(zhǎng)。 
 
四、小結(jié) 
1.直線與橢圓的三種位置關(guān)系及判斷方法： 
解方程組消去其中一元得一元二次型方程 △<0 相離 ；△=0 相切 ；△>0 相交 2.弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：（適用于任何曲線） 
|AB|=
2
1k|x1-x2|=
2
1k21212
()4xxxx=
2
11k
|y1-y2|=
2
11k
21212
()4yyyy.  
    
 
                    
             
                    
                            6 
 
五、知識(shí)檢測(cè) 
1.若直線y=x+m和橢圓4x2+y2
=1有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。  
2.橢圓            上的點(diǎn)到直線                   最大距離是        。  
3.過(guò)橢圓x2+2y2=4的左焦點(diǎn)作傾斜角為300
的直線，則弦長(zhǎng)|AB|=       。  
教學(xué)反思： 
本節(jié)先讓學(xué)生完成學(xué)案，明確要復(fù)習(xí)的相關(guān)知識(shí)，提示學(xué)生以直線和圓錐曲線的幾何特征為主線展開思考和討論，回顧相關(guān)知識(shí)，教學(xué)過(guò)程中主要利用一題多變、一題多解的形式，梳理直線與橢圓的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想，培養(yǎng)并提高學(xué)生的運(yùn)算能力和發(fā)散思維能力。 
本節(jié)的成功之處是從一道例題展開，由點(diǎn)到面，梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維能力，減少了很多重復(fù)運(yùn)算和重復(fù)練習(xí)講解，讓高考備考一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)從“題海”中走出來(lái)，這也完全符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神。 
其次，教學(xué)過(guò)程中利用電子白板、PPT動(dòng)畫演示呈現(xiàn)課堂教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)利用實(shí)物投影的功能實(shí)時(shí)反饋學(xué)生的答題情況，體現(xiàn)了信息技術(shù)與課程的有機(jī)整合，提高了教學(xué)效率。   
六、板書設(shè)計(jì)  
課題：高考復(fù)習(xí)：直線與橢圓的位置關(guān)系 
1． 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系            例1                    例2 2． 直線與橢圓的位置關(guān)系  
3． 弦長(zhǎng)公式

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