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視頻標簽：雙曲線及其標準方程
所屬欄目：高中數學優(yōu)質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修1-1第二章2.2.1《雙曲線及其標準方程》山西省優(yōu)課
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高中數學人教A版選修1-1第二章2.2.1《雙曲線及其標準方程》山西省優(yōu)課
《雙曲線及其標準方程》教學設計
一、教材分析
本課是在學生學習橢圓相關知識的基礎上進行的，而雙曲線和橢圓同屬圓錐曲線，研究方法類似，因此本課可作為對橢圓研究過程及研究方法的復習鞏固，并借此培養(yǎng)學生對相似知識點的類比學習能力。同時，它還為下一步學習拋物線打下基礎，具有承上啟下的作用。 二、教學目標
（1）知識目標
掌握雙曲線的定義,能建立恰當的直角坐標系，推導得出雙曲線的標準方程，并會利用其方程進行簡單應用。 （2）能力目標
培養(yǎng)學生實驗、歸納、推導、應用的能力，并從中體驗類比思想。
（3）情感目標
在引導學生通過自主探究，解決問題的過程中，激發(fā)他們的學習熱情和求知欲，體現學生的主體地位，提高學習數學的興趣。 三、教學重點 雙曲線的定義和雙曲線的標準方程。 四、教學難點 雙曲線標準方程的推導。 五、教學方法
以問題為載體，學生活動為主線，以多媒體輔助教學為手段，利用探究式教學法，構建學生自主探究、合作交流的平臺。
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六、教學流程
復習回顧，提出問題 → 實驗探究軌跡形狀 → 歸納總結，得到雙曲線定義 → 推導雙曲線的標準方程→ 簡單應用，鞏固新知 →自我小結，知識內化 七、教學過程
1.復習回顧，提出問題
教師：（通過幻燈片）引導學生復習橢圓相關知識的學習過程：實驗探究軌跡形狀，得到橢圓定義→建立恰當的直角坐標系，推導得出橢圓的標準方程→橢圓標準方程的應用。
問題1：橢圓的定義是什么？
學生：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓。其中，兩定點叫做橢圓的焦點，焦點間的距離叫做焦距。
教師：注意以下三點(1)兩定點F1、F2；(2)距離的和等于常數；（3）常數＞|F1F2|。
設計意圖：復習橢圓的定義，為雙曲線定義的學習作準備。 問題2： 若橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會是什么？
教師：同畫橢圓的過程相同，我們依舊通過動手實驗的方式得到這種新的軌跡。
學生：激情高漲，躍躍欲試。
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設計意圖：培養(yǎng)學生換個角度考慮問題的發(fā)散思維能力，激發(fā)學生學習數學的興趣。
2．實驗探究軌跡形狀
實驗1：將學生每四人分為一組，利用課前準備好的拉鏈，按照幻燈片圖(A)所示動手實驗：選擇定點F1、F2，將拉鏈拉開一段，其中一邊的端點固定在F1上，在另一邊上取一點固定在F2上，且滿足∣FF2∣<|F1F2|，把筆尖放在M處，隨著拉鏈的逐漸打開與閉攏，筆尖就畫出一條曲線。
學生：按照要求作圖。
教師：指導學生作圖，強調在另一邊上所選的點的位置至關重要，必須滿足∣FF2∣<|F1F2|。
設計意圖：通過實踐，讓學生感知雙曲線的形成過程，提高他們的動手能力。
（結果展示）
問題1：曲線上的所有點滿足什么共同特征？ 學生：|MF1|―|MF2|=|F2F |=常數。
教師：類比橢圓，我們仍將這個常數記作2a。
實驗2：使點M到點F2的距離減去到點F1的距離所得的差等于和剛才相同的常數，按照幻燈片圖(B)所示再作圖，可以得到另一條曲線 。
學生：按照要求作圖。 （結果展示）
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問題2：這條曲線上的點又滿足什么共同特征？ 學生：|MF2|―|MF1|=|F1F|=常數=2a。
教師：這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支。
問題3：能否用一個式子概括上面兩個等式，從而將雙曲線上所有點的共同特征用符號加以表示？
學生：||MF1|―|MF2||=常數= 2a。 設計意圖：提高學生歸納、整合的能力。
問題4：對比橢圓的定義，能否給出雙曲線的定義？(幻燈片打出橢圓定義)
3. 歸納總結，得到定義 學生：對比、歸納、敘述。
教師:（板書雙曲線定義）平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點
F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距。
其數學表達式為||MF1|―|MF2||=2a或|MF1|―|MF2|=±2a。 4. 推導雙曲線的標準方程
教師：類比求橢圓標準方程的過程，接下來我們推導雙曲線的標準方程。回憶一下，求橢圓標準方程的步驟是什么？
學生：（1）建系；（2）設點；（3）列式；（4）代入；（5）化簡。
教師：引導學生按照上述步驟進行推導。
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(1) 建系：如圖，以過焦點F1、F2
的直線為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸建立直角坐標系,設焦距為2c（c >0）,則F1(- c，0)、F2( c，0)；
(2) 設點：設M(x，y)為雙曲線上任意一點； (3) 列式：|MF1|―|MF2|= ±2a；
(4) 代入：∵221()MFxcy，222()MFxcy
2222()()2xcyxcya
(5)化簡：(學生演板）將這個方程移項，兩邊平方得：
2222222()44()()xcyaaxcyxcy
移項，兩邊再平方，整理得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)； 教師：以上推導完全是仿照求橢圓標準方程的過程來進行的。
教師：由雙曲線定義知：2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0， 設c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得 b2x2-a2y2=a2b2，即
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221xyab ，這就是雙曲線的標準方程。 教師：類比焦點在y軸上的橢圓標準方程，如圖所示（幻燈片演示），雙曲線的焦點分別是F1( 0,c) 與F2( 0, ―c)，a、b、c的意義同
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上，這時雙曲線的標準方程是什么？
學生：思考、回答。
教師：需要注意以下兩點 (1)雙曲線標準方程中，a>0, b>0, 但a不一定大于b; (2)雙曲線標準方程中，a、b、c的關系是b2=c2―a2，不同于橢圓方程中b2=a2―c2。
問題：如何判斷雙曲線的焦點在哪條坐標軸上？
學生：（通過觀察方程和圖象的對應關系）如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上。
教師：注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上。
設計意圖：切實掌握不同位置雙曲線標準方程的結構特征。 5. 簡單應用，鞏固新知
例 雙曲線的兩焦點為 F1(―10, 0)與F2 (10, 0) ,點 P(8, 0) 在雙曲線上，求雙曲線的標準方程。
教師：講解例題，可采用待定系數法和定義法解決本題。
解法1 設雙曲線的方程為 22
221xyab
7
由已知得：222641
100aab
2264,36ab
于是，所求雙曲線的方程為22
16436
xy.（待定系數法）
解法2 由已知得：10c且12218216aPFPF
即 a=8 222
36bca 所求雙曲線的方程為22
16436
xy
.（定義法） 問題：若雙曲線的兩焦點為 F1(0,-10)與 F2(0,10) ,點P(0, 8)
在雙曲線上，雙曲線的標準方程又如何？
學生：口答。
設計意圖：提高學生類比學習的能力。 練習：求適合下列條件的雙曲線的標準方程。
(1) a=4, b=3，焦點在x軸上； (2) 2c=12, a=3 ；
(3) 一個焦點的坐標是（―5, 0), 曲線上的點與兩焦點距離之差的絕對值等于6。
學生：完成練習，展示結果，相互交流。 6.自我小結，知識內化
（1）學生完成下列表格，對比橢圓與雙曲線在定義上的異同，切實掌握兩種圓錐曲線在不同坐標系下對應的標準方程的形式及焦點位置，明確a、b、c之間滿足關系的不同之處。為利用相關知識解決具體問題打下基礎。
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橢圓
雙曲線
定義 12122(2)MFMFaaFF
12122(2)MFMFaaFF
方程
2
2221(0)yxabab
22
221(0)yxabab
22
22
1(0,0)xyabab 22
221(0,0)yxabab
焦點
(,0)Fc
(0,)Fc
(,0)Fc
(0,)Fc
a、b、c的關系
2220,abbac 2220,0,abbca
（2）布置作業(yè)： 課本P61 習題2.3
A組第1, 2題
八、教學后記
本課的學習內容是雙曲線的定義、標準方程及簡單應用，同橢圓相比，采用了完全相同的學習方法。
首先，學生在教師的指導下動手實驗，得到了平面內與兩定點距離之差的絕對值等于常數的點的軌跡，了解了雙曲線這種新曲線的形狀。這種方式提高了學生參予課堂的積極性，激發(fā)了他們學習數學的興趣。具體操作時，要求學生按照圖示，在滿足常數小于兩定點F1、F2之間的距離｜F1F2︱的情況下作圖，雖然減少了可能出現的結果，如常數=︱F1F2︱或常數＞｜F1F2︱對應的情況不能出現，但這樣做有利于兩種曲線在定義上的對比，而其他情況可以在后續(xù)課中加以補充、完善。
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之后，仿照推導橢圓標準方程的過程，采用完全相同的步驟，引導學生推出了焦點在x軸上的雙曲線的標準方程，并根據曲線在坐標系中的位置關系得到焦點在y軸上的雙曲線的標準方程。
最后，利用雙曲線的定義與標準方程進行了簡單應用，使學生對這種新曲線的相關知識有了更好的理解。在教學中，以“類比”為主線，使學生明確本課的學習過程及相關知識的學法，充分體現了課堂教學中教師的主導地位與學生的主體地位。
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