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視頻標簽：雙曲線及其標準方程
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修1-1第二章2.2.1《雙曲線及其標準方程》重慶
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高中數學人教A版選修1-1第二章2.2.1《雙曲線及其標準方程》重慶市楊家坪中學
學情分析
授課班級為重慶市鐵路中學高二年級學生.
從知識方面來說,學生從必修“平面解析幾何初步”到選修“圓錐曲線”,已經學習直線、圓和橢圓,較為系統地研究了他們的性質,對解析幾何的基本思想方法有了一定的認識,基本掌握了求曲線方程的一般方法,能對含有兩個根式的方程進行化簡,并對數形結合、類比推理的思想方法有一定的體會.
從能力方面來說,高二年級的學生,學習能力與理性思維都達到了一定的水平,具備一定的計算、推理、知識遷移、歸納概括、分析問題和解決問題等方面的能力,并對數形結合、類比等思想方法有了一定的感悟.
2教學目標
(一)知識與技能
1、經歷從具體情境中抽象出雙曲線模型的過程,了解雙曲線的定義;
2、知道求曲線方程的五步法,會類比求橢圓標準方程的方法,建立雙曲線的標準方程;
3、認識雙曲線的標準方程的結構特征,會判斷焦點所在的坐標軸,會求特征量 的值;
4、會用待定系數法求解雙曲線的標準方程.
(二)過程與方法
1、通過類比橢圓的定義,運用合情推理提出猜想,引入實驗與探究,培養學生類比、歸納能力;
2、通過學生畫圖實驗,并探究圖形上的動點具有的數量特征,逐步形成對雙曲線的定義的正確理解,通過比較認識常數 對軌跡的形狀的影響,培養學生通過實驗,發現規律的能力;
3、通過對雙曲線標準方程的建立過程,進一步鞏固求曲線方程的五步法,并訓練學生的運算能力;
4、通過對給定條件求雙曲線的標準方程及運用標準方程求特征量的過程,進一步鞏固雙曲線的定義,標準方程的特征,體會坐標法.
(三)情感態度價值觀
1、通過情景引入,滲透對數學來源于生活并服務于生活的認識;
2、通過探究學習,滲透對學生的創新意識和協作意識的培養;
3、通過畫雙曲線的圖形和建立雙曲線的標準方程,讓學生感知圖形的曲線美、對稱美,方程的簡潔美、激發學生學習數學的興趣.
【設計意圖】課堂目標是教學設計的出發點也是歸屬,三維目標是新課程亮點之一,本課設計的以上學習目標具體,可操作,可檢測,通過教學過程的實施來達成這些目標。通過學生展示,教師評價,追問等形式檢測過程學習目標的達成情況,通過課堂小結環節檢測三維目標的整體達成情況.
3重點難點
(一)教學重點
雙曲線的定義和雙曲線標準方程的推導
(二)教學難點
1、正確認識雙曲線的定義
2、雙曲線標準方程的推導
①雙曲線標準方程的推導中含兩個根式的式子的化簡;②說明方程的解為坐標的點均在雙曲線上
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】雙曲線及其標準方程
(一)新課引入
1、創設情景,引入課題(主題)
①展示用一個平面去截圓錐面,所得到的截口曲線的動畫.
②展示兩幅生產和生活中的圖片:電廠的冷卻塔和立交橋,讓學生發現其中的雙曲線.
【設計意圖】①借助多媒體生動、直觀的演示,讓學生感知雙曲線的直觀形象;②聯系實際創設情境,讓學生明確學習雙曲線的必要性和重要性;③引入研究主題---雙曲線的定義及其標準方程,自然進入下一個環節.
(板書課題:2.3.1 雙曲線及其標準方程 指明本節課的學習內容.)
2、類比橢圓,拋出問題
平面內到兩定點 、 的距離的和等于常數2a( )的點的軌跡是橢圓,類比橢圓的定義,我們自然會想到平面內與兩定點 、 的距離的差等于常數2a的點M的軌跡是什么曲線呢?下面,我們就來探究滿足這樣的條件的動點M的軌跡是什么曲線?
【設計意圖】通過復習回顧橢圓概念,從學生認知的最近發展區入手,類比橢圓引出新問題,將學生引入實驗探究.
(二)、實驗探究
【設計預設】學習小組可能不都能畫出以下的各種圖像,若未出現某種圖形,用幾何畫板演示準備代替操作實驗.
請根據這些圖形,探究以下問題(各題中M點為圖形上任意一點)
如圖1, 與 具有怎樣的數量關系?
______________________________.
.
反之具有上述數量關系的動點M的軌跡是什么?
圖1
______________________________.
M
如圖2, 、 與
具有怎樣的數量關系?
_________________________.
圖2
反之具有上述數量關系的動點M的軌跡是什么?
______________________________.
【設計意圖】通過引導讓學生畫出常數 為零和 時 的圖形,并探究數量特征,通過活動認識常數 和 時滿足 的圖形分別是直線和射線.
3、先完成以下探究中①—⑤:
①如圖3中,設 ,
、 與 ( )三者具有怎樣的數量關系?
_ _ _ _;
②如圖4中,設 ,
、 與 ( )三者具有怎樣的數量關系?
_ _ _;
③將滿足圖3和圖4中動點M的軌跡用集合P表示為
;
④正常數2a與 的大小關系怎樣?__ ;
⑤觀察畫出的圖形,請你為上述集合P的對應的
平面曲線命一個名:曲線叫做 _;
⑥歸納總結,形成定義
雙曲線的定義
____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
其中這兩個定點 , 叫做 ,兩焦點的距離 =2c叫做 .
(板書雙曲線就是集合:“ )
【設計意圖】通過引導讓學生畫出 時 的圖形,利用畫出的圖形來歸納出圖形上的動點滿足的數量關系,合并得到雙曲線的整體形象和幾何特征,并用自然語言進行概括,用集合語言板書加以強調。這一過程重點體現雙曲線的定義的形成過程,感知雙曲線的直觀的幾何形象,通過動手畫圖和探究感知雙曲線定義中添加條件 的必要性。實驗必須多人合作才能完成,滲透對學生合作探究的意識的培養.
(三)、 雙曲線標準方程的推導(類比橢圓標準方程的推導)
(1)回顧:求橢圓的標準方程的方法是什么?步驟是哪些?
【設計意圖】讓學生回顧用五步法建立橢圓的標準方程的步驟,從方法層面引導學生建立雙曲線方程的方向及操作步驟,溫故知新,推陳出新.
(2)獨立完成雙曲線標準方程的推導
【設計意圖】讓學生類比橢圓的標準方程的推導過程,
獨立完成雙曲線標準方程的推導,再次訓練學生化簡含有兩個根式的方程式,提升學生的運算能力。通過令 ,使方程化成雙曲線的標準方程,形式簡潔,對稱,便于記憶,也讓學生體會到數學代換的魅力,數學式子結構的優美。這個過程是本節課的第二個難點,在教學的過程中教師及時給予有困難的同學幫助,準許有困難的同學尋求同伴互助來完成.
焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為___________________,焦點坐標為________
【設計意圖】完善雙曲線的標準方程的概念,強調焦點所在坐標軸的位置.
思考1:若如圖建系,那么雙曲線的方程是什么?
這個方程叫焦點在y軸上的雙曲線的標準方程.
【設計意圖】類比得出焦點在 軸上的雙曲線的標準方程.
成功體驗:
【設計意圖】會依據具體的雙曲線的標準方程來判斷焦點所在的坐標軸,初步體會不是由 和 的大小來確定的.
思考2:
【設計意圖】學會判斷焦點所在的坐標軸的方法:右邊是1,左邊看 和 的系數的符號,焦點在系數為正的對應坐標軸上.
四、牛刀小試
2、雙曲線 的焦距是_______;
3、雙曲線 的焦點坐標是_______;
【設計意圖】訓練學生學會依據標準方程確定出焦點所在坐標軸及特征量 和 的值,鞏固對雙曲線的定義的了解.
五、實踐探索,形成能力
例1、.已知雙曲線兩個焦點的坐標為 ,雙曲線上一點P到 的距離的差的絕對值等于6,求雙曲線的標準方程.
【設計意圖】以練代例,板演解答過程,繼續加深對雙曲線定義的了解,掌握用待定系數法求焦點在一個坐標軸上的雙曲線的標準方程.
知識提煉:一般地求雙曲線的標準方程的方法是什么?
變式訓練:已知雙曲線的焦距為10,雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6,則雙曲線的標準方程為______________.
【設計意圖】訓練求雙曲線的標準方程的方法---待定系數法,知道雙曲線的標準方程包含焦點在 軸和 軸上兩種情況.
六、歸納提煉
1、通過本節課你學會了哪些知識?
2、通過本節課你掌握了哪些方法?
3、通過本節課的學習,你還有其它收獲或體會嗎?
【設計意圖】通過本環節了解本節課三維目標的達成情況,問題1針對知識與技能目標,主要了解陳述性知識(“是什么”層面的知識)的掌握情況;問題2針對過程與方法目標,主要了解程序性知識(“怎樣做層面的知識”)的掌握情況;問題3主要了解情感態度價值觀維度的目標,學生重點在于對策略性知識(“數學活動經驗,一些“為什么”要這樣做層面的知識)掌握和過程的體驗,能說出多少無關緊要。
七、作業布置
1、必做題: 課本55頁 練習2,3題
2、選做題: 課本61頁 習題A 組2題
3、課外作業:查閱資料,了解我國自主研發的北斗衛星導航系統是如何確定目標的位置的,原理是什么?
【設計意圖】 作業設計有梯度,分為必做題和選做題,注重不同層次的學生的認知水平,學生可以根據自己的實際學習情況完成作業,盡量做到讓不同層次的學生都能有所收獲.課外作業讓學生了解我國自主研發的北斗衛星導航系統定位的原理是利用雙曲線相交,既可以了解雙曲線在高科技方面的應用,拓展學生數學視野,又可以讓學生體會祖國高科技的高水平,激發學生的民族自豪感,滲透愛國情懷的教育.
(八)、板書設計:
2.3.1雙曲線及其標準方程
1、 雙曲線的定義
2、 雙曲線的標準方程推導
3、 雙曲線的標準方程
1(學生板演)
板書力求重點突出,結構清晰,美觀整齊.
(九)、教學設計評價
1、本課設計亮點:
①三維學習目標具體,可操作,可檢測;
②將實驗引入了數學課堂;
③采用了探究式學習方法------情景 任務 活動 展示 評價;
④課堂小結是對課堂目標的達成的檢測和所學知識的深化,不是可有可無的環節;
⑤分層布置作業 ;
⑥自編導學案,對教材內容加工改造,力爭達到教師少講,學生多練、多展示交流的高效課堂效果.
2、本課設計當心點
①學具的可操作性方面需要教師準確指導,我在自制學具的過程中做了大量試驗,認為可以完成,但當心時間較長才能完成;
②畫圖實驗探究的問題的開放性較強,部分學生完成它們會有一定難度,準備在實驗過程中加強交流與指導;
③雙曲線標準方程的推導中含兩個根式的化簡是難點之一,利用“以上每步可逆”說明方程的解為坐標的點均在雙曲線上其實難度很大,說清楚這個問題需要太多時間,根據課標對雙曲線的要求,在此處采用簡化處理.
(一)新課引入
1、創設情景,引入課題(主題)
①展示用一個平面去截圓錐面,所得到的截口曲線的動畫.
②展示兩幅生產和生活中的圖片:電廠的冷卻塔和立交橋,讓學生發現其中的雙曲線.
【設計意圖】①借助多媒體生動、直觀的演示,讓學生感知雙曲線的直觀形象;②聯系實際創設情境,讓學生明確學習雙曲線的必要性和重要性;③引入研究主題---雙曲線的定義及其標準方程,自然進入下一個環節.
(板書課題:2.3.1 雙曲線及其標準方程 指明本節課的學習內容.)
2、類比橢圓,拋出問題
平面內到兩定點 、 的距離的和等于常數2a( )的點的軌跡是橢圓,類比橢圓的定義,我們自然會想到平面內與兩定點 、 的距離的差等于常數2a的點M的軌跡是什么曲線呢?下面,我們就來探究滿足這樣的條件的動點M的軌跡是什么曲線?
【設計意圖】通過復習回顧橢圓概念,從學生認知的最近發展區入手,類比橢圓引出新問題,將學生引入實驗探究.
(二)、實驗探究
【設計預設】學習小組可能不都能畫出以下的各種圖像,若未出現某種圖形,用幾何畫板演示準備代替操作實驗.
請根據這些圖形,探究以下問題(各題中M點為圖形上任意一點)
如圖1, 與 具有怎樣的數量關系?
______________________________.
.
反之具有上述數量關系的動點M的軌跡是什么?
圖1
______________________________.
M
如圖2, 、 與
具有怎樣的數量關系?
_________________________.
圖2
反之具有上述數量關系的動點M的軌跡是什么?
______________________________.
【設計意圖】通過引導讓學生畫出常數 為零和 時 的圖形,并探究數量特征,通過活動認識常數 和 時滿足 的圖形分別是直線和射線.
3、先完成以下探究中①—⑤:
①如圖3中,設 ,
、 與 ( )三者具有怎樣的數量關系?
_ _ _ _;
②如圖4中,設 ,
、 與 ( )三者具有怎樣的數量關系?
_ _ _;
③將滿足圖3和圖4中動點M的軌跡用集合P表示為
;
④正常數2a與 的大小關系怎樣?__ ;
⑤觀察畫出的圖形,請你為上述集合P的對應的
平面曲線命一個名:曲線叫做 _;
⑥歸納總結,形成定義
雙曲線的定義
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其中這兩個定點 , 叫做 ,兩焦點的距離 =2c叫做 .
(板書雙曲線就是集合:“ )
【設計意圖】通過引導讓學生畫出 時 的圖形,利用畫出的圖形來歸納出圖形上的動點滿足的數量關系,合并得到雙曲線的整體形象和幾何特征,并用自然語言進行概括,用集合語言板書加以強調。這一過程重點體現雙曲線的定義的形成過程,感知雙曲線的直觀的幾何形象,通過動手畫圖和探究感知雙曲線定義中添加條件 的必要性。實驗必須多人合作才能完成,滲透對學生合作探究的意識的培養.
(三)、 雙曲線標準方程的推導(類比橢圓標準方程的推導)
(1)回顧:求橢圓的標準方程的方法是什么?步驟是哪些?
【設計意圖】讓學生回顧用五步法建立橢圓的標準方程的步驟,從方法層面引導學生建立雙曲線方程的方向及操作步驟,溫故知新,推陳出新.
(2)獨立完成雙曲線標準方程的推導
【設計意圖】讓學生類比橢圓的標準方程的推導過程,
獨立完成雙曲線標準方程的推導,再次訓練學生化簡含有兩個根式的方程式,提升學生的運算能力。通過令 ,使方程化成雙曲線的標準方程,形式簡潔,對稱,便于記憶,也讓學生體會到數學代換的魅力,數學式子結構的優美。這個過程是本節課的第二個難點,在教學的過程中教師及時給予有困難的同學幫助,準許有困難的同學尋求同伴互助來完成.
焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為___________________,焦點坐標為________
【設計意圖】完善雙曲線的標準方程的概念,強調焦點所在坐標軸的位置.
思考1:若如圖建系,那么雙曲線的方程是什么?
這個方程叫焦點在y軸上的雙曲線的標準方程.
【設計意圖】類比得出焦點在 軸上的雙曲線的標準方程.
成功體驗:
【設計意圖】會依據具體的雙曲線的標準方程來判斷焦點所在的坐標軸,初步體會不是由 和 的大小來確定的.
思考2:
【設計意圖】學會判斷焦點所在的坐標軸的方法:右邊是1,左邊看 和 的系數的符號,焦點在系數為正的對應坐標軸上.
四、牛刀小試
2、雙曲線 的焦距是_______;
3、雙曲線 的焦點坐標是_______;
【設計意圖】訓練學生學會依據標準方程確定出焦點所在坐標軸及特征量 和 的值,鞏固對雙曲線的定義的了解.
五、實踐探索,形成能力
例1、.已知雙曲線兩個焦點的坐標為 ,雙曲線上一點P到 的距離的差的絕對值等于6,求雙曲線的標準方程.
【設計意圖】以練代例,板演解答過程,繼續加深對雙曲線定義的了解,掌握用待定系數法求焦點在一個坐標軸上的雙曲線的標準方程.
知識提煉:一般地求雙曲線的標準方程的方法是什么?
變式訓練:已知雙曲線的焦距為10,雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6,則雙曲線的標準方程為______________.
【設計意圖】訓練求雙曲線的標準方程的方法---待定系數法,知道雙曲線的標準方程包含焦點在 軸和 軸上兩種情況.
六、歸納提煉
1、通過本節課你學會了哪些知識?
2、通過本節課你掌握了哪些方法?
3、通過本節課的學習,你還有其它收獲或體會嗎?
【設計意圖】通過本環節了解本節課三維目標的達成情況,問題1針對知識與技能目標,主要了解陳述性知識(“是什么”層面的知識)的掌握情況;問題2針對過程與方法目標,主要了解程序性知識(“怎樣做層面的知識”)的掌握情況;問題3主要了解情感態度價值觀維度的目標,學生重點在于對策略性知識(“數學活動經驗,一些“為什么”要這樣做層面的知識)掌握和過程的體驗,能說出多少無關緊要。
七、作業布置
1、必做題: 課本55頁 練習2,3題
2、選做題: 課本61頁 習題A 組2題
3、課外作業:查閱資料,了解我國自主研發的北斗衛星導航系統是如何確定目標的位置的,原理是什么?
【設計意圖】 作業設計有梯度,分為必做題和選做題,注重不同層次的學生的認知水平,學生可以根據自己的實際學習情況完成作業,盡量做到讓不同層次的學生都能有所收獲.課外作業讓學生了解我國自主研發的北斗衛星導航系統定位的原理是利用雙曲線相交,既可以了解雙曲線在高科技方面的應用,拓展學生數學視野,又可以讓學生體會祖國高科技的高水平,激發學生的民族自豪感,滲透愛國情懷的教育.
(八)、板書設計:
2.3.1雙曲線及其標準方程
1、 雙曲線的定義
2、 雙曲線的標準方程推導
3、 雙曲線的標準方程
1(學生板演)
板書力求重點突出,結構清晰,美觀整齊.
(九)、教學設計評價
1、本課設計亮點:
①三維學習目標具體,可操作,可檢測;
②將實驗引入了數學課堂;
③采用了探究式學習方法------情景 任務 活動 展示 評價;
④課堂小結是對課堂目標的達成的檢測和所學知識的深化,不是可有可無的環節;
⑤分層布置作業 ;
⑥自編導學案,對教材內容加工改造,力爭達到教師少講,學生多練、多展示交流的高效課堂效果.
2、本課設計當心點
①學具的可操作性方面需要教師準確指導,我在自制學具的過程中做了大量試驗,認為可以完成,但當心時間較長才能完成;
②畫圖實驗探究的問題的開放性較強,部分學生完成它們會有一定難度,準備在實驗過程中加強交流與指導;
③雙曲線標準方程的推導中含兩個根式的化簡是難點之一,利用“以上每步可逆”說明方程的解為坐標的點均在雙曲線上其實難度很大,說清楚這個問題需要太多時間,根據課標對雙曲線的要求,在此處采用簡化處理.
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