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視頻簡介：

視頻標簽：冪函數

視頻課題：人教A版高中數學必修一2.3.1 冪函數_福建省 - 泉州

人教A版高中數學必修一2.3.1 冪函數_福建省 - 泉州市冪函數教學設計（晉江一中林海）

2.3冪函數教學設計
★課程標準：通過實例，了解冪函數的概念；結合函數的圖象，了解它們的變化情況.
一、教學目標：
1.了解冪函數的概念,會用描點法畫冪函數圖象，通過具體實例研究冪函數的圖象和性質，并會簡單應用.
2.通過對冪函數的學習，使學生進一步熟練掌握研究函數的一般思想方法.
3.通過引導學生主動參與作圖、分析圖象，培養學生的探索精神，并在研究函數變化的過程中體會事物的量變、質變規律，感受數學的對稱美、和諧美.
二、教學重點：通過五個具體的冪函數認識概念，研究性質，體會圖象的變化規律．
三、教學難點：畫五個冪函數的圖象并由圖象概括冪函數的一般性質.
四、教學用具：實物投影儀等多媒體
五、教學過程：
（一）創設情境
①如果某人購買了每千克1 元的蔬菜w 千克，那么他需要付的錢數p（元）關于購
買的蔬菜量w（千克）的函數解析式為_____________.
②如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S 關于a 的函數解析式為___________.
③如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V 關于a 的函數解析式為___________.
④如果正方形場地面積為S，那么正方形的邊長a 關于s 的函數解析式為_________.
⑤如果某人t s 內騎車行進了1 km，那么他騎車的速度v 關于t 的函數解析式為_________.
問題1.觀察這些函數解析式，它們有什么共同的結構特征嗎？是指數函數嗎？
【設計意圖】從特殊到一般，將實際問題轉化為數學問題，經歷一次發現之旅.
（二）引入新知
冪函數的定義：一般地，函數叫做冪函數，其中是自變量，是常數.
問題2.請同學們舉出一些具體的冪函數.

從引例和同學們剛才舉的例子中，我們可以發現，冪指數可以是正數、負數，也可以是0.冪函數與指數函數，對數函數一樣，都是基本初等函數.
（三）探究建構
問題3.研究函數一般包括哪些方面？你準備用什么方法來研究？

【設計意圖】學生通過類比指、對數函數的研究，提出通過研究函數的圖象，從而歸納出函數的奇偶性、單調性等性質.
畫圖：按照從特殊到一般的原則，我們先來研究五個具有代表意義的冪函數.

請同學們用描點法在平面直角坐標系中畫出上述函數的圖象.我們在前面的課程中已經研究過了函數與的性質，它們的圖象已經呈現在坐標紙中了.在作圖之前請大家思考，如何畫圖更加準確快捷.

【設計意圖】圖象是函數的靈魂，能否準確的畫出圖象是研究性質的前提，也是本節的重點.
問題4：根據圖象的特征，填寫下面的表格


定義域	R	R	R	[0，+∞）
值域	R	[0，+∞）	R	[0，+∞）
奇偶性	奇函數	偶函數	奇函數	非奇非偶	奇函數
單調性	R上增	（-∞，0）減	R上增	[0，+∞）增	（-∞，0）減
單調性	R上增	（0，+∞）增	R上增	[0，+∞）增	（0，+∞）減
定點	（1，1）

【設計意圖】由形到數，發現5個冪函數的性質.
進一步，從這些函數的圖象我們可以看到，冪函數隨著冪指數的取值不同，它們的性質和圖象也存在著差異，請同學們根據圖象和表格，尋找這5個冪函數的共性？
探究1：圖象在4個象限的分布情況及原因？

圖象分布情況	代數解釋
冪函數在第一象限都存在圖象，第四象限不存在
的圖象只出現在第一象限
，，的圖象出現在一、三象限
的圖象處在在一、二象限

探究2：冪函數在第一象限的單調性如何？
從特殊到一般：

時，冪函數

在

上是增函數

時，冪函數

在

上是減函數

時，冪函數

在

上是常數函數

探究3：4個增函數的圖象異同之處？

性質	代數解釋
時，，的圖象在圖象的下方，的圖象在圖象的上方；
時，，的圖象在圖象的上方，的圖象在圖象的下方；

【設計意圖】問題是思維的“啟發劑”，由于冪函數的性質相對比較多，很難一個個找出來，于是設計這幾個探究引導學生思考和解決.

性質總結如下：

【設計意圖】創新總結方式，讓學生耳目一新，便于記憶.

（四）目標檢測
1.比較下列各組數的大小：
①

②

__________

2.如圖所示，曲線是冪函數

在第一象限內的圖象，已知分別取-1,1，

，2四個值，則相應的圖象依次為_________________.

3．函數

的圖象是（）

A． B． C． D．
4.研究函數

的定義域、奇偶性、單調性并作出它的簡圖.

（五）總結作業
請學生談談通過這節課的學習，對冪函數有哪些認識，學到了哪些數學思想與方法？

了解了冪函數的概念，以及與指數函數表達式的區別和聯系.
掌握了常見冪函數的圖象及性質.
體會了數形結合、特殊到一般、分類討論的思想.

通過本節課的學習，相信冪函數已經在大家的頭腦中留下十分深刻的印象.最后給大家展示一個數學公式，這是作為基本初等函數的冪函數在高等數學中的應用，用含有階乘的冪指數是正整數的冪函數形式來表示

——泰勒公式.

作業：
1．比較下列各組數的大小
（1）

________

（2）

________

（3）

________

（4）

_________

2．設

，冪函數

的圖象在

的上方，則

的取值范圍是__________.
3．已知點

在冪函數

的圖象上，點

在冪函數

的圖象上，問當

分別取何值時，滿足下列條件：
（1）

（2）

（3）

4．函數

與

的圖象交點為_______個.
5．證明：函數

在R上單調遞增.

2.3冪函數問題案
班級_________座號__________姓名__________
（一）創設情境
①如果某人購買了每千克1 元的蔬菜w 千克，那么他需要付的錢數p（元）關于購
買的蔬菜量w（千克）的函數解析式為_____________.
②如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S 關于a 的函數解析式為___________.
③如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V 關于a 的函數解析式為___________.
④如果正方形場地面積為S，那么正方形的邊長a 關于s 的函數解析式為_________.
⑤如果某人t s 內騎車行進了1 km，那么他騎車的速度v 關于t 的函數解析式為_________。
問題1.觀察這些函數解析式，它們有什么共同的結構特征嗎？是指數函數嗎？
（二）引入新知
冪函數的定義：
問題2.請同學們舉出一些具體的冪函數.
（三）探究建構
問題3.研究函數一般包括哪些方面？你準備用什么方法來研究？
請在下面的坐標系中作出

的圖象。

問題4：根據圖象的特征，填寫下面的表格


定義域
值域
奇偶性
單調性
單調性
定點

請同學們根據以上的圖象和表格，尋找這5個冪函數的共性？
探究1：圖象在4個象限的分布情況及原因？

探究2：冪函數在第一象限的單調性如何？

探究3：4個增函數的圖象異同之處？

性質總結如下：

（四）目標檢測

1.比較下列各組數的大小：
①

②

________

2.如圖所示，曲線是冪函數

在第一象限內的圖象，已知分別取-1,1，

，2四個值，則相應的圖象依次為_________________.
3．函數

的圖象是（）

A． B． C． D．

4.研究函數

的定義域、奇偶性、單調性并作出它的簡圖。

（五）總結作業
請你談談通過這節課的學習，對冪函數有哪些認識，學到了哪些數學思想與方法？

作業：
1．比較下列各組數的大小
（1）

________

（2）

________

（3）

________

（4）

_________

2．設

，冪函數

的圖象在

的上方，則

的取值范圍是__________.
3．已知點

在冪函數

的圖象上，點

在冪函數

的圖象上，問當

分別取何值時，滿足下列條件：
（1）

（2）

（3）

4．函數

與

的圖象交點為_______個.
5．證明：函數

在R上單調遞增。

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