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視頻標簽：冪函數
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修一2.3.1 冪函數_山東省優課
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人教A版高中數學必修一2.3.1 冪函數_山東省優課
《冪函數》教學設計
一、教材分析：
從知識本身來講，這節內容，是對初中曾經研究過的y＝x，y＝x2，y＝x-1三種函數，有關內容的進一步概括、歸納與發展，是與冪有關知識的高度升華．
從學科角度來講，冪函數是在指數函數和對數函數之后的又一重要基本初等函數，通過對它的學習，一方面讓學生進一步獲得比較系統的函數知識，另一方面也是對研究函數的思路方法：定義-------圖象與性質------性質應用這一基本模式的再次強化，體現了數學的和諧統一，為今后學習三角函數等其他函數打下了良好的基礎，起到了承上啟下的重要。 二、學情分析：
（1）學生已經確立了利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性研究一個函數的意
識 ，已初步形成對數學問題的合作探究能力。
（2）雖然前面學生已經學會用列表描點連線畫圖的方法來繪制指數函數，對數函數
圖像，但是對于冪函數的圖像畫法仍然缺乏感性認識 三、教學目標：
1、了解冪函數的概念，會畫冪函數圖象，并能結合這幾個冪函數的圖象，了解冪函數圖象的變化情況和性質。
2、通過觀察、總結冪函數的圖象性質，培養學生抽象概括的能力；使學生進一步體會數形結合的思想。
3、 通過引導學生主動參與作圖、分析圖象的過程，培養學生的探索精神。 四、重點與難點：
重點：冪函數的概念、圖象和性質。
難點：將函數圖象的直觀特點上升到理性知識，歸納、概括成冪函數的性質與冪指數的關系。
五、教學方法
采用師生互動的方式，由學生自我探索、自我分析，合作學習，充分發揮學生的積極性與主動性。 六、教學過程
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（一）情境引入
展示問題，引導學生思考：
問題①： 海嘯登陸日本海岸以后，x秒內推進了1千米，那么其平均速度y怎么表示？
② 假設水泥正方體的邊長為x，那么其一個面的面積y怎么表示？ ③正方體體積用邊長x又怎么表示？
④如果知道正方形面積是x，它的邊長y如何表示？ 由此得出，
【設計意圖】通過創設情景引入課題，激發學生的學習興趣。 （二）概念形成 考察以下函數：
這些函數的表達式有什么共同的特征？師生共同探究，總結出冪函數的定義。 冪函數的定義：
一般地，我們把形如xy（R）的函數稱為冪函數，其中x是自變量，是常數。
【設計意圖】培養學生的觀察、歸納、概括能力。 問題1：判斷下列函數是否為冪函數？
問題2：
總結：冪函數與指數函數有什么區別？（組織學生回顧指數函數的概念） 冪函數和指數函數都是我們高中數學中研究的兩類重要的基本初等函數，從它們的解析式看有如下區別：對冪函數來說，底數是自變量，指數是常數；對指數函數來說，指數是自變量，底數是常數
（三）圖像特征歸納
3)4(xy1
yx3
yx
2
2m-2m-3
若函數y=m-m-1x是冪函數,則m=____
2
x
y2
1
x
y4
)1(xy3
1
)2(x
y2)3(xy2
2)5(xy2
)6(3xyx
y2.0)7(
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讓學生在同一坐標系內畫出函數12
132xy,xy,xy,xy,xy的圖象，師 用幾何畫板演示五個函數的規范圖像，師生共同歸納出冪函數第一象限的圖像特征：正拋負雙，大豎小橫，點高指數大。 （四）性質探究
1、學生根據畫出的函數12
1
32xy,xy,xy,xy,xy的圖象，觀察函數的圖象，寫出這些函數的性質。
yx
2yx
3yx
12
yx
1yx 定義域
R
R
R
[0,)
(,0)
(0,)
值域 R
[0,)
R
[0,)
(,0)
(0,)
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調性 在R上增
在[0,)上增
在(,0]上減
在R上增 在[0,)上增
在-0（，）
0+和（，）
上都是減函數
【設計意圖】通過作圖訓練學生的動手實踐能力，并為下面的學習提供豐富的直觀材料，使其在實踐中發現問題。培養學生的作圖技能、探索創新精神、批判性思維。 2、學生根據這六個函數的圖象與性質，總結冪函數的共性。 冪函數xy圖象的基本特征是：
（1）所有的冪函數在(0,)都有定義，并且圖象都通過點（1,1）；
（2）當0時，冪函數的圖象過點)0,0(),1,1(，且在區間,0上是單調增函數。 （3）當0時，冪函數在區間),0(上是單調減函數，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限的逼近y軸，當x趨于時，圖象在x軸上方
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無限的逼近x軸。【設計意圖】培養學生的看圖、析圖能力，培養學生的想象能力，及概括、歸納能力，讓學生自主探索，主動學習。 （五）例題剖析
例1、比較下列各組數中兩個值的大小
方法引導：比較兩個指數相同的冪的大小時，應構造相關的冪函數，通過研究冪函數的單調性，比較底數的大小，得到兩個數的大小。
變式：
強調：需求函數的定義域。
例2、
方法引導：在畫冪函數的圖象，研究其性質的時候，首先要考慮冪函數的定義域，其次判斷函數奇偶性，然后根據冪函數的性質，畫出冪函數在第一象限的圖象，再利用奇偶性畫出函數在另一象限的圖象。
鞏固練習：討論函數2
3
yx及的定義域、奇偶性，作出它的圖象，并根據圖象說明函數的單調性
鞏固練習：函數 的圖象是（ ）
x
y
0
x
y
0
1122
(1)2,aa若求的范圍
32
yx
5
.15
.12
3)1(與3
23
2
2
2
)2)(2(
與a增減性。
并根據圖象說明函數的出函數的圖象，的定義域、奇偶性并作討論函數5
4
xy
- 5 -
x
y
0
x
y
0
【設計意圖】培養學生利用函數性質解決問題的能力，加深學生對冪函數及其性質的理解。
方法總結：如何討論冪函數的基本性質？
象在一三母子奇對稱原點占兩限，子偶母奇落一二左右對稱毫不偏。子奇母偶只第一三個象限不沾邊，指正一一和原點，子大母小向上長，子小母大奔向前。指負一一無原點借問曲線欲何往無限逼近兩軸線。
（六）課堂檢測
（七）小結作業
知識：1、冪函數的概念；2、冪函數的圖象與性質及應用； 思想方法：數形結合； 體驗：積極思考 勇于探索
作業：1、基礎作業： 課本第79頁習題2.3 復習參考題A組10
2、提高作業：
的簡圖。
的值，并畫出相應函數軸對稱，求且關于軸都無交點，
軸的圖像與已知冪函數myyxNmxym2
的值。時為減函數，求實數是冪函數，且當函數mxxmmymm,01.33
222
的大小關系是
則設，則其定義域為，的圖像經過若冪函數cbacbaxy,,,5232,32.2333.13
23132
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【設計意圖】鞏固本節學習成果，使學生逐步養成愛總結、善總結、會總結的習慣和能力。
七、板書設計
冪函數 1、 定義: 2、 性質： （1） （2） （3） （4） 例1: 練習： 例2： 練習：
小結： 知識： 方法：
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