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視頻標簽：線性相關,回歸分析,數學建模
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修2-3第三章線性相關與回歸分析數學建模實驗課-云南省 - 昆明
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課題名稱：線性相關與回歸分析數學建模實驗課
學科年級 高二年級
教材版本
人民教育出版社A版
一、教學內容分析
基于線性相關與回歸分析的知識關聯性緊密，因此在人教社A版教材必修3第二章第三節《變量間的相關關系》之后，接著上人教社A版教材選修2-3第三章《回歸分析的基本思想及其初步應用》，而本節課的設計，是在此之后設計的一節《線性相關與回歸分析數學建模實驗課》，從學生一次考試的數學、語文、物理三科成績提供數據，利用已學習的散點圖、相關系數、回歸直線方程等知識進行回歸分析，培養學生的數學建模與探究實驗的能力和素養。
二、教學目標
1.通過實驗，使學生更好地理解制作散點圖，會計算相關系數、求回歸直線方程，合理進行回歸分析。 2.在教學過程中，培養學生合作探究精神，培養學生建立線性回歸模型并能進行回歸分析的數學素養。 3.在線性相關與回歸分析建模實驗中，提高學生的數學運算、數據分析的能力。
三、學生特征分析
1.在必修3第2.3節《變量間的相關關系》和選修2-3第3.1.1節《回歸分析的基本思想及其初步應用》教學之后，學生具備了上《線性相關與回歸分析數學建模實驗課》的知識。
2.將48名學生分成8個6人一組的小組。在該建模實驗課之前，利用課余時間，針對各小組技術人員培訓學生了解實驗所需的圖形計算器TI-nspire cx-c使用功能和Excel“趨勢預測/回歸分析”相關功能，為學生鋪墊《線性相關與回歸分析數學建模實驗課》的技術準備。
3.在部分學生參加青少年科技創新賽的影響帶動下，通過談話了解、觀察發現，學生有積極尋找合伙人共同研究的興趣和情感態度。
四、教學策略選擇與設計
1.本課題設計的基本理念是《普通高中數學課程標準》（2017年版）的數學建模思想并進行實踐研究。對現實問題進行抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建線性回歸模型解決問題。即培養學生在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。
2.主要采用的教學與活動策略：分組分工、合作探究、建模實驗，完成下列步驟：
（1）用隨機抽樣得到樣本數據，用圖形計算器TI-nspire cx-c或Excel分別畫出數學與物理、數學與語文之間的散點圖，直觀判斷它們之間的相關性，得到兩個變量之間相關性的定性結論。 （2）求數學與物理、數學與語文的相關系數，并求它們的回歸直線方程，用圖形計算器TI-nspire cx-c檢驗、畫回歸直線，得到兩個變量之間相關性的定量結論。
（3）借助數學、物理的回歸直線，用圖形計算器TI-nspire cx-c求殘差平方和，分析回歸直線合理性。 （4）會用Excel“趨勢預測/回歸分析”求出擬和優度檢驗判定系數2
R，合理進行回歸分析。
五、教學重點及難點
重點：
（1）會繪制數學與物理、數學與語文之間的散點圖，直觀判斷它們之間的相關性； （2）會求數學與物理、數學與語文的相關系數，并求它們的回歸直線方程，用圖形計算器TI-nspire cx-c檢驗、畫回歸直線。
（3）會用Excel“趨勢預測/回歸分析”求出擬和優度檢驗判定系數2
R，合理進行回歸分析。 難點：借助數學、物理的回歸直線，用圖形計算器TI-nspire cx-c得到殘差平方和，并移動直線分析
回歸直線的合理性。
六、教學過程 教師活動
預設學生活動 設計意圖
復習線性相關與回歸分析知識。 創設情境：提供某班48名學生高二上學期期末考試的語文、數學、物理成績表。
在中學校園里有這樣一種說法：“如果你的數學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題。”按照這種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著某種關系，我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關系是什么關系？怎么進行定性定量分析？數學成績和語文成績之間的關系又如何呢？
（板書學生的討論結果）
各小組討論如何構建模型解決問題？如何進行合理的相關分析和回歸分析？
具體分工和實驗步驟是哪些？
從生活現象中抽
象，引導學生抓住數學本質和研究問題的數學方法，培養學生的數學抽象、邏輯推理的素養，培養學生隨時有數學建模的意識。
探究過程：
步驟一：用隨機抽樣得到樣本數據， （用圖形計算器TI-nspire cx-c或Excel）畫出散點圖，直觀分析數學與物理、數學與語文之間的相關性。
各小組分工完成：
1.在圖形計算器TI-nspire cx-c“列表與電子表格”頁面輸入數據，并定義數組變量Maths , Chinese , Physics；（保存ctrl+S，鼠標點擊文檔下拉鍵點“插入”、“數據與統計”） 2.添加“數據與統計”頁面，分別把
橫、縱坐標修改為Maths和Chinese，
作出數學和語文的散點圖；
3.再把橫、縱坐標修改為Maths和
Physics，作出數學和物理的散點圖。 4.從兩個圖可以看出，數學和物理之間是正相關關系，數學和語文之間的相關性不是很明顯。因此，直觀上看，數學與物理的相關性明顯比數學與語文之間的相關性要強。
通過引導學生繪制散點圖，直觀感受、分析變量間的相關性，
得到數學與物理、數學
與語文相關性的定性
結論。
培養學生直觀想象的素養。 步驟二：
分別求出數學與語文、數學與物理之間的相關系數，并分析哪組學科相關性強。
相關系數r是兩個隨機變量相關性的指標。一般認為，相關系數r的值介于–1與+1之間，即11r。其性質如下：
1、當0r時，表示兩變量正相關，0r時，兩變量為負相關。 2、當1r時，表示兩變量為完全線
各小組分工完成：
根據公式求出相關系數，并利用圖形計算器TI-nspire cx-c檢驗。在圖形計算器TI-nspire cx-c“列表與電子表格”頁面輸入數據，按菜單 4 1 3鍵，選擇變量，可求出相關系數。分別求出數學和語文、數學和物理的相關系數。
由此可見，數學、物理相關性一般，而數學、語文相關性較弱。
通過引導學生筆算與借助圖形計算器得到相關系數r，得到數學與物理、數學與語文相關性的定量結論，同時兩種方式彼此檢驗正確與否。培養學生數學運算、數據分析的能力。
性相關，即為函數關系。
3、當0r時，表示兩變量間無線性相關關系。
4、當10r時，表示兩變量存在一定程度的線性相關。且r越接近1，兩變量間線性關系越密切；r越接近于0，表示兩變量的線性相關越弱。 5、一般可按三級劃分：3.0r為相關性較弱；75.03.0r為相關性一般；10.75r為相關性很強。
步驟三：
求數學與物理、數學與語文兩個變量的回歸直線方程，并用圖形計算器TI-nspire cx-c畫回歸直線。
根據公式求得回歸直線方程
axby
ˆˆˆ，并利用圖形計算器TI-nspire cx-c檢驗。在上一結論的“數據與統計”頁面，按菜單 4 6 1鍵，選擇變量，可求出回歸直線方程并畫出回歸直線。
進一步引導學生筆算
與借助圖形計算器求
得axby
ˆˆˆ，得到數學與物理、數學與語文
的回歸直線方程和回歸直線，兩種方式彼此檢驗結果的正確與否。 結論：無論相關性如何，任何兩個變量都可以求出回歸直線方程。進一步加強學生數學運算、數據分析能力。
步驟四：
借助數學、物理的回歸直線，用圖形計算器TI-nspire cx-c得到回歸直線的
殘差平方和，分析回歸直線的合理性。 在上一結論的“數據與統計”頁面，按菜單 4 7 1鍵，可以得到回歸直線的殘差平方和。按菜單 4 2鍵，添加可移動直線，修改顏色為紅色（按住直線出現小爪，按“文檔”、
“編輯”、“顏色”、“線條顏色”選紅色），按菜單 4 7 1鍵，得到這條回歸直線的殘差平方和。移動紅色的可移動直線，殘差的平方和也在變化，
但是無論怎樣改變，這個值都大于等于回歸直線的殘差的平方和。
由此可見，回歸直線是離各樣本點“距離”最近的直線。
引導學生借助圖形計算器得到數學與物理的回歸直線的殘差平方和，并通過移動直線得到不同的殘差平方和，從而分析回歸直線的合理性。培養學生邏輯推理的素養和運用信息技術的能力。
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