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視頻標簽：兩個變量的,線性相關
所屬欄目：高中數學優(yōu)質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修3第二章統(tǒng)計《2.3.2兩個變量的線性相關》廣東
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高中數學人教A版必修3第二章統(tǒng)計《2.3.2兩個變量的線性相關》廣東省 - 陽江
《2.3.2兩個變量的線性相關》教案
人教版高中數學必修3
一、教學目標：
知識與技能目標：（1）利用散點圖判斷線性相關關系；（2）了解最小二乘法的思想及回歸方程系數公式的推導過程；（3）利用電子表格求出回歸直線的方程并對實際問題進行分析和預測，通過實例加強對回歸直線方程的理解.
過程與方法目標：（1）通過自主探究體會數形結合、類比、及最小二乘法的數學思想方法；（2）通過動手操作，培養(yǎng)學生的觀察，分析，比較和歸納能力，引出利用計算機、投影儀等現(xiàn)代教學工具的必要性．
情感與價值觀目標：（1）類比函數的表示方法，使學生理解變量間的相關關系，增強應用回歸直線方程對實際問題進行分析和預測的意識；（2）利用計算機讓學生動手操作，合作交流激發(fā)學生的學習興趣． 二、教學重點與難點
教學重點：利用散點圖直觀認識兩個變量之間的線性相關關系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助電子表格求出回歸方程．
教學難點：（1）對最小二乘法的數學思想和回歸方程的理解；（2）根據給出的線性回歸方程的系數公式建立線性回歸方程． 三、教學方法與手段
教學方法：引導式教學、探究式學習．
教學手段：多媒體教學，用到計算機、投影硬件工具及PowerPoint等軟件工具． 四、課前準備 教師準備：課件.
學生準備：鉛筆，尺子，學案. 五、教學過程
六、教學情境設計 （一） 創(chuàng)設情境引入課題
【小閱讀】 “回歸”這個詞是由英國著名的統(tǒng)計學家Francils Galton提出.1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關系時發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也教高，但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”.
后來人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為回歸方法.
【引例】：（2011年廣東高考）某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法 預測他孫子的身高為_____cm.
師：要解決這個問題，我們先要理解什么叫做線性回歸分析.我們課通過今天的課題：《兩個變量的線性相關》的學習后，把這道題解決.
線性相關概念的建構
創(chuàng)設情境，導出課題
探索推導，理解含義
啟發(fā)引導，形成概念
直觀觀察，操作探究
應用公式，解決問題
總結整理，提高認識
布置作業(yè)，獨立探究
最小二乘法求回歸方程系數
結 課
回歸直線的探究
3
設計意圖：通過小閱讀一道高考題創(chuàng)設情境，提出問題，引起學生的學習興趣，和好奇心.使學生的思想、知識和心理能較快地進入本節(jié)課課堂學習的狀態(tài)． 師生活動：引導學生先閱讀，了解現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象，再帶著問題去探究本節(jié)課題.
（二） 本課新知
探究：在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員得到一組樣本數據： 表1：人體脂肪的百分比和年齡
師：根據上述數據，人體脂肪含量與年齡之間有怎樣的關系？ 生：從表中大體看出，隨著年齡的增加，人體脂肪的百分比也在增加. 師：如50歲時，脂肪含量一定是28.2嗎？
生：不一定.因為對于某個人來說，他體內脂肪含量不一定隨著年齡增長而增長。這些數據只是對這個年齡人群抽樣的數據，具有隨機性. 師：年齡與脂肪含量是什么關系？ 生：相關關系.
師：類比函數關系，我們可否利用這些數據建立一個數學模型近似地表示這兩個變量的相關關系？然后根據人們的年齡對人體的脂肪含量作預測？如果要對這些數據分析，我們一般怎么做？ 生：可以，畫圖，看變化趨勢.
師：同學們的想法很好.在直角坐標系中畫圖象，觀察樣本點的分布情況，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)用什么數學模型來刻畫這兩個變量之間的關系.你們認為橫、縱坐標分別表示什么？
生：x軸表示年齡；y軸表示脂肪含量.
師：在平面直角坐標系中，表示具有相關關系的兩個變量的一組數據圖形，叫做散點圖.這些點分布的位置怎樣？
生：分布在從左下角到右上角的區(qū)域.大致分布在一條直線附近. 師：說的很好！ 新知概念：正相關：點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內的兩個變量的相關關系. 負相關：點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內的兩個變量的相關關系. 線性相關關系：如果散點圖中點的分布從整體上看大致分布在一條直線附近，我們稱這兩個變量具有線性相關關系，這條直線就回歸直線，回歸直線的方程簡稱回歸方程.
設計意圖：引出兩個變量的線性相關關系.
師生活動：教師先引導學生明確散點圖的作法，讓學生觀察散點的分布，得出新知概念，引導學生體會現(xiàn)實生活中兩個變量之間的關系存在不確定性，散點只是散步在一條直線周圍.
師：同學們說這些樣本點大致分布在一條直線附近.現(xiàn)在問題是，到底哪條直線比較適合？
請同學們動手畫一下，你覺得哪一條合適？
1、如何找回歸直線
探究活動1：畫出回歸直線。（因學校條件限制，教師預先在學案上畫出散點圖，在讓學生在上面畫回歸直線）
0510152025303540
0
5
10
15
20
25
303540
45
50
55
60
65
年齡
脂肪含量
學生的方案可能有：
方案一：盡可能多的點落在直線上.（怎樣才算盡可能多？操作性不強！） 方案二：使直線上下方的點一樣多.（費時費力且精確度差.） 方案三：畫多條直線，算斜率k與截距b的平均值（耗時費力.） 方案四：各點到這條直線的距離和最小. 師：同學們認為哪種方案畫得回歸直線恰當？
（學生們進行討論，質疑，老師反駁 解釋后）生總結： 第四種方案好，因為所
5
有的點離這條直線最近。
設計意圖：培養(yǎng)學生自己操作，觀察，猜想的能力.
師生活動：學生在學案上動手畫出各種直線，老師巡堂，發(fā)現(xiàn)學生作的直線都不同，投影幾個學生作品.
師：即“從整體上看，各點與此直線的距離和最小。” 這樣定量的標準得出的直線只有一條，才是最優(yōu)的回歸直線.
【問題1】如何用數學語言來描述“從整體上看，各點與此直線的距離最小”？ 設計意圖：幾何問題代數化，為下一步探究作好準備，經歷“幾何直觀”轉化為“代數表達”過程，為引出“最小二乘法”作準備．
經學生思考討論歸納出：首先用待定系數法設出回歸直線方程ybxa，其次是用點到直線的距離表示出各點到直線的距離.
2、利用最小二乘法推導回歸系數公式
假設我們已經得到兩個具有線性相關關系的變量的一組數據：
11(,)xy22(,)xy……(,)nnxy。當自變量x取ix（i=1，2，……，n）時，可以得到
ˆiiybxa（i=1，2，……，n），點,iixy到直線的距離： 2
,(1,2,)1
iiibxyadib
師：這個式子既有絕對值又有根號，不方便計算.不要忘記，我們的目的是由
,,1,2,3iixyn算出,ab的取值.有沒別的方法也能體現(xiàn)“從整體上看，各點與
此直線的距離和最小”？
6
生：（若生不語，則師解釋.）
師：如圖，回歸直線確定，ABC為定值，sinidABABC，所以id可用
ˆ()iiiiyy
ybxa（i=1，2，……，n）替換. 師：這樣用n個距離的和來刻畫“各點與此直線的整體距離”是比較合適的.由于
帶絕
對值計算不方
便所以換成平方，
2
22
22
112
2
331
ˆ()()()()()n
iin
niQyyybx
ay
bxa
ybx
aybxa
通過化簡，得到的其實是關于,ba的二元二次函數Q。一定存在這樣的,ba，使Q取到最小值． 視為的二次函數時，可求出使Q為最小值時的的值的線性回歸方程系數公式：
1
1
2
2
211
()()()nn
i
i
ii
iin
n
iiiixxyyxynxy
b
xxxnxa
ybx
（其中11niixxn，1
1n
iiyyn）
上述求回歸直線的方法叫 “最小二乘法”。
師：ˆˆ,b
a的幾何意義是什么？回歸直線是否過定點？你知道是哪個點嗎？ 生：ˆˆ,ba分別表示回歸直線的斜率和截距。ˆˆˆˆˆ,ybxaaybx代入得ˆˆˆˆ()y
bxybxbxxy，所以回歸直線過點,xy.稱為樣本點的中心.
設計意圖：通過由學生自己想，做，說，辯，展現(xiàn)思維，加深對概念內涵的感受。老師在教學中引導學生思考.
師生活動：教師引導學生推導最小二乘法，并體會最小二乘法的思想. 3、應用公式，深化理解
探究活動2：（利用EXCEL師生共同探究）
師：（預先輸入數據，利用EXCEL表計算）求出了0.448,0.5765ab
ˆ0.57650.448y
x（PPT顯示） 當某人37歲，脂肪含量 ˆ0.5765370.44820.8825y
師：37歲的人，體內脂肪含量一定是20.8825嗎？
生：不能。只能說他體內的脂肪含量在20.90%,附近的可能性比較大
師：回歸方程求出后，變量間的相關關系并沒有轉變?yōu)榇_定關系，我們只是用函數關系來表示不確定的相關關系.（顯示EXCEL中由回歸方程計算出的脂肪含量值）與收集的數據不同，為什么？
生：根據回歸直線得出的結果是一個估計值.
師：其實表中的數據是抽樣出的，具有隨機性，由這些數據確定的,ab也就具有隨機性了，所以根據年齡預測的人體脂肪含量只是一個估計值。其實，假若換一種抽取樣本的方法，也會得到不同的樣本數據，得到的回歸方程也可能不同.為
了區(qū)別確定值，我們都給它們“蓋帽”，記為ybxa.為什么x不記為x？ 生：x是確定值，真實值.
設計意圖：幫助學生深入理解線性回歸方程的真正意義與作用，明確只是的一個估計值．
師生活動：教師利用計算機EXCEL計算出回歸方程，通過教師設置問題，并引導學生理解回歸方程的意義.
（三）、線性回歸分析思想在實際中的應用
總結：我們利用回歸直線對年齡與脂肪的關系做了上述分析，這種分析方法叫做線性回歸分析。利用這種分析方法可以對生活中的很多問題進行分析與預測。下面請同學們自己動手解決引例中的問題
例: 某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測
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他孫子的身高為多少？
:,:數據可列表如下可知父親與兒子的對應根據題中所提供的信息解析
185(cm).31823,y,1173176,13
)3(6
3)()
)((,176,1732
23
1
2
3
1
身高為從而可預測也他孫子的所以回歸直線方程為xxbyaxx
yyxx
byxii
iii
設計意圖：發(fā)展學生的應用意識，是高中數學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體,加深學生對回歸方程的理解，熟悉回歸方程的求解過程，體會運用回歸方程進行預測，體驗數學在實際生活中的應用。
師生活動：先讓學生獨立思考，教師再引導分析題意，學生自己計算，得出結果. （四）課堂小結：
【問題2】請同學們回顧一下我們怎樣求出回歸直線方程？事件、樣本數據與回歸直線三者之間有怎樣的關系？
設計意圖：培養(yǎng)學生反思的習慣，鼓勵學生對研究的問題進行質疑和概括． 師生活動：
1.求樣本數據的線性回歸方程的方法 (1)直接運用公式
第一步：計算平均數,xy；
第二步：計算
2
2
1
1
1
1
,,,n
n
n
n
iiiiiiiiiixyxxxyyxx
第三步：計算1
1
2
2
21
1
()(),()nn
i
i
ii
iin
n
iiiixxyyxynxy
b
a
ybxxxxnx
父親的身高(x)
173
170
176
兒子的身高(y)
170
176
182
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第四步：寫出回歸方程ybx
a (2)借助計算器或計算機(使用方法見學案) 2.樣本數據與回歸直線的關系（如圖6）
（六）作業(yè)布置與板書設計： 1、作業(yè)：P94， A3
2、實習作業(yè)：收集本班男生的身高和體重的數據,并利用統(tǒng)計知識對收集到的數據進行分析與預測。
設計意圖：作業(yè)是學生信息的反饋，能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)和彌補教學中的不足.
七、板書設計
八、學生學案
2.3．2兩個變量的線性相關
學生課堂學案
姓名：
（一）課題引入
【小閱讀】 “回歸”這個詞是由英國著名的統(tǒng)計學家Francils Galton提出.1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關系時發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也教高，但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高.Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”. 后來人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為回歸方法.
【引例】：（2011年廣東高考）某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法 預測他孫子的身高為_____cm. （二）本課新知
1.探究活動1：畫出回歸直線。 表1：人體的脂肪百分比和年齡
2.利用最小二乘法推導回歸方程系數公式。
；
；
回歸直線方為： ；回歸直線過定點___________. 3. 應用公式，深化理解 探究活動2：
（1）探究1中的回歸方程為____________ （2）預測年齡37歲的人體脂肪含量
（3）請同學們從表格中選取年齡x的一個值代入上述回歸直線的方程，看看得出的數據與真實數值之間的關系。原因？
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（三）線性回歸分析思想在實際中的應用
例: 某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm、和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為多少？
（四）課堂小結：
【問題】請同學們回顧一下我們怎樣求出回歸直線方程？事件、樣本數據與回歸直線三者之間有怎樣的關系？ 1.求樣本數據的線性回歸方程的方法 (1)直接運用公式 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：
2.樣本數據與回歸直線的關系（如圖
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（五）作業(yè)布置： 1、作業(yè)：P94， A3
2、實習作業(yè)：收集本班男生的身高和體重的數據,并利用統(tǒng)計知識對收集到的數據進行分析與預測。
3、練習：某研究機構對高中學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得數據如下：
12
記憶力x 6 8 10 12 判斷力y
2
3
5
6
（1）畫出散點圖；
(2)求出關于的回歸直線方程．
(3)根據求出的回歸直線方程,預測記憶力為9的同學的判斷力．
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