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視頻標簽：兩個變量,線性相關
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修3第二章統計《2.3.2兩個變量的線性相關》廣西省級優課
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高中數學人教A版必修3第二章統計《2.3.2兩個變量的線性相關》廣西省級優課
2.3.2兩個變量的線性相關教案
課題
§2.3.2兩個變量的線性相關
課型
新課
教學目標 （1）利用散點圖判斷線性相關關系，了解最小二乘法的思想及回歸方程系數公式的推導過程，利用電子表格求出回歸直線的方程并對實際問題進行分析和預測，通過實例加強對回歸直線方程含義的理解。 （2）
通過自主探究體會數形結合、類比、及最小二乘法的數學思想方法。 （3）通過動手操作培養學生觀察、分析、比較和歸納能力，引出利用計算機等現代化教學工具的必要性。
教學重難點 1． 教學重點：用最小二乘法求回歸方程。
2． 教學難點：如何用數學語言來刻畫“從整體上看，各點到此直線的距離最小”。
教學過程
教學內容
一、 自主學習 閱讀教材P85—P91，請思考下列問題：
（1）變量之間的相關關系（2）散點圖 （3）回歸直線 （4）回歸方程
二、 問題探究
知識探究（一）知識探究：【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據：
其中各年齡
對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數.思考1：觀察散點圖的大致趨勢，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關關系？思考2：在上面的散點圖中，這些點分布有什么特點？. 問題提出
1 觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本數據的散點圖，這兩個相關變量成正相關.我們需要進一步考慮的問題是，當人的年齡增加時，體內脂肪含量到底是以什么方式增加呢？對此，我們從理論上作些研究. 知識探究（二）：回歸直線
思考1：一組樣本數據的平均數是樣本數據的中心，那么散點圖中樣本點的中心如何確定？它一定是散點圖中的點嗎？
思考2：在各種各樣的散點圖中，有些散點圖中的點是雜亂分布的，有些散點圖中的點的分布有一定的規律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數據的散點圖中的點的分布有什么特點？
50494541392723年齡28.226.327.525.921.217.89.5脂肪61605857565453年齡34.6
35.2
33.5
30.8
31.4
30.2
29.6
脂肪
2025303540455055606551015202530
35
40
脂肪含量
0(,)xy
這些點大致分布在一條直線附近.
合作探究，作出回歸直線
方案一：采用測量的方法，在散點圖中先畫出一條直線，測量出各點與它的距離，然后移動直線，到達一個使距離的和最小的位置，測量出此時的斜率和截距，就可以得到回歸方程了。
方案二：在散點圖中選擇這樣的兩點畫直線，使得直線兩側的點的個數基本相同。同樣測量出此時的斜率和截距，就可以得到回歸方程了。
方案三：在散點圖中多取幾組點，確定出幾條直線的方程，再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數，將這兩個平均數當成回歸方程的斜率和截距。 同學們通過動手實踐去發現這些方法是否可行。
老師通過幾何畫板驗證這些方法雖然有一定的道理但可靠性并不強。
知識探究（三）：回歸方程
在直角坐標系中，任何一條直線都有相應的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關關系的樣本數據，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變量的內在聯系，并根據回歸方程對總體進行估計.
思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系？ 整體上最接近
思考2：對于求回歸直線方程，你有哪些想法？
思考3：對一組具有線性相關關系的樣本數據：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，設其回歸方程為abxy
可以用哪些數量關系來刻畫各樣本點與回歸直線的接近程度？
.
)(||2abxyyyyyiiiiii
其中，或可以用
思考4：為了從整體上反映n個樣本數據與回歸直線的接近程度，你認為選用哪個數量關系來刻畫比較合適？
思考5：根據有關數學原理分析，當
20253035404550556065
51015
20
25303540
脂肪含量
0)
,(11yx)
,(22yx)
,(iiyxi
iyyy
x
21
ˆ()n
iiiQyy
2221122()()()nnybxaybxaybxa11222
1
1
()(),()
nn
iiiiiinni
i
iixxyyxynxy
baybxxxx
nx
時，總體偏差 為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法.回歸方程中，a，b的幾何意義分別是什么？ 思考6：利用計算器或計算機可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數據的回歸方程為 ，由此我們可以根據一個人個年齡預測其體內脂肪含量的百分比的回歸值.若某人37歲，則其體內脂肪含量的百分比約為多少？ 20.9%
三、 課堂檢測
練習1.已知下列變量，它們之間的關系是函數關系的有 ① ，是相關關系的有 ②③ .①已知二次函數y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常數，取b為自變量，因變量是這個函數的判別式△=b2－4ac;②光照時間和果樹畝產量；③每畝施用肥料量和糧食產量.練習2. 今有一組試驗數據如下表所示：現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的一個是( C )
A. y=log2x B. y=2x C. y=(x2－1)/2 D. y=2x－2
練習 3.F表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗Y(噸標準煤)的幾組對照數據
x
3 4 5 6 y 2.5
3
4
4.5
(1)請畫出上表數據的散點圖；
(2)請根據上表提供的數據，崩最小二乘法求出Y關于x的線性回歸方程Y=bx+a；
(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(2)求出的線性
同歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤? (參考數值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5) 解：（1）如圖（2）由對照數據，計算得：
4
1
66.5ii
iXY
4
222221
345686
i
iX
4.5X
266.544.53.566.563ˆ0.78644.58681
b
ˆˆ3.50.74.50.35a
YbX 所求的回歸方程為 0.70.35yx
(3) 100x, 1000.70.3570.35y噸,
預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低
9070.3519.65(噸)
四、 小結評價
1. 求樣本數據的線性回歸方程，可按下列步驟進行： 第一步，計算平均數；，yx 第二步，求和
；
，n
ii
nii
ix
yx1
21
第三步，計算;)()
)((1
2
21
1
2
1
xbyax
nx
yxny
xxx
yyxx
bn
ii
n
ii
in
ii
n
iii
，
第四步，寫出回歸方程 .abxy
2. 回歸方程被樣本數據惟一確定，各樣本點大致分布在回歸直線附近.對同一個總體，不同的樣本數據對應不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性.
3. 對于任意一組樣本數據，利用上述公式都可以求得“回歸方程”，如果這組數據不具有線性相關關系，即不存在回歸直線，那么所得的“回歸方程”是沒有實際意義的.因此，對一組樣本數據，應先作散點圖，在具有線性相關關系的前提下再求回歸方程.
五、作業
1. 課本習題2.3A組 第3題； 2. 練習冊2.3.2
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