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視頻標簽：函數模型
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修一第三章《探究活動—基于實際問題建立函數模型》福建
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第三章《探究活動—基于實際問題建立函數模型》福建省泉州第一中學
《探究活動—基于實際問題建立函數模型》教學設計
一、教材分析
《普通高中數學課程標準(2017年版)》要求每名高中學生應具有實踐創新意識,要善于發現問題和提出問題,有解決問題的興趣和熱情；要能依據特定情境和具體條件,選擇制訂合理的解決方案。數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程。是基本數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數學課程的重要內容。
在2017版課程標準里，必修課程的主題五和選擇性必修課程的主題四中，都增加了數學建模活動與數學探究活動共10課時。
在內容上要求在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題；要求學生完成一個課題研究，可以是數學建模的課題研究，也可以是數學探究的課題研究。
在學業上學生要求經歷數學建模活動與數學探究活動的全過程，整理資料，撰寫研究報告或小論文，并進行報告、交流。研究報告或小論文及其評價應存入學生個人學習檔案，為大學招生提供參考和依據。
本節課從實際背景出發，讓學生親自經歷提出問題、建構模型、應用數學知識運算得到數學結果，反復檢驗得到符合實際的結果這樣一個數學建模過程，培養學生數學建模素養。
GeoGebra軟件、人人通空間提供了很好的探究平臺，有利于提高學生的自我探究和交流合作能力。 二、目標分析 1.學情分析
從學生的心理特征來看，高一學生正處于以感性思維為主的年齡階段，而且思維逐步地從感性思維過渡到理性思維，并由此向邏輯思維發展，但學生思維不成熟、不嚴密、意志力薄弱。從學生的認知結構來看，學生在初中時已經學過簡單的一次函數擬合問題，在前面學習了幾類不同增長的函數模型，會用給定的函數模型解決問題，但是缺乏根據實際問題建構函數模型的能力。 2.教學目標
（1）進一步學習數學建模的基本過程過程：提出問題、建立模型、求解模型、檢驗結果、完善模型。培養學生的數學建模素養；
（2）通過小組交流匯報的形式展示數學建模過程，讓學生體會數學建模思想，培養學生的數學表達能力； （3）創設問題情境、組織討論交流提高學生參與學習的熱情，通過小組合作學習方式，培養學生的合作意識和合作學習的能力，發展學生的創新意識和實踐能力。 3.重點﹑難點
教學重點：函數模型的建立。
2
教學難點：函數模型的建立及解釋。 三、教法與學法 1.教學方法
根據本節課的內容及學生的實際水平，嘗試運用問題教學法、探究式教學法進行教學，教師在課堂中起主導作用，力圖通過提出問題、思考問題、解決問題的過程，讓學生積極地探究問題的解決方法，并且加入激勵性的語言以提高學生的積極性，促進學生參與知識形成的全過程。 2.學習方法
根據學生的實際情況和要達到的教學目標,在教學過程中，設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，合作交流。整個過程學生處于主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中。
3.教學用具 GeoGebra軟件 多媒體 人人通空間等 四．過程設計：
結合教材知識內容和教學目標，本課分為以下四個教學環節：
生成問題 設置情境
展示成果 合作探究
拓展應用
動手實踐
總結提升
課堂回顧
3
教學環節 師生活動
設計意圖及目標 （一） 設置情境 生成問題
幻燈片:第十八屆世界中學生運動會將于2020年10月在福建晉江舉
行。始辦于1974年的世界中學生運動會是一場全世界中學生體育和文化交流的盛會，迄今已舉辦過16屆。國際中體聯選擇晉江，既顯示了對中國經濟穩步發展、社會持續進步的信心，也是對中國青少
年體育事業發展一次高度肯定。目前，晉江市全力以赴籌辦世中運，場館建設總投資36億元，預計于2020年3月完工，并將于當年6月舉行測試賽。而建筑中有很多問題與數學是分不開的。 幻燈片：建筑工地為了施工需要，常常在腳手架之間搭上木板，如下圖所示。為了保證工人的安全，就需要考慮木板所能承受的最大重量。
教師提問：木板的承受重量會與哪些因素有關呢？
師生一起分析得到：木板的寬度，長度,厚度，材料，所承受重量的重心位置，腳手架的牢固程度等。
教師簡化問題：在這里，我們只研究承受重量P與木板的的寬度w，長度d，厚度t這三個量之間的關系。如果你是技術顧問，要指導我去收集數據，該怎么做？（引出控制變量法）。 經測試，得到以下的數據資料：
第一組數據圖表：（固定d＝10，t=2）
木板的寬度w 1 2 3 4 5 6 最大承受重量P
27
53
80
107
133
160
第二組數據圖表：（固定d＝10，w＝3 ）
木板的厚度t 1 2 3 4 5 6 最大承受重量P
20
80 180
320
500
720
（1）本問題情境可以激發學生
的愛國愛鄉熱情，體現立德樹人的教育根本任務。
（2）讓學生親近數學，感受到數學就在他們的周圍，強化學生的感性認識，從而達到學生對數學的理解。讓學生感受到數學就在我們身邊，讓學生學會用數學的眼光去關注生活。
4
（二） 合作探究 展示成果
教師活動：把學生分組，教師對個別小組進行適當調節盡量使每組都有分析能力、計算能力、表達能力強及運用計算器比較熟練的學
生各一名。先解決第一組關系：最大承受重量P與木板的寬度w的關系： 學生思考以下問題：
思考1：為了獲得合適的函數模型，首先要如何處理數據？
思考2：你決定采用哪一個函數模型，你的依據是什么？
思考3：你得到的函數模型的解析式是什么？
思考4：根據你獲得的函數模型，請解釋在木板的厚度t和長度d不
變的情況下，采取什么樣的措施可以增大木板的最大承受重量P？
學生合作交流，教師巡視觀察各組進展，對個別小組進行指導。
課堂預設：由散點圖并比較已經學過的函數圖像的圖像（如圖1），
學生比較容易選擇一次函數模型b
mxy
圖1
第二組關系：最大承受重量P與木板的厚度t的關系：
思考1：類比之前的探究過程，你得到的函數模型的解析式是什么？ 思考2：你得到的函數模型的解析式是什么？
課堂預設：讓學生逐一解決問題。由散點圖并比較已經學過的函數圖像的圖像（如圖2），學生可能選擇的函數模型比較多，可能會有：二次函數、指數函數、冪函數。 當學生展示完結果，教師提問：
思考2：根據同一個散點圖，選擇的函數模型可能不同，得到的模型解析式也就不同，那么到底誰對誰錯呢？如何判斷不同函數模型的優劣？
（1）本題題目較繁較難，若
學生單獨完成有一定的困難，通過分組合作探究來突破難點。
（2）通過分組合作，可以培
養學生的合作交流力，符合新
課程的基本理念。
（3）通過提出問題、思考問
題、解決問題來分散難點，突
破難點。
（1）讓學生感受建立函數模型的基本過程。
（2）發展學生的數學能力，特別是數學應用能力，提高學生觀察與理解實際問題的能力。
（3）培養學生觀察、分析、探索、合作交流的能力。
（一） 設置情境 生成問題
第三組數據圖表：（固定w＝3，t＝2）
木板的長度d 1 2 3 4 5 6 最大承受重P
800
400
267
200
160
133
提出問題：根據以上數據資料，分別建立最大承受重量P與木板的寬度w的函數關系，最大承受重量P與木板的厚度t的函數關系，最大承受重量P與木板的長度d的函數關系
5
（二） 合作探究 成果展示
圖2
這個問題對于學生來講比較困難。教師引導學生進行分析。 學情預設：
采用如下的判斷方法：設散點圖上的點為
,相應的函數圖像的點為，則表示點與點在y軸方向上的距離，即該散點在y軸方向上到函數
圖象的距離（如圖三），記，則越小表示散點在y軸方向上到函數圖像的距離之和越小，表明擬合程度越好。 老師小結，引出相關指數2R來刻畫擬合效果：
2
2
12
1
1n
i
i
in
ii
iy
yR
yy
，2R越大，擬合效果越好。
引導學生進一步算出所選函數模型對應的相關指數，從而選擇最優模型。 思考3：根據獲得的函數模型，請解釋在木板的寬度w和長度d不變的情況下，采取什么樣的措施可以增大木板的最大承受重量P？ 第三組關系：最大承受重量P與木板的長度d的關系： 由于前面問題的解決，學生依據以下問題自行合作探究：
思考1：類比之前的探究過程，你得到的函數模型的解析式是什么？
其相關指數R2
是多少？
學情預設：學生根據散點圖，可能會選擇指數函數，對數函數，冪函數，二次函數等函數模型。
思考2：根據獲得的函數模型，請解釋在木板的寬度w和厚度t不變的情況下，采取什么樣的措施可以增大木板的最大承受重量P？ 學生展示成果，并選擇較好的模型。
（1）讓學生理解檢驗函數模型的重要性及如何檢驗。
（2）讓學生在對比交流中發現不足，自我完善。
)
,(),(),,(),,(332211nnyxyxyxyx)
,(),(),,(),,('
'
33'
22'
11nnyxyxyxyxn
n
yy
)
,
(nnyx)
,
('
nnyx''2
2
'
1
1n
n
y
y
y
y
yyR
R
6
（二）
合作探究 成果展示
進一步探究：
思考1：根據以上的探究過程，能否建立一個P與w、d、t的函數模型？它可能具有什么樣形式的表達式？ 學情預設：（1）1(()()())
3
PPwPtPd
；
（2）3
()()()
P
PwPtPd
；
（3）()()()
P
PwPtPd；
（4）2
wtP
k
d
。
思考2：由以上函數模型及關系式，如果你是技術顧問,要保證工人的安全，增大木板的最大承受重量，你覺得可以采取哪些措施？
（1）進一步研究P與w、t、d之間的關系，進一步解釋事物間的本質。
（2）進一步體會函數模型的
應用價值。
（三） 課堂回顧 總結提升
1.你能總結出建立實際問題的函數模型的一般過程嗎？ 教師引導得出：
2.對函數模型的理解
（1）由于受到各種因素（比如測量過程、材料、木板制造工藝等）影響，我們的得到的函數模型不可避免的存在誤差，我們只能盡量減小誤差，選擇最優模型。
（2）在實際生活中，影響木板最大承受重量的因素不止這三個，所以我們是在比較理想的狀態下考慮這個問題的，這只是一個近似模型。
（3）目前我們可以選擇的函數模型還是比較簡單的，以后當我們學到更多的函數時，會有更多的考慮方向，模型的形成也就更復雜，應用也就更廣泛。
（1）體會數學建模的意義：源于生活，用于生活。 （2）通過師生共同總結，使本課內容進一步深化，使學生的思維得到升化。
7
（四） 動手實踐 拓展應用
1、查閱資料，建立模型 黨的十九大提出：
——到2020年全面建成小康社會，實現第一個百年奮斗目標； ——到2035年基本實現社會主義現代化；
——到本世紀中葉全面建成富強民主文明和諧美麗的社會主義現代化強國。
請你查閱資料，獲取2010年—2018年我國GDP數據，建立一個合適的模型，預測一下2020年我國的GDP。 2、動手實踐，建立模型
觀察一下身邊的煙道、鐵門、廣告牌等，是否用到各種彎管？ 制作這類彎管時，通常先在平面材料上剪裁出展開圖，再合攏、 拼接出彎管。我們將要動手制作如圖（1）所示的圓柱彎管。 準備好一個薯片罐，安裝GeoGebra的平板。
圖（1） 圖（2）
斜截薯片罐一分為二，要確保斜截面是平面。可以將斜截面置于桌面來檢驗，若截口與桌面沒有空隙則為平面。
把其中一個斜截圓柱的側面剪開并攤平，如圖（2）所示。 要畫出這個斜截圓柱的側面展開圖，關鍵在于截口輪廓線， 也就是圖（2）中的曲線 A1BCDA1'。
猜測曲線 A1BCDA1'是什么曲線？并建立其函數模型。
（1）本問題情境可以激發學生的愛國熱情，體現立德樹人的教育根本任務。
（2）由課堂延伸到課外，增強學生的探究能力。
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五．說明：
本節課是應用課，因此本節課的重點難點都是：根據實際問題，建構函數模型；初步掌握函數擬合的方法。這節課對培養學生解決實際問題的能力有重要作用。
本節課從生活中的實際問題引入，一下子就吸引了學生的注意力。然后，通過引導學生對問題解決的探索，使學生體會到解決實際問題的方法，學會揭示規律。本節課不但讓學生大膽探索，老師也注意了適時的點撥、總結，使知識系統化、理論化，使學生對知識的理解得到深化。最后師生共同總結，并畫出了根據實際問題建立函數模型的基本過程結構圖，使學生對知識的掌握得到進一步的升華。
本節課充分借助了GeoGebra的數學功能，人人通空間良好的交互展示能力，靈活的學習領域，為學生提供了一個很好的探究平臺。技術的介入可以為學生創設探究學習的情境，更是學生發現知識、探究知識和表達觀點的有力工具。學生通過自主探究和合作交流，不斷提出問題解決問題，這樣的教學方式真正體現了學生的主體地位，不但可以提高教學效果，還可以增強學生學習數學的興趣和成就感，培養他們的創新意識和能力，這在沒有技術的教學中將是難以實現的。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
