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視頻標簽：建立函數模型,氣溫變化問題
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學選修1-2高中數學項目式學習《建立函數模型探究氣溫變化問題》福建省 - 泉州
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《建立函數模型探究氣溫變化問題》教學設計
本節課系福建省“十三五”第一批中學數學學科教學帶頭人培養對象課題 《高中數學建模案例分析》（課題編號：DTRSX2017022）研究成果之一
一、教學內容解析
1.教學內容
三角函數既是高中數學的重要內容之一，也是高考考查的重點，是進一步學習數學和其他自然學科的基礎，是研究現代科學技術必不可少的工具．本課位于人教A版《普通高中數學課程標準實驗教科書》數學，必修4第一章《三角函數》第6節，本節課是《三角函數模型的簡單應用》的第一課時．本節課學習的內容“三角函數模型的簡單應用”是在學習了必修一“函數模型及其應用”以及必修四“三角函數的圖象與性質”的基礎上的一個新增內容，主要以舉例的方式說明三角函數模型的應用方法，為學生以后學習回歸分析做好方法上的鋪墊．
教材設計本節內容的課程目標是：讓學生感受到三角函數在解決具有周期變化規律的問題中的作用，體驗三角函數與日常生活和其他學科的聯系，使學生體會三角函數的價值和功能，增強應用意識，同時還要使學生加深理解有關知識．在安排內容時，強調數學文化，突出現代信息技術與數學課程的深度融合．特別注重數學應用過程的完整性，加強了對問題情境和解題思路的分析，以及解題后的反思這兩個環節．
因此基于對教材內容和課程目標的分析與理解，本節課教學設計重新整合教材并保持與教材設計的一致性，內容上選擇整合教材例1和例4，背景替換為學校天文社同學采集的泉州昨天分時氣溫數據，考察函數模型的建立，求解和簡單應用；改編挖掘教材例3，對前一個問題的氣溫變化成因進行項目式學習，從復雜的背景中抽象出基本的數學關系，調動相關學科知識來幫助理解問題．這樣的處理既尊重教材，又尊重學生實際．選擇貼近學生的學校天文社活動作為背景并用地理和物理的學科知識分析成因，體現數學和其他科學的融合，凸現數學文化．
2.教學重點
通過具體案例使學生掌握三角函數模型及其應用，體會數學建模的過程與方法．
二、學生學情分析
1.學情分析
學生在高中數學必修一學習了分段函數、指數函數、對數函數、冪函數等基本函數模型，也學習了函數模型應用的基本步驟與方法．經歷過收集數據，觀察散點圖，選擇函數模型，求解函數模型，運用函數模型解釋檢驗實際問題的數學建模過程，使用Geogebra相關技術輔助學習，體會到數形結合、函數與方程等數學思想，在數學知識與方法、數學實驗操作上都具備一定的基礎．同時，學生在高中必修四學習了三角函數和其他學科知識后，了解到三角函數與天文、物理、地理等學科中周期變化現象是有密切聯系的．
要達成本節課的教學目標，需要學生能敏銳的發現實際問題中的三角函數模型背景，合理的分析理解數據，掌握完整的數學建模的步驟．但學生對建立和應用函數模型往往還停留在求解層面上，實際問題中的數學背景、意義，以及其中蘊含的數學思想、方法、素養的理解并不深刻．當面對利用三角函數解決具有周期變化規律的實際問題中的陌生背景、復雜數據時，學生會有畏難情緒和思維障礙；尤其是理解問題的實際背景、分析問題的復雜條件，建立和求解數學模型，檢驗模型的實際意義，利用模型最終分析和解決問題等環節都可能遇到一定的困難，導致實際問題的解決不能順利完整的完成．同時，本節課對學生的信息技術輔助數學探究性學習的能力要求較高，特別是運用智慧課堂平板電腦操作Geogebra數學軟件，可能會遇到網絡傳輸不流暢，反應較慢，操作不熟練等因素的影響．
本節課的授課對象為泉州一中東海校區高一的學生，數學基礎相對扎實，思維較活躍，教師平時運用Excel、Geogebra、幾何畫板軟件輔助教學較多，學生運用平板電腦信息技術輔助學習較為熟練，具有豐富的探究活動經驗，但在抽象概括能力和提煉總結意識上還有待進一步提升．
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2.教學難點
本節課的教學難點是：分析、整理、提取和利用信息，將實際問題抽象轉化成三角函數模型，并解決實際問題．
三、教學目標設置
1．通過具體案例使學生掌握三角函數模型及其應用，體會數學建模的過程與方法；
2．在經歷用正弦型函數模型解決實際問題的過程中，積累數學活動經驗，培養學生的數學建模素養和數學應用意識；
3．通過用正弦型函數模型解決實際問題的過程，讓學生進一步認識和掌握選用函數模型進行數據擬合的方法．
為此選擇教材中的一類問題：解決實際生活中形如sin()yAxb的三角函數的應用問題作為本節課的教學內容，希望學生在探究問題的活動體驗中獲得對三角函數模型簡單應用的深入理解．這類問題的內涵十分豐富：
（1）通過觀察圖象認識事物的形態變化的規律，構建恰當的函數模型，探索解決問題的思路，重點培養學生數形結合的數學思想和直觀想象的核心素養；
（2）通過建立三角函數模型解決實際問題，培養學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，重點培養學生轉化與化歸的數學思想和數學抽象、數學建模的核心素養；
（3）通過合理選擇運算方式解決實際問題，培養學生程序化思考問題的品質，重點培養學生函數與方程的數學思想和數學運算的核心素養；
（4）通過留給學生的課后研究性學習課題，擴大研究對象的樣本容量和拉長研究周期，培養學生的創新意識、特殊與一般、必然與或然的數學思想和邏輯推理的核心素養．
四、教學策略分析
1.策略分析
（1）數學文化為引線：以學校天文社活動作為背景引入，以分析溫度變化成因作為拓展，以擴大樣本容量和周期作為研究性學習課題激發學生的學習興趣和求知欲，培養學生的文化素養，通過數學文化立德樹人．
（2）問題探究為主線：問題探究，層層遞進．問題1自主分析實際問題，建立三角函數模型并解決實際問題，掌握數學建模完整的步驟與方法，熟練運用信息技術輔助學習，體會數學思想，提高數學素養．問題2對模型進行檢驗和應用，解釋模型的適用范圍，加深對三角函數與實際生活的關聯體驗．問題3進行項目式學習，小組合作結合地理和物理相關知識分析問題成因，體會學科融合，培養創造力．
（3）突破難點的策略：在教學時，引導學生重視分析實際問題，整理、提取和利用關鍵信息，抓住實際問題中的重要數據，善于提煉和處理數據，發現數據的內在規律，尋找數量之間的關系；同時借助散點圖，引導學生從“形”的特征發現各個量之間的關系以及變化規律，進而建立實際問題的函數模型；最后注意指導學生根據問題的實際意義對問題的解進行分析，做出合理的解釋，最終達成突破難點的目的．
2.媒體分析
黑板：板書教學流程及要點．
多媒體投影：顯示教學環節，快速及時展示學生解決問題的切入點、思維過程、解答結果；暴露學生解題過程中的知識缺陷和思維漏洞．
平板電腦、Geogebra軟件：繪制散點圖，擬合三角函數圖象，擬合求解函數解析式，幫助學生對比、驗證自己所求函數的正確性；借助軟件的計算功能，快速準確地解決問題，體會借助現代信息技術解決問題的便利性．
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五、教學過程設計
1．提出問題
泉州一中天文社活動內容豐富多彩：天文現象觀測活動，地形地貌觀測活動，氣象觀測活動等等．假期天文社張濱泓老師組織同學們進行氣溫觀測活動，天文社同學們收集的昨天16個小時分時氣溫為數據如下表所示：（單位：℃） 時刻 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 氣溫
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問題1．選用一個函數來近似描述分時氣溫與時間的關系． 【學生活動】
了解本節課的人文背景：泉州一中天文社團活動組織的氣溫觀測活動，產生學習的興趣，以昨天16個小時的數據為參考，更具真實性，感受數學建模來源于生活． 【教師活動與評價】
大致說明天文社活動，展示活動圖片．創設情境，引出本節課核心問題． 【設計意圖】
通過天文社活動圖片，激發學生的學習興趣和求知欲．從學生的經驗和已有知識出發，通過密切聯系學生的實際和生活環境，創設生動有趣、有助于學生自主學習、合作交流的問題情境，讓學生感受到生活需要數學．
2．解決問題
【學生活動】
回顧函數模型應用的解題步驟和探究方法，回憶使用過的信息技術工具．將其遷移到問題的解答過程中；學生獨立思考，自主探究；小組合作學習、交流討論；聆聽、思考． 【教師活動與評價】
帶領學生回憶在必修一中學習函數模型及其應用時的解題步驟和使用過的輔助工具；巡視指導，對不同的解決方法進行觀察；指導點撥，收集不同的解決方案；總結問題特征和解題步驟． 【設計意圖】
回顧舊知，為有效地解決問題作好知識、方法和工具上的鋪墊；讓學生通過描繪散點圖，觀察曲線幾何特征，結合三角函數的相關知識、方法，獨立探究解決問題；讓學生在交流、探討中實現思維火花的碰撞，完善自我的解決方案，梳理解題思路；及時總結已知模型的應用問題的解題步驟，為反思歸納三角函數模型的簡單應用的步驟做好鋪墊． 【預設情境】
1．學生能通過對必修一函數模型的應用的回憶，較為完整地按照：收集數據、畫散點圖、選擇函數模型、求函數模型、檢驗、解決實際問題的步驟解決問題，但解題步驟可能不完整，需要教師引導、點評、總結． 2．學生采用平板電腦和Geogebra軟件繪制散點圖，部分學生選擇三角函數進行擬合，部分學生選擇多項式函數進行擬合，對兩類函數都能較好的擬合函數產生困惑． 【教師活動與評價】
追問1：根據數據做出散點圖，觀察圖形，你們認為可以用怎樣的函數模型來刻畫其中的規律？
學生結合以往所學的函數模型知識，抓住散點圖明顯的幾何特征，構造三角函數模型解決問題．很好地體現了知識方法的遷移與應用以及良好的數學建模素養． 追問2：你能否求出這個函數模型？
同學們采用不同的方法求解出函數解析式，既體現了扎實的數學功底，也體現了應用現代信息技術解決問題的意識．兩種方法都體現了很高的數學建模素養．使用現代信息技術會使得計算更便捷、準確． 追問3：為什么使用同樣的數據會求得不同的結果？我們應該如何認識這種差異和選擇函數模型？
兩類方法所得的函數解析式雖然從類型上不一樣，而且同一類函數模型可能有不同的函數解析式，但是它們在本質是一樣的：因為多項式函數本質上就是三角函數的泰勒展開式．在檢查計算后發現與實際數據可能不一致，但是并不影響解決實際問題．
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【設計意圖】
幫助學生認真閱讀題意，抓住關鍵的詞句，弄清題意，建立數量關系；引導學生根據散點圖的特點選擇函數模型；再次強化數形結合的數學思想，提升直觀想象的數學素養；引導學生根據散點圖及有關數據求函數解析式；盡管問題是三角函數模型的實際應用，但方法與步驟與此前學習的函數模型的應用是完全一致的．即便學生有一定的知識儲備，但是依舊要加強對問題情境和解題思路的分析，進一步突出教學重點并突破難點．強化轉化與化歸的數學思想，提升數學建模的核心素養．
建立數學模型解決實際問題，所得的模型往往是近似的，并且得到的解也是近似的．所以應該把握模型的核心特征，簡化模型，優化方法．解題后的反思開拓了學生的視野，再次激發學習興趣．既體現了數學應用過程的完整性，還可以保持數學應用中的數學思維水平，提高學生對相應的數學方法、數學素養的認知層次，培養學生良好的解題習慣．由于實際問題常常涉及一些復雜的數據，因此要鼓勵學生利用計算機或平板電腦處理數據，包括建立有關數據的散點圖，根據散點圖進行函數擬合等．
問題2．能否根據求出的解析式，預測今天氣溫低于30℃的時間段？并應用相關的氣象預測軟件驗證并說明理由． 【預設情境】
1．學生利用已經解得的函數解析式，演算求解出結果．
2．學生利用信息技術（Geogebra等軟件）快速求解結果，驗證演算結果的正確性． 【教師活動】
利用已得函數解析式，將實際問題轉化為數學問題并求解，體現了很好的函數與方程的數學思想．使用已經學習過的信息技術是解決問題的另一種手段．并且當實際問題的數據更為復雜和變化時，利用信息技術能快速準確的解決程序化的計算問題．通過氣象查詢軟件，發現今天的氣溫符合昨天的關系預測，但今夜冷空氣突襲，導致明天的氣溫預測不相符．分析原因：考慮變量越多，數學建模相對越精確． 【設計意圖】
通過解決一些簡單的實際問題，引導學生認識到：建立三角函數模型后，可以把握事物的周期性發展規律，預測事件的發生，使我們能夠快速解決實際問題．使用信息技術能快速準確的的解決程序化的計算問題．滲透轉化與化歸、函數與方程的數學思想，培養數學運算的核心素養．
3．挖掘問題
問題3．能否應用數學知識結合相關的物理、天文、地理知識來解釋分時氣溫接近正弦變化規律的原因？ 【學生活動】
學生獨立思考，自主探究；小組合作學習、交流討論；展示分享探究成果；聆聽、思考． 【教師活動與評價】
結合課本例3，結合數學知識理解太陽高度角的知識點，提示將地球表面某地進行微分后再分析成因；巡視指導，對不同的分析方法進行觀察；指導點撥，收集不同的解決方案；對各種方法從數學的角度進行完善．
【預設情境】
1．類比受力分析結合平面向量知識點分析成因；
2．應用光的強度在大氣折射后的馬呂斯定律分析成因；
3．從單位面積的能量密度結合解直角三角形的知識點分析成因． 【設計意圖】
實際問題的背景往往比較復雜，而且需要綜合應用多學科的知識才能解決．因此，在應用數學知識解決實際問題時，應當注意從復雜的背景中抽取基本的數學關系，還要調動相關學科知識來幫助理解問題．
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4．反思歸納 歸納步驟：
思想與方法：數形結合的思想、轉化與化歸的思想、函數與方程的思想、一般與特殊的思想． 核心素養：數學建模、數據分析、數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學抽象． 【學生活動】
基于對問題的探究和理解，對照必修一函數模型的應用解題過程的步驟，總結歸納三角函數模型的簡單應用的步驟，理解由于實際問題的周期變化規律對函數模型選擇的影響；強化對求解函數模型的一般步驟的理解，揭示探究過程中的數學思想、核心素養． 【教師活動與評價】
引導學生回顧解決問題的過程，提出該環節學習任務，師生共同反思總結、修正完善所涉及的知識、方法、思想、核心素養；指出學生步驟中的不足，引導學生一起完善． 【設計意圖】
在充分體驗的基礎上，生成邏輯連貫、前后一致的知識體系，使得研究過程中的知識、方法、思想顯性化，具體化，規范化．
六、課堂教學目標檢測
作業布置：
1．在學校天文社收集的數據基礎上，擴大樣本容量，擴大研究周期，對一年的日平均氣溫的變化情況進行數學建模以及分析成因；
2．通過氣象部門收集相關數據，進行數學建模，探索全球氣候變暖問題； 3．以小組為單位，在暑假期間形成一份相關的研究性學習課題研究成果．
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
