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視頻標簽：導數的,幾何意義
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數的幾何意義-重慶
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高中數學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數的幾何意義-重慶復旦中學
教學目標
1.通過引導學生回顧圓的切線的概念，發現圓的切線的定義的局限性，引發探究欲望，初步訓練學生發現問題、提出問題、分析解決問題的能力；
2.通過導數概念的復習，經過學生自己作圖和教師動畫演示割線“逼近”成切線的過程，讓學生感受函數圖像的切線的“形成”過程，獲得函數圖像的切線的意義，體會由“量變”到“質變”的心路歷程；
3.經歷割線“逼近”成切線的過程，獲得一般曲線的切線定義，感知并初步理解函數 在 處的導數 的幾何意義就是函數 的圖像在 處的切線的斜率，即 =切線的斜率；
4.通過分析導數的幾何意義，研究在實際生活問題中，用區間較小的范圍的平均變化率，來解決實際問題的瞬時變化率，體會“以直代曲”的近似替代的方法，養成學生分析問題、解決問題的方法，初步體會發現問題的樂趣；
5.通過對高臺跳水模型的研究，初步體會如何利用導數的幾何意義來描述比較 在 ， ， 處的變化情況的方法，達到梳理新知的目的，增強學生問題應用意識教育，讓學生獲得學習數學的興趣與信心。
2學情分析
從知識上看，學生通過學習平均變化率，特別是函數的瞬時變化率及導數的概念的學習，學生對導數概念有了一定的理解和認識，導數是對變化率的一種“度量”，同時也在積極思考導數的另一種體現形式——“形”。在此之前，學生對曲線(尤其是圓和圓錐曲線)的切線有了一定的認識，特別是在學習圓錐曲線與直線關系時，對拋物線和雙曲線的切線的有一定的了解與認識。從學習能力上看，通過一年多的學習實踐，學生已經掌握了一定的探究問題的經驗，具有一定的想象能力和研究問題的能力。從學習心理上看，學生已經掌握了圓的切線及圓錐曲線的切線，只是它的含義是從公共點的個數方面來了解的，當然在思維方面，形成了定勢：直線與曲線相切，直線與曲線只有一個公共點。本節課切線的含義要在思維層次方面獲得上升，不是從公共點的個數上來定義切線，而是由 “割線”的“逼近”來定義曲線的切線，把曲線的切線上升到新的思維層面上。通過概念的建立，概念的辨析，問題的探究來激動學生的好奇和興趣。
本節課的內容蘊含著導數的“數”和“形”兩種體現形式，“逼近”和“以直代曲”的思想和用已知探究未知的思考方法。在教學過程中應重視并體現這些數學思想方法。根據本節課的內容特點，教學過程中可充分借用信息技術這一輔助手段，利用幾何畫板的動態作圖這一優勢平臺為學生的問題探究，概念形成，思維過程提供支持。
3重點難點
重點：導數的幾何意義，導數的實際應用，“逼近”和“以直代曲”數學思想方法。
難點：對導數幾何意義的理解與掌握，在每點處“附近”的變化率與瞬時變化率的近似關系的理解。
關鍵：由割線 “逼近”切線的動態變化效果，體現“量”與“質”的轉化與相互替代。
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】提出問題－－－引入課題
【創設情境，誘發思考】
問題1：初中平面幾何中，我們是怎樣判斷一條直線是否是圓的切線或割線？ 在高中選修2-1中，我們又學習了橢圓，以上判斷方法對橢圓的切線還適用嗎？
學生（預設）：通過公共點的個數來判斷。直線和圓有惟一公共點時，直線叫做圓的切線，惟一公共點叫做切點．直線和圓有兩個公共點時，直線叫做圓的割線，兩個公共點叫做交點．
問題2：上述圓與橢圓的切線的判斷方法是否適用于拋物線、雙曲線，甚至更一般的曲線呢？請思考下圖中的幾條直線，哪些是切線？
圖1
A
圖2
結論: 圓是一種特殊的曲線，圓的切線的定義并不能適用于一般曲線的切線，如圖2中的l5雖然與曲線有唯一的公共點A，但我們不能認為它與曲線相切。而另一條直線l4，雖然與曲線有兩個公共點，我們還是認為它是曲線在點D處的切線。
問題3：圓的切線除了直接用公共點的個數來定義外，實際上也可以由割線通過平移或繞點旋轉而得到。
學生活動1：試在圖3、圖4中作出過點A的切線，并思考這條切線與割線l1的關系。（圖3中過A的直徑垂直于l1）
l1
教師：引導學生用平移和旋轉兩種觀點來認識圓的切線，為定義一般曲線的定義作鋪墊。
l1
圖3
圖4
O
y=f(x)
x
y
Δx
Δy
P
P1
β
圖5
設計意圖：以上3個問題旨在幫助學生反思圓的切線的定義的局限性，引發學生的思考，帶著問題走進課堂，從而為尋找更加科學的方法來定義曲線的切線作鋪墊，引導學生將數學知識進行推廣和遷移。
提問：對于一般的曲線，是否可以用這種旋轉的方式來定義曲線的切線呢？(為了回答這個問題，讓我們回顧一下導數的知識，并從導數的角度來探究割線與切線之間的關系。)
問題4：導數的定義是什么？
問題5：求導數的方法步驟
第一步：求平均變化率
第二步：取極限，得導數
問題6：你能借助圖像說說平均變化率 表示什么嗎？請在圖5中畫出來。
設計意圖：（1）通過提問，學生復習，實現類比遷移，為探尋導數的幾何意義做準備；
（2）培養學生觀察圖像，歸納總結的能力.
活動2【導入】探索問題－－－合情推理
【實驗探究，思維辨析】
問題7：在圖6中作出過點P2、P3、P4、P5的割線，并注意觀察在點P1沿曲線逐漸向點P靠近的過程中，割線PPn的運動情況。
探究1：在Pn無限逼近P的過程中，你能描述一下割線PPn的變化情況嗎？用這種方式得到的切線具有一般性嗎？你認為如何定義曲線的切線呢？
（通過PPT課件向學生演示 向 逐步逼近的動態過程，結合圖形向學生引出切線的定義．）
設計意圖：讓學生通過作圖來參與曲線的切的“逼近”的發現過程，初步體會曲線的切線的逼近定義。教師用PPT課件演示割線的動態變化，為學生觀察、思考提供平臺，引導學生共同分析，直觀獲得切線定義；學生通過曲線的切線的定義解決了切線推廣的問題，體驗到數學的嚴謹和數形結合的直觀。
活動3【講授】解決問題－－－獲取新知
【歸納提煉，得出新知】
（板書）1.曲線的切線的定義：當 時，割線 （確定位置） ，PT叫做曲線在點P處的切線．
問題8：切線 的斜率與割線 變化過程中的斜率有什么關系呢？
學生活動3：學生自主思考，小組討論.
平均變化率
瞬時變化率
割線的斜率
切線的斜率
得出結論：割線斜率的極限是切線的斜率，即：切線的斜率k=
設計意圖：這個環節是整個教學過程中的難點，引導學生在直觀認識基礎上，學會用數學語言歸納概括；另一方面使學生體會“由量變到質變”的哲學思想。
教師引導學生對比導數定義表達式 與切線斜率 得出導數的幾何意義。
設計意圖：導數幾何意義的得出是整個教學活動的重點，引導學生將數與形結合，將切線斜率和導數相聯系，觀察、思考獲得導數的幾何意義.
(板書)2.函數f(x)在x=x0處的導數的幾何意義
函數f(x)在x=x0處的導數就是切線PT的斜率k，即
探究2:解決“問題2”
結論: 這種通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線。所以這種定義才真正反映了切線的直觀本質。
問題9:研究導數的幾何意義有什么作用？ 請思考圖7中三幅圖的含義。
結論：以“直代曲”是微積分中的重要的思想方法，即以簡單的對象(切線)來刻畫復雜的對象(曲線)。大多數的曲線就一小范圍來看，大致可看成直線，所以，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”。
設計意圖：通過對點P附近圖像的逐步放大，讓學生體會到“某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替”這一“以直代曲”的數學思想方法，這種思想是微積分學中的重要思想方法．
（板書）3．數學思想方法：“以直代曲”思想方法．即曲線上某點的切線近似代替這一點附近的曲線.
活動4【練習】新知應用－－－及時鞏固
【學而習之，牛刀小試】
[練習] 求曲線y=f(x)=x2在點P(1,2)處的切線方程.
[文本框: 求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點斜式求切線方程.]
因此，切線方程為y-2=2(x-1)，即y=2x.
設計意圖：回顧重點，突出導數的幾何意義及應用，學會利用導數的切線的關系解題。此練習讓學生獨立動手完成，檢測學生對知識的掌握情況。
【游刃有余，提升能力】
[例1] 觀察跳水運動高度隨時間變化的函數h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象，請描述曲線在t0,t1,t2附近的變化情況。以及t1,t2附近的增（減）快慢情況。
解：可用曲線h(t)在t0,t1,t2處的切線來描述曲線h(t)在上述三個時刻附近的變化情況．
(1)當t=t0時，曲線h(t)在t0處的切線l0平行于x軸，所以，在t=t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降；
(2)當t=t1時，曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率h/(t1)<0，所以，在t=t1附近曲線下降，即函數h(t)在t1附近單調遞減；
(3)當t=t2時，曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h/(t2)<0，所以，在t=t2附近曲線下降，即函數h(t)在t2附近單調遞減；
另外，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，說明曲線h(t)在t1附近比在t2附近下降得緩慢。
講析要點：根據導數的幾何意義，當某點處導數大于零時，說明在這點的附近曲線是上升的，即函數在這點附近是單調遞增；當某點處導數小于零時，說明在這點的附近曲線是下降的，即函數在這點附近是單調遞減；當某點處導數等于零時，說明是函數的最大值點．
設計意圖：此例先由學生交流討論后，由學生回答，教師歸納結論。引領學生對問題進行定性分析，在某點處由切線的“走向”分析曲線的“走向”，滲透“以直代曲”的數學思想。
【歸納小結，規律提煉】
問題10：通過觀察跳水問題中導數的變化情況,你得到了哪些結論?
(1)以直代曲：大多數函數就一小段范圍看，大致可以看作直線，某點附近的曲線可以用過該點的切線近似代替；
(2)函數的單調性與其導數正負的關系；
(3)曲線的變化快慢與切線的傾斜程度的內在聯系.
【課堂練習，鞏固新知】
如果曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x+2y-3=0，那么 ( )
A.f/(x0)>0 B.f/(x0)<0 C.f/(x0)=0 D.f/(x0)不存在
活動5【講授】課堂小結－－－回味悠長
1.本節課你學到了哪些知識？
(1)曲線的切線的定義；
(2)導數的幾何意義：
(3)求曲線在某點處的切線的方法步驟。
2.通過本節課的學習，你了解了哪些方法？
(1)求曲線在某點處的切線的方法步驟。
(2)利用函數導數的正負來判斷函數的單調性；
(3)利用切線的傾斜程度來判斷曲線的變化快慢.
3.通過本節課的學習，你了解了哪些數學思想？
(1)“以直代曲”； (2)“逼近”； (3)“數形結合”；
4.通過本節課的學習，你還想繼續探究什么？
設計意圖：總結知識，加深學生對知識的理解和記憶。同時，問題4的設計是讓學生“帶著問題走進課堂，帶著思考走出課堂”
活動6【作業】課后思考－－－努力前行
課后思考：已知導函數f/(x)的下列信息：
當1<x<4時，f/(x)>0，當x>4或x<1時，f/(x)<0，當x=4或x=1時，f/(x)=0
試畫出函數f(x)的大致形狀。
【課后作業】
1.閱讀教材P6-8
2.P10習題A4-6。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
