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視頻標簽：導數的幾何意義
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數的幾何意義-建設
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高中數學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數的幾何意義-建設兵團
教學目標
1、知識與技能目標:
(1) 通過復習舊知“求導數的兩個步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關系”,解決了平均變化率的幾何意義后,明確探究導數的幾何意義可以依據導數概念的形成尋求解決問題的途徑。
(2) 借助兩個類比的動畫,從圓中割線和切線的變化聯系,推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。
(3) 依據割線與切線的變化聯系,數形結合探究函數 在 處的導數 的幾何意義。在學習過程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的數學思想方法。
2、過程與方法目標:
(1) 學生通過觀察感知、動手探究,培養學生的動手和感知發現的能力。
(2) 學生通過對圓的切線和割線聯系的認識,再類比探索一般曲線的情況,完善對切線的認知,感受逼近的思想,體會相切是種局部性質的本質,有助于數學思維能力的提高。
(3) 結合分層的探究問題和分層練習,期望各種層次的學生都可以憑借自己的能力盡力走在教師的前面,獨立解決問題和發現新知、應用新知。
3、情感、態度、價值觀:
(1) 通過在探究過程中滲透逼近和以直代曲思想,使學生了解近似與精確間的辨證關系;通過有限來認識無限,體驗數學中轉化思想的意義和價值;
(2) 在教學中向他們提供充分的從事數學活動的機會活動中激發學生的學習潛能,促進他們真正理解和掌握基本的數學知識技能、數學思想方法,獲得廣泛的數學活動經驗,提高綜合能力,學會學習,進一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態度方面得到良好的發展。
2學情分析
考慮授課對象是高二年級理科平行班,數學的知識基礎和數學思維能力的層次差異較大,所以本節課設計為探究、自主實踐的活動課。巧用信息技術,展示兩個類比的動畫,增強直觀性,期望不同層次的學生,在探索的過程中都有感知和發現,同時增加課堂容量。
3重點難點
重點:導數的幾何意義,導數的實際應用,“以直代曲”數學思想方法.
難點:對導數幾何意義的理解與掌握,在每處“附近”變化率與瞬時變化率的近似關系的理解.
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】1．復習引入，溫故知新，誘發思考：
1)、平均變化率
一般地,函數y=f(x)在點x0附近的平均變化率可以表示為
你能借助函數的圖象說說平均變化率的幾何意義嗎?
平均變化率幾何意義表示的是該曲線的割線的斜率。
2).導數的概念
類比平均變化率的幾何意義,導數的幾何意義又是什么呢?今天我們就來探究導數的幾何意義。
活動2【活動】2．自主思考，參與探究
1.動畫類比,得到切線的新定義
問題探究
要研究導數的幾何意義,結合導數的概念,即要探究 ,割線的變化趨勢,看下面的動畫。
帶著問題觀察動畫,借助熟悉的圓中的某點處的割線和切線,學生更易感知當 ,割線的變化趨勢。
學生交流說出割線的變化趨勢
活動3【活動】2.多媒體顯示【動畫1】
用逼近的方法體會割線逼近切線,消除學生對極限的神秘感。
當點Pn沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線Pn趨近于確定的位置,這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.
合作交流
割線的斜率與切線的斜率有什么呢?
活動4【活動】3.多媒體顯示【動畫2】
學生交流得出以下結論
即:當△x→0時,割線PQ的斜率的極限,就是曲線在點P處的切線的斜率,
學生交流得出以下結論
即:當△x→0時,割線PQ的斜率的極限,就是曲線在點P處的切線的斜率,
活動5【講授】三、歸納小結
結合上面的研究過程,你能指出導數f‘(x0) 的幾何意義嗎?
函數f(x) 在x=x0 處的導數就是曲線在該點處的切線斜率 ,即:
活動6【練習】四、典例精講
例題:如圖,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數 的圖象。
說明在 t0、t1 、t2 變化情況
分析:附近:瞬時,增減:變化率,即研究函數在該點處的瞬時變化率,也就是導數。可借助切線的變化趨勢得到導數的情況。
生:作出曲線在這些點處的切線,在t0 處切線平行于 x軸,即h'(t0) =0,說明在t0 時刻附近變化率為0,函數幾乎沒有增減;在t1、t2 作出切線,切線呈下降趨勢,即 h'(t1) <0,h'(t2) <0,函數在點附近單調遞減。曲線在t2 附近比在t1 附近下降得更快,則是因為│h'(t1)│<│h'(t2)│ 。
例2:
1)若曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y+1=0,
2)設曲線y=ax2在點(1,a)處的切線與直線 2x-y-6=0平行,則a等于_______.
(3)在曲線y=x2上切線傾斜角為π/ 4的點是( )
A.(0,0) B.(2,4) C.(1/4,1/6 ) D.(1/2,1/4 )
這幾道題對應檢測本節課的學習重點,了解和掌握導數的幾何意義。
活動7【練習】五、拓展提升：
例1:求曲線y=x2+1在點P(1,2)處 的切線方程.
例2:求曲線y=x2在點P(5/2,6) 的切線方程
設計意圖:學會求切線方程,并且會判斷切點在曲線與不在曲線上的兩種情況
活動8【測試】六、當堂檢測：
(1)若曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為2x+y+1=0,則f(x0) = .
(2)設曲線y=ax2在點(1,a)處的切線與直線 2x-y-6=0平行,則a等于_______.
(3)在曲線y=x2上切線傾斜角為π/ 4的點是( )
A.(0,0) B.(2,4) C.(1/4,1/6 ) D.(1/2,1/4 )
活動9【講授】七、課堂總結：
本節課重點在于講述導數的幾何意義以及利用導數的幾何意義解釋實際問題,運用逼近思想定義了曲線上某點的切線,再引導學生從數形結合的角度思考,獲得導數的幾何意義——“導數是曲線上某點處切線的斜率”。
活動10【作業】八、作業布置：
習題1.1 A組 第5、6題
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