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視頻標簽：導數的幾何意義
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數的幾何意義-天津市省優課
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高中數學人教A版選修2-2第一章1.1.3導數的幾何意義-天津市省優課
導數的幾何意義
教學目的
1．使學生理解導數的幾何意義；并會用求導數的方法求切線的斜率和切線方程；利用導數求法線方程．
2．通過揭示割線與切線之間的內在聯系對學生進行辯證唯物主義的教育．
教學重點
理解導數的幾何意義是本節的重點．
教學過程
一、復習提問
1．導數的定義是什么？求導數的三個步驟是什么？求函數y＝x2在x＝2處的導數．
2．怎樣定義曲線C在點P的切線？(即切線的定義)
在學生回答基礎上教師重點講評第2題，然后逐步引入導數的幾何意義．
如圖2－1，設曲線C是函數y=f(x)的圖象，點P(x0，y0)是曲線C上一點．點Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲線C上與點P鄰近的任一點，作割線PQ，當點Q沿著曲線C無限地趨近于點P，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線．
追問：怎樣確定曲線C在點P的切線呢？因為P是給定的，根據平面解析幾何中直線的點斜式方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了．設割線PQ的傾斜角為
由上式可知：曲線f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率就是y＝f(x)在點x0處的導數f'(x0)．
二、新課
1．導數的幾何意義：
函數y＝f(x)在點x0處的導數f'(x0)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率．
結論：根據導數的幾何意義，
當某點處導數大于零時，說明在這點的附近曲線是上升的，即函數在這點附近是單調遞增；
當某點處導數小于零時，說明在這點的附近曲線是下降的，即函數在這點附近是單調遞減；
2．利用導數求曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程．
例2.（1）若曲線y=f(x)在點(
)處的切線方程為2x+y+1=0，則 .
（2）求曲線
在點M(1，2)處的切線方程．
∴y'|x=1=2×1=2．
∴點M(1，2)處的切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y=0．
由上例可歸納出求切線方程的兩個步驟：
(1)先求出函數y＝f(x)在點x0處的導數f'(x0)．
(2)根據直線方程的點斜式，得切線方程為
y－y0=f'(x0)(x－x0)．
三、小結
1．導數的幾何意義．
2．切線的斜率。
3.利用導數求曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程的步驟．
四、作業
1、課時作業
2、求曲線
在點
處的切線的斜率。
3、求曲線
在點（-1,1）處的切線的方程。
教學反思
本節內容是在學習了“變化率問題、導數的概念”等知識的基礎上，研究導數的幾何意義,由于新教材未設計極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學生通過動手作圖,自我感受整個逼近的過程,并用形象的幾何畫板及Flash展示動態的過程，讓學生更加深刻地體會導數的幾何意義及“以直代曲”的思想。
本節課主要圍繞著“利用函數圖象直觀理解導數的幾何意義”和“利用導數的幾何意義解釋實際問題”兩個教學重心展開。
先回憶導數的實際意義、數值意義，由數到形，自然引出從圖形的角度研究導數的幾何意義；然后，類比“平均變化率——瞬時變化率”的研究思路，運用逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數形結合的角度思考，獲得導數的幾何意義——“導數是曲線上某點處切線的斜率”。
完成本節課第一階段的內容學習后，教師點明，利用導數的幾何意義，在研究實際問題時，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達到“以簡單的對象刻畫復雜對象”的目的，并通過兩個例題的研究，讓學生從不同的角度完整地體驗導數與切線斜率的關系，并感受導數應用的廣泛性。
本節課注重以學生為主體,每一個知識、每一個發現，總設法由學生自己得出，課堂上給予學生充足的思考時間和空間，讓學生在動手操作、動筆演算等活動后，再組織討論，本教師只是在關鍵處加以引導。從學生的作業看來，效果較好。
在例題講解時，注重審題（分析關鍵的詞句）和解題反思，感覺效果不錯！
但是，作為探究課，時間如果控制不好，易講不完，我就是例2來不及分析完，于是當作課外作業，所以時間要注意調配。
還有有些學生對如何畫出過該點的切線有點困難，此時，教師給予示范。
導數的幾何意義教學設計及反思
蘆臺一中 史鈺超
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
