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視頻標簽：一元二次方程的,解的估算
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：北師大版初中數學九年級上冊《一元二次方程的解的估算》陜西省 - 西安
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一元二次方程的解的估算
一 學情分析：
學生的知識技能基礎：學生已學過一元一次方程、二元一次方程、分式方程的概念，經歷過由具體問題抽象出方程的過程，多次學習了關于方程（或方程組）的求解的過程，因此具備了學習一元二次方程的基本技能，對一元二次方程的解的概念容易理解。同時，在八年級《實數》這一章學習了無理數的估算，初步掌握了估算的方法，形成了估算的意識。
學生活動經驗基礎：在一元一次方程、二元一次方程、分式方程的學習過程中，學生已經初步感受到了方程的模型作用，并積累了一些利用方程解決實際問題的經驗。同時，無理數的估算的學習使學生具備了估算的活動經驗的基礎，但由于前面所學的方程都能很容易的解出精確解，在這節課后的連續三節課中，也將學習一元二次方程的三種不同的解精確解的方法，這三種方法和估算相比更輕松方便，從而有些學生會不重視估算的意識和方法。在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。
二 教學目標：
1經歷估計一元二次方程解的過程，增進對方程解的認識，進一步培養估算意識，發展數感。
2 滲透“逼近”思想。
三 教學重點：
1 經歷方程的解的探索過程，增進對方程解的認識。
2 用“兩邊夾逼”法估算方程的解，發展學生的估算意識和能力。
四 學時難點：
對一元二次方程的近似解的估算。
五 教學活動：
第一環節：情景引入
活動內容：1.有349名同學一起去九號宇宙，現有7輛車，每車56個座位，問夠不夠坐？
2．某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多400元，商城用80000元購進電冰箱的數量用64000元購進空調的數量相等。求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？
仔細觀察上題的答卷，發現這位同學先得到了錯誤答案：冰箱進價20000元，空調進價16000元，然后又改為正確結果2000元和1600元，如果是你，你能發現自己的錯誤嗎？如何發現的？
3 通過以上兩個實際問題，你能體會到估算有什么好處嗎？
師生活動：對于第1題，學生可這樣估算：每車50人，7輛車可坐350人，比實際349名同學人數多，所以夠坐。對于第2題，學生可發現答卷中最初算出的電冰箱進價20000元及空調進價16000元比題目中給出的電冰箱銷售價2100元及空調銷售價1750元大得多，不符合實際，所以可及時發現錯誤。第2題實際上就是估算了答案的取值范圍，若算出的答案不在這個范圍，則說明答案錯誤。 活動目的：上述兩個問題都來源于學生身邊剛剛發生的實際問題，通過提問學生用估算的方法解決了這兩個問題，第1個問題使學生體會到估算能更方便更快捷地解決實際問題，第2個問題使學生體會到估算能及時地讓我們發現計算的偏差，防止錯誤的產生，從而認識到估算是生活的必備技巧，是數學學習的必要技能，學習估算是很有必要的，從而引入今天的課題---一元二次方程的解的估算。 第二環節：探求新知
活動內容1、幼兒園活動教室矩形地面的長為8米，寬為5米，現準備在地面的正中間鋪設一塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區域的寬度都相同 ，
你能求出這個寬度嗎？
在前一節課中，我們已經設所求的寬度為x(m)，得到了方程：(82)(52)18xx （1）x可能小于0嗎？可能大于4嗎?可能大于2．5嗎?說說你的理由。 （2）你能確定x的大致范圍嗎？ （3）完成下表：
x
0.5 1 1.5 2 (82)(52)xx
（4）在02.5x范圍里，會不會存在另一個方程的解呢？ （5）若由上面的表格沒有得到方程的解，我們接下來如何做呢？
師生活動：第（1）小問學生結合實際容易得到x不可能小于0，不可能大于4，不可能大于2．5。第（2）小問學生在第一問的基礎上容易得到02.5x。此時，x的范圍已縮小到02.5x，如何在這個范圍里求出寬度呢？在此讓學生充分考慮后，學生可得到在這一范圍內取值，從而出示第（3）問，完成第（3）問中的表格，估算出方程的解。第（4）問提出后，學生觀察表格所呈現的規律，發現隨著x的增大，(82)(52)xx逐漸減小，所以在此范圍里不存在另一個方程的解。第（5）小問提出后，因為有了前幾問的層層深入，學生不難回答出，根據表格，繼續縮小x的范圍，在新的更小的范圍里繼續取值，從而一步步逼近精確值。
活動目的：通過問題設置，讓學生體會估算一元二次方程的解的過程，即確定大致范圍、列表代值計算、兩邊夾逼，找到更精確的解。本環節設計的問題層層深入，重點是引導學生逐步縮小解的范圍，感受到“兩邊夾逼”的思想是近似計算的重要思想。另外，在第（3）小問中，繼續鞏固方程解的定義，使學生能夠由表格得到方程的解；在第（4）小問中，使學生考慮問題能更加全面，以免漏解。 對于此道題，由于方程的解是整數解，學生能很快通過列表計算直接找到方程的解，這就使學生從這種求解的方法中體驗到了方便和巧妙，從而可增強學生學習的積極性，同時培養學生善于觀察分析問題、樂于探索研究的學習品質 活動內容2、如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？
上節課我們通過設未知數得到滿足條件的方程，即梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程222
1076x，把這個方程化為一般形式為01512xx2
（1） 你能估算出x的整數部分嗎？ （2） 你能繼續估算出x的十分位嗎？
師生活動：通過活動內容1，學生已經總結出估算一元二次方程的解的一般步驟，初步體會到估算的方法，所以第（1）問不再以問題串的形式一步步引導學生思維，而是通過小組合作來解決問題。通過小組活動，學生可充分討論，取長補短，先得到x的大致范圍，再列表得結果。如：梯子滑動的距離x＞0是顯而易見的，在上圖中，求得ED=6m,而EC＜10m,因此CD＜4m。所以x的取值范圍是0＜x＜4。（在估算大致范圍時，因為同學們考慮的細致程度不同，所以得到的范圍大小不同，但只要正確，都應肯定）。學生列出表格：
x 1 2 3 x2+12x-15
-2
13
30
學生由表格可以看出當x=1時，x2+12x-15<0;當x=2時，x2+12x-15>0，所以1<x<2,解的整數部分是1.并且學生通過實踐，可體會到如果只求整數部分，在取值時，只需取整數帶入求值。
對于第（2）個問題，繼續小組合作，在1<x<2范圍內繼續逼近，去找更精確的解。再由小組代表上臺講解探索過程，其他小組可補充不同方法。通過合作交流，學生會出現以下兩種較好的取值逼近的方法。
第一種如下： x 1 1.1 1.2 1.5 2 x2+12x-15
-2
-0.59
0.84
5．25
13
學生首先在初始范圍的中間取值1.5，帶入求值后發現x的值應在1到1.5之間，將范圍縮小了一半，再在1到1.5之間取1.2，帶入求值后發現x的值應在1到1.2.之間，繼續再取1.1，帶入求值后確定十分為應是1。教師在此肯定此種取值逼近的方法，這種方法能更快的縮小范圍。
第二種如下： x 1 1.1 1.2 2 x2+12x-15
-2
-0.59
0.84
13
學生觀察發現，當x取1時，x2+12x-15=-2；當x取2時，x2+12x-15=13，-2與13相比，-2離方程右邊的0更近，所以學生此時從1.1，1.2開始取值，從而很快地找到的x的更小范圍，進而確定十分位應是1。教師在此肯定此種做法，鼓勵大家以后在代值時，靈活運用兩種方法取值。
活動目的：通過小組合作解決第（1）問且上臺講解第（2）問，使學生更好地掌握一元二次方程的解的估算的方法、步驟，再次體會“兩邊夾逼”的思想。另外，此題與活動內容1中的題雖然都是估算一元二次方程的解，但有不同，活動內容1中的實際問題學生可很快求出準確解，但此題的解是一個無理數，學生自然無法求出其精確解，對于這個難點的設置，就是為了讓學生通過思考、實踐，一步步縮小范圍，找到需要的精確度的值，更好地體會逼近的思想。同時，此題需要學生自己給x取值，通過實踐及交流，學生可以體會到如何取值能更快地找到更小的解的范圍。在計算過程中提倡學生使用計算器，鼓勵學生合作交流，以取得更好的教學效果。
第三環節：小試牛刀，練習與提高
活動內容：有一根長為4.2米的木料，做成如圖所示的矩形窗框,當窗框的一邊AB的長為多少米時，這個窗戶的面積約為0.9米2？（不考慮木料加工時的損耗和木框所占的面積） 師生活動：此處留給學生充分的時間與空間進行獨立練習， 并由學生代表上臺投影講解，在講解時教師通過進一步提問，讓所有同學明晰每一步的重點以及需注意的問題。
活動目的：為了檢測學生對本課教學目標的達到的情況，進一步加強知識的應用訓練，我給出了上面的這個題目，由學生獨立完成。此題仍是實際問題，讓學生進一步感受估算對實際問題的重要性，激發學生產生求解的欲望。另外通過獨立完成進一步發展學生的估算意識和能力。此題與前兩道題不同之處是，此題有兩
A B
C
D
個解，進一步提醒學生全面考慮問題，不要漏解。 第四環節：課堂小結
活動內容：通過本堂課你有哪些收獲？談談你的感想。
師生活動：師生互相交流總結探索估算一元二次方程的解基本思路和關鍵，以及在求解（或近似解）時應注意的問題。
活動目的：通過讓學生分享收獲，培養學生回顧思考、歸納概括的能力，也通過這一環節使學生可以互相學習，同時也有利于教師發現本節課的教學目標完成的程度；通過教師的歸納提升，使學生對本節課的知識、方法等有一個整體的認識. 第五節：布置作業
1 習題2.2第1題、第2題、第3題.
2 課本p34-35讀一讀（用二分法確定一元二次方程的近似解）
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