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視頻標簽：根與系數(shù)的關(guān)系
所屬欄目：初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：北師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》寧夏省級優(yōu)課
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第二章 一元二次方程
5．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
一、學(xué)生知識狀況分析
“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”是《一元二次方程》中繼“一元二次方程的解法”之后的一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生已學(xué)習(xí)的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本節(jié)課的基礎(chǔ)。基于初中三年級學(xué)生對事物的認識多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，所以在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們在現(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
二、教學(xué)任務(wù)分析
本節(jié)是從相關(guān)知識的復(fù)習(xí)入手，目的是在鞏固舊知的基礎(chǔ)上為后續(xù)學(xué)習(xí)打鋪墊，再通過計算、比較、分析、歸納發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的感性認識，合作意識，讓學(xué)生體會由特殊到一般的認知過程。根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達定理（韋達是法國數(shù)學(xué)家），韋達定理是初中代數(shù)中的一個重要定理。這是因為通過韋達定理的學(xué)習(xí)，把一元二次方程的研究推向了高級階段，運用韋達定理可以進一步研究數(shù)學(xué)中的許多問題，如二次三項式的因式分解，解二元二次方程組；韋達定理對后面函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也是作用非凡。同時通過韋達定理的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、探究精神和綜合分析數(shù)學(xué)問題的能力，也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標和核心素養(yǎng)為：
教學(xué)目標：1、理解掌握一元二次方程ax2
+bx+c=0 (a≠0)的兩根x1，x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。
2、能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數(shù)。
2
3、會求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。 核心素養(yǎng)：
1、在推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生“觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。
2、在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生一題多解，勇于嘗試，大膽挑戰(zhàn)的能力。
三、教學(xué)過程分析
本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入；第三環(huán)節(jié)：探究新知；第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用；第五環(huán)節(jié)：能力提升；第六環(huán)節(jié)：感悟與收獲；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。
第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧
內(nèi)容：
1、一元二次方程的一般形式？ ax2
+bx+c=0 (a≠0)（板書）
2、一元二次方程有實數(shù)根的條件是什么？ (△=b2
-4ac≥0)
3、一元二次方程的求根公式是什么？
目的：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，回憶公式法解一元二次方程的相關(guān)知識，
有利于學(xué)生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡(luò)，為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。 效果：第一問題學(xué)生先動筆寫在練習(xí)本上，有個別同學(xué)少了條件“a≠0”。
后面的問題由于較簡單，學(xué)生很快回答出來，提高了學(xué)生自信心。
第二環(huán)節(jié)：探究新知
3
內(nèi)容： 計算填表
方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
x2- 5x+6=0 x2+6x+8=0
9x2
-6x+1=0
問題：
1、你找到快速求出一元二次方程的兩根和與兩根積的方法了嗎？ 2、剛才我們列舉了部分方程發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系，那么是不是所有的一元二次方程根與系數(shù)都有這樣的關(guān)系呢？
3、請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進一步猜想：方程ax2
+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2
與a、b、c之間的關(guān)系：____________。
4.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。 （分小組討論以上的問題，并作出推理證明。）
例1、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和與兩根之積：
（1）x2
＋7x+6＝0； （2）x2
+3x -2=0.
目的：本環(huán)節(jié)采用“實踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，使學(xué)生既動手、動腦，又動口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。
效果：在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快口完成了表格，為解決后面的問題做好了準備。問題串讓學(xué)生合作解決，在探究的過程中體現(xiàn)了特殊到一般，從實踐到理論的認知規(guī)律。
4
第三環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用
嘗試題1：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積 （方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）
（1）x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________
（2）3x2+2x-5=0 x1+x2= ________ x1x2=
________
（學(xué)生迅速演算或口算）
第四環(huán)節(jié)：能力提升：已知方程5x2+kx-6=0的一個根為1，求它的另一
個根及k的值。
目的：“能力提高”是引導(dǎo)學(xué)生及時鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，培養(yǎng)學(xué)生思維嚴謹性和批判性；起過渡作用設(shè)計。
“能力提高” 展示學(xué)生的不同作法，通過比較，學(xué)生可以體會到用根與系數(shù)的關(guān)系來解決此類問題比較簡便。
效果：使學(xué)生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，增強擇優(yōu)能力。力求讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中進行學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。
第五環(huán)節(jié)：勞動能手
1、植樹節(jié)學(xué)校準備在校園栽樹，已知三角形的兩邊長AB，AC是方程x2-12x+k==0的兩個根，（1）現(xiàn)在BC兩棵樹之間的距離能等于15嗎？
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(2)若BC的長等于8，求以這三棵樹為頂點的三角形的周長。
目的：把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與三角形三邊關(guān)系相組合，借此鍛煉學(xué)生綜合分析、推理、歸納的能力。
效果：留給學(xué)生充分的獨立思考和小組合作交流的時間與空間，使學(xué)生在資源共享的同時，充分體會到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的廣泛應(yīng)用和便捷， 第六環(huán)節(jié) 感悟與收獲
內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c有哪些作用？ ①二次項系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程； ②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數(shù)； ③當a≠0時，△=b2-4ac可判定根的情況
④當a≠0，b2-4ac≥0時，x1+x2= ，x1x2= ⑤當a≠0，c=0時，方程必有一根為0。
目的：鼓勵學(xué)生回顧本節(jié)課知識方面以及與之相聯(lián)系的知識有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學(xué)生個人已有的知識體系中。
效果：學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受到公式推導(dǎo)的全過程，發(fā)展了邏輯思維能力，提高了推理技能。 第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè)
必做題：知識技能51頁1、3
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選做題：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求作一個一元二次方程，使它的兩根為2和3.
目的：已知方程的兩根求作一個一元二次方程，是一元二次方程根與系
數(shù)的關(guān)系的逆用，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度。同時要注意答案的多樣性及其中的規(guī)律.
學(xué)法指導(dǎo)
本節(jié)課充分以學(xué)生為主體進行教學(xué)，采用“實踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程教學(xué)。讓學(xué)生多實踐，從實踐中反思過程，經(jīng)歷一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)生發(fā)展過程，并從中體驗成功的樂趣。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，師生共同解決問題。指導(dǎo)學(xué)生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑，并將應(yīng)用問題和規(guī)律歸類。
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