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視頻標簽：勾股定理的應用
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級下冊第17章《勾股定理的應用 勾股定理習題課》四川省 - 綿陽
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勾股定理習題課
教材分析：
勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它揭示了三角形三邊之間的數量關系，將形與數密切聯系起來，理論上占有重要的地位，它有著悠久的歷史，蘊含著豐富的文化價值，在數學發展中起過重要的作用，在現實生活中也有著廣泛的應用，是幾何中的重要定理，也是學生后續學習的重要基礎。 本課時教學是復習課，在學生掌握勾股定理及其逆定理的基礎上，著重體現學生經歷數學知識的應用過程，強化應用意識，構建數學模型，感悟數學思想。 學情分析：
學生對基礎知識已有良好的掌握，具備一定的動手能力，分析歸納能力，本節課以學生自主探索為主，同時注重小組內，組間的合作交流，培養多方面的能力。設計不同層次的題目，在循序漸進的學習進程中，讓學生通過動手，動腦，動口獲得成功的體驗，增強學習數學的自信心，提高學習興趣。 教學目標：
1、進一步理解勾股定理和勾股定理的逆定理，并應用解決問題；
2、在題組訓練的過程中，引導學生感受勾股定理的作用和解題基本步驟，培養學生的歸納總結能力，體會數形結合思想，方程思想、分類討論思想和轉化思想在解決問題中的作用；
3、積極參與數學活動，在活動中學會思考，討論，交流與合作，養成建立自身知識聯系的思維習慣。
教學重點：用勾股定理和勾股定理的逆定理解決問題，理解運用勾股定理解題的基本過程； 教學難點：在復雜圖形中確定相應的直角三角形，根據勾股定理建立方程。
教學過程： 一、前置作業
（一）你學過有關于直角三角形的哪些知識，請列舉出來： （二）完成練習
1、如圖，每個小正方形的邊長為1，格點三角形ABC中，AC邊上的高是 ；
2、如圖,矩形ABCO的邊OA和OC分別在x軸和y軸上，沿AE折疊,使點O恰好落在BC邊上D處,已知C（0，8),E（0，5),則B點的坐標為 ；
3、在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC＝60°，BC=6．若點P在直線AC上（不與點A，C重
合），且∠ABP=30°，則CP的長為 。
[設計意圖：學生課前完成，積累有關直角三角形的知識，復習運用勾股定理及其逆定理，為本節及后續學習作準備。] 二、交流前置作業 1、完善知識積累
A B
C
A B
C
A B
C
D ABCD 2、訂正答案，解決學生出現的問題
師生活動：PPT呈現直角三角形的相關知識點，學生完善；抽生說練習題答案，了解正確率，對出錯較多的題目作簡要分析，并總結錯因及經驗。 三、典例分析
例１、在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點。若E為邊OA上的一個動點，求△CDE的周長的最小值。
師生活動：學生獨立思考，抽生敘述確定動點Ｅ的位置的步驟及依據，說明求周長的方法；教師根據學生的回答動畫展示作圖過程、示范解題過程。師生共同總結主要方法。
[設計意圖：在平面直角坐標系中常用勾股定理求線段長，折線和最小問題轉化為直線問題是熱點題目，而在后面的學習中又可與函數結合起來，體會數學中轉化思想和數形結合思想。]
例2、大家想知道我們學校勵志樓有多高嗎？我們可以采用以下方
式測量：如圖，先在點C測得教學樓AB的頂點A的仰角（視線AC與水平面CB的夾角）為30°，然后向教學樓前進到達點D，同時測得點A的仰角為45°，記錄好CD的距離，即可求出樓層高度。假設CD長12米，你能求出勵志樓的高度嗎？
師生活動：學生獨立思考后，抽生上臺做小老師，在圖形上標注并介紹方法（考慮學生多種方法解題），生寫出解題過程。
[設計意圖：數學來源于生活又服務于生活，通過介紹測量教學樓高度的方法，創設應用數學的生活情境，激發學習興趣，感受勾股定理在實際生活的應用。]
例3、如圖：在△ABC中， AB=AC=10，BC=16，點D在直線BC上，當△ADC為直角三角形時，求BD的長。
師生活動：學生獨立思考——小組交流——全班交流——總結歸納。 教師重點關注生能否順利分類討論，能否作輔助線構建直角三角形，巧用方程思想來解決問題。
[設計意圖：在等腰三角形中求線段長時，常作底邊上的高構造直角三角形，利用公共邊作為等量用勾股定理建立方程。提高學生 分析問題、解決問題的能力，建立基本數學模型，用構造的觀念靈活 解決問題，，感受數學中的分類討論思想及方程思想。]
變式：例４、如圖：在△ABC中， AB=AC，點D是CB上的任意一上點，
求證：AB2－AD2
＝BD·CD
師生活動：師生共同探索，邊分析邊板書；根據所證等式特點發現線段平方與勾股定理的關系，聯系上一道題目的方法從而發現解題思路。
[設計意圖：勾股定理揭示了三角形三邊的平方關系， 對于證明線段平方的和、差關系類題型，可設法構造出直角三角形，利用勾股定理
和等式的性質、乘法公式等方法進行等式變形來證明。通過這道題目拓寬數學思維，培養學生觀察、猜想、驗證的能力。] 四、收獲與分享
跟組員交流你的收獲 你還有什么疑惑 和大家分享分享
師生活動：學生以小組為單位對本節課的學習內容進行總結、概括，交流收獲與疑惑；抽生在全班分享；師小結。
[設計意圖：以小組活動的方式對學習過程進行總結，增加學生交流、發言的機會，互相學習，相互補充、共同提高；在總結的過程中幫助學生清理脈絡、明確重點、加深記憶、活躍思維，理解數學思想，掌握好的學習方法。] 五、練習
（一）必做題目
1、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，且∠BAD=90。，則四邊形ABCD的面積為 。
2、a,b.c為△ABC三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，則△ABC是 三角形。 3、如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是
AC邊上一點，AE=2，EM+CM的最小值是（ ）
A.33 B.73 C.72 D.721
4、如圖，將矩形紙片ABCD折疊，B、C兩點恰好重合落在AD邊上點P處，已知 ∠1＝67.5°，∠2＝75°，MN=13，求BC的長． （二）選做題目
1、如圖：在△ABC中， AB=AC，∠BAC＝90°，點D在BC上，求證：BD2+CD2＝2AD2
。
2、在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點。
若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，求四邊形CDEF周長的最小值及點E、F的坐標。 3、某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造，測得兩直角邊長為6m,8m.現要將其擴建成等腰三角形,且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形,求擴建后的等腰三角形花圃的周長。
[設計意圖：1、鞏固本節所學解題方法及數學思想，分“必做”和“選做”，既滿足不同層次學生的發展，又幫助學生構建數學模型和思維體系，培養思維的靈活性和創新性。]
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