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視頻標簽：勾股定理的應用,最短距離問題
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：數學八年級下北師大新課標第一章第二節《勾股定理的應用-最短距離問題》
教學設計、課堂實錄及教案：數學八年級下北師大新課標第一章第二節《勾股定理的
應用-最短距離問題》教學設計
初中數學北師大版八年級上冊1.2勾股定理的
應用最短距離問題
數學八年級下北師大新課標第一章第二節《勾股定理的
應用-最短距離問題》教學設計
內容和內容解析：
本節是義務教育課程標準北師大版教科書八年級（上）第一章《勾股定理》第三節．具體內容是運用勾股定理解決簡單的立體圖形上的最短距離問題，進一步發展應用意識。本節課是七年級圖形的展開與折疊知識的延續，需要把立體圖形展開成平面圖形后，利用兩點之間線段最短在平面上找到最短距離，并運用勾股定理求出最短距離。同時本節課從圓柱（側面）中來又回到圓柱（內部）中去，最后也為九年級要學習的視圖與投影埋下伏筆。 目標和目標解析：
本節課的重點是利用勾股定理解決立體圖形上的最短距離問題，難點是如何尋找和計算最短距離。設計“螞蟻怎樣走最近？”這個有趣的實際情景，讓學生了解實際問題可以轉化成數學問題，讓學生體驗數學源于生活，又應用于生活；在經歷尋找和計算“最短距離”的過程中，讓學生理解，為什么要把立體圖形展開成平面圖形，使學生逐漸形成思維上的轉化思想，進一步體會數學的應用價值；學生要探究并掌握立體圖形轉化成平面圖形后，最短距離的尋找方法和利用勾股定理的計算方法，這也使學生積累利用數學知識解決日常生活中實際問題的經驗和方法，逐步形成積極參與數學活動的意識。
教學問題診斷分析：
學情分析：學生在七年級已學習過圖形的展開與折疊，并了解兩點
之間線段最短，有一定基礎。本節課要求學生在實際問題中自己尋找并計算最短距離，而八年級學生審題能力，審題方法，數學思維習慣已逐漸養成，但解決實際問題的能力仍需培養；
內容預設：一，本節課學生可能遇到的第一個問題，在尋找“最短距離”的過程中，在展開后的平面圖形上不能準確找到螞蟻或食物所在的“點”，而找不準“關鍵點”的原因：缺乏空間想象能力；懶于動手操作實踐；沒能完全感受到立體圖形展成平面圖形帶來的好處；習慣養成問題（審題意識，審題方法）。二，極個別學生在計算最短距離時出問題，究其原因：缺乏利用數學知識解決實際問題的能力；對勾股定理的掌握不夠扎實；缺乏由點（螞蟻和食物）到線（最短距離）再到面（直角三角形）的意識。三，在探究長方體表面的最短距離問題時，展開方式“找不全”，容易遺漏。究其原因：沒有真正理解展開的原因，展開后的好處；考慮問題不夠全面，急于求成； 教學支持條件分析：
根據教學問題的診斷，將螞蟻的移動路線；食物所在的“點”；由點到線生成的最短距離；以及最短距離所在的面的生成都利用多媒體演示，直觀，生動，并將練習題用多媒體呈現，提高課堂效率
教學過程設計：
教學環節
教師活動 學生活動
設計意圖
激情導入 激情導入
（螞蟻在圓柱體上爬行）
1.引導學生復習圓柱體的展開圖
2.演示動畫引出3.課題板書：勾股
學生回顧圓柱體的展開圖
1. 幫助學生溫故知新；2.通過視覺激活學生思維，生成問
分析解決問題情境一，尋找并計算最短距離
1. 黑板畫圓柱體及其側面展開圖； 2. 提問：在展開圖上螞蟻和食物這兩個“關鍵點”應標在哪里？（教師可借助多媒體或教具引導學生尋找關鍵點）；最短距離怎么體現？怎樣計算最短距離？ 3. 多媒體演示，（給出圓柱體的高與底面半徑）
思考并作答，在計算最短距離時，一名學生分析思
路，指明圓柱體上的數量和展開圖上的數量之間一一對應關系，以及如何利用勾股定理進行計算
1.教師黑板畫圖，為學生在黑板上板書變式訓練一做準備；2.通過先尋找“關鍵點”，再找到“最短
距離”，最終在直角三角形內利用勾股計算最短距離這一過程，使學生再次領悟任何一個幾何圖形都是由基本元素“點”，“線”，“面”構成，回歸幾何的本真！
變式訓練一 多媒體演示（食物所在點B向下移動）
學生觀察思考，一名學生黑板板書 該訓練是問題情境
一的變式，體現數學的多樣性和靈活性，
直接檢驗學生是否已經掌握剛才所學知識
變式訓練二 多媒體演示（圓柱體上從A到B繞行一圈，A點和B點在圓柱同側）
1.學生觀察思考，一名學生分析思路2.總結立體圖形中計算最短距離三步曲：
“展”（立體展平面）“找”（找最短距離“算”（算最短距離）
1.該訓練是問題情境
一的再次變式，引導學生體會正確尋找“關鍵點”這個最基本幾何元素的重要性，進一步發展學生空間想象力2.培養
學生歸納總結的能力。
問題情境2：探究長方體表面的最短距離問題
1.多媒體演示，教師在黑板畫圖
2.提問：長方體有幾個面組成？長方體怎么展開？至少需要展開幾個面？ 3.教師在黑板上標出六個面 4.教師用教具演示展開過程并畫出第一種展開方
式，標出關鍵點和1.審題
2.學生回答第一種展開方式 3.小組合
作，交流討論其它展開方式，并上黑板展示交流結果
4.在教師引
導下，學生對六種展開1.本環節在圓柱體的基礎上提升難度，變為長方體，引導學生由淺入深，由圓柱體側面展開一個面上的最短距離，到長方
體展開兩個面才能
找到最短距離；2.教師利用多媒體，動態展示第一個展開圖，起到示范作用，使學生上黑板有的放矢；3.引導學生理解有六
種展開方式的原因
（源于長，寬，高的
最短距離 5.為什么長方體有六種展開方式？（長，寬，高的組合），為什么排除后只有三種？（重復） 6.多媒體展示三種展開方式的計算結果
方式分析排除，最終歸納出三種方式
5.計算比較
得出最短距離
組合）4.通過計算比較得出最短距離。本環節很好的滲透了分類討論思想。
變式練習
1. 多媒體演示 2. 提問：如何最快找出長方體
上最短距離？ 1.審題，思
考，作答（一名學生黑板板書）2.在
教師引導下發現最快找到最短距離的方式（當組合成的直角邊最小時，所求距離最短）
本環節是對問題情
境二的鞏固和提高，同時引導學生發現
解決問題的最佳方
案。 拓展延伸 1.多媒體演示（圓柱體內的最短距離問題） 2.提問：該圓柱需
1.審題，思考，回答（該圓柱不需要展開）2.小
本題是本節課的拓
展延伸，由前面兩個情境中立體圖形的“表面”最短距離問
要展開嗎？ 3.教師引導
組討論3.學生分析思路4.引導學生關注并總結立體圖形
“表面”的最短距離問題才需要展開，而“內部”的問題不需要展開
題轉變成為立體圖形“內部”的最短距離問題，這也為九年級的視圖學習埋下伏筆。同時，該環節
也使整節課從圓柱中來又回圓柱中去，首尾呼應，畫上了圓滿的句號。
目標檢測設計：
1.如圖,一圓柱高8cm,底面半徑為
6
cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃
食,要爬行的最短路程是____________cm.
設計目的：本題檢測學生對基礎圖形的掌握
2.如圖：是一圓柱玻璃杯，從內部測得底面半徑為6cm,高為16cm，現有一根長為22cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長度最少為 cm
設計目的：本題針對本節課的拓展延伸，檢驗學生是否掌握立體圖形 內部的最短距離問題，也為以后要學習的視圖打基礎。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
