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視頻標簽：一次函數與方程,不等式
所屬欄目：初中數學優質課視頻
視頻課題：初中數學人教版八年級下冊第十九章19.2.3一次函數與方程、不等式-欽州
教學設計、課堂實錄及教案：初中數學人教版八年級下冊第十九章19.2.3一次函數與方程、不等式-欽州
一次函數與方程、不等式教學設計
一、內容和內容解析 1. 內容
一次函數與一元一次方程、一元一次不等式的關系. 2. 內容解析
函數、方程、不等式是初中數學的核心內容，都是解決現實問題的重要數學模型，它們之間聯系緊密，其中函數是聯系方程、不等式的紐帶. 用函數的觀點來看一元一次方程，則可以把解一元一次方程看成為已知一次函數的函數值求對應的自變量的值；用函數觀點來看一元一次不等式，則解一元一次不等式就是求一次函數函數值在某個范圍內的自變量的取值范圍. 因此通過函數圖像可以直觀地找到方程的解和不等式的解集. 研究函數、方程、不等式之間的聯系可以深化相關知識的理解，優化知識結構.
因此，本節課的重點是：一次函數與一元一次方程、一元一次不等式的關系.
二、目標和目標解析 1. 目標
（1）認識一次函數與一元一次方程的聯系，會用函數觀點解釋方程及其解的意義；
（2）認識一次函數與一元一次不等式的聯系．會用函數觀點解釋不等式及其解集的意義；
（3）經歷用函數圖象表示方程的解、不等式解集的過程，進一步體會“以形表示數，以數解釋形”的數形結合思想．
2. 目標解析
達成目標（1）的標志：學生知道解一元一次方程可以看成是已知一次函數的函數值求對應的自變量的值，并能在函數圖像上找到一元一次方程的解.
達成目標（2）的標志：學生知道解一元一次不等式就是求一次函數函數值在某個范圍內的自變量的取值范圍，并能在函數圖像上找到一元一次不等式的解集.
達成目標（3）的標志：理解函數圖像上點的坐標與方程的解、不等式的解集的關系.
三、教學問題診斷分析
學生已經學習了一元一次方程、一元一次不等式、一次函數的相關內容，知道它們都是刻畫現實問題中數量關系的重要模型，并掌握了一元一次方程、一元一次不等式的解法，能夠根據函數解析式畫出函數圖像. 但是對于這三個知識點，學生是獨立掌握的，不知道它們之間存在哪些聯系，如果用函數的觀點看一元一次方程和不等式又會得到哪些新的結論. 這些問題都是學生沒有接觸過的，所以比較陌生而且很抽象，學生理解起來有一定的難度. 要理解好這三個內容之間的聯系，函數圖像上點的意義起到很關鍵的作用. 函數圖像上點的縱坐標表示函數值，橫坐標表示相應自變量的值，因此解一元一次方程實際上是已知一次函數圖像上點的縱坐標求與其對應的橫坐標；求不等式的解集看作是圖像上縱坐標的值在一定范圍內的點對應的橫坐標的值的集合.
所以，本節課的難點是：把一次函數圖像上點的坐標與方程的解、不等式的解集建立聯系.
問題2: 當s=180時，t等于多少？ 師生活動：學生回答，教師板書.
設計意圖：通過解答這個問題，讓學生知道求當s=180時，t等于多少，就是解方程：90t=180. 進而初步感受一次函數與方程的聯系，為學習新知識做好鋪墊.
3. 探索新知一
探究一次函數與一元一次方程的關系
問題3 觀察下面三個方程：（1）2x+1=3 (2) 2x+1=0 (3) 2x+1=-1并思考： （1）這三個方程在結構上有哪些共同點和不同點？ 師生活動：學生通過觀察方程回答左邊相同，右邊數值不同. （2）它們與哪個一次函數有聯系？ 師生活動：學生集體回答y=2x+1
（3）當y=2x+1的函數值等于3時, x為何值？
師生活動：學生在練習本上解答，一生上黑板板演過程. 教師點評，并和學生一起歸納解2x+1=3相當于求y等于3時，x的值.
教師追問：類比解2x+1=3相當于求y等于3時，x的值，說出解2x+1=0相當于 ？解2x+1=-1相當于 ？
師生活動：學生回答類比解2x+1=3相當于求y等于3時，x的值，解2x+1=0相當于 求y等于0時，x的值 ；解2x+1=-1相當于 求y等于-1時，x的值 .
設計意圖：通過具體的例子自然過渡到一般情況，幫助學生理解一次函數與一元一次方程的關系，降低學習的難度.
問題4 把結論推廣到一般的情況：解一元一次方程 ax + b = 0(a，b為常數，a≠0)可以轉化為求函數中的什么問題？
師生活動：學生分組討論，教師引導得出結論解一元一次方程 ax + b = 0(a，b為常數，a≠0)可以轉化求一次函數y = ax + b(a≠0)的函數值為0時，自變量x的值.
設計意圖：通過分組討論，讓學生自然接受結論，加深知識的理解. 問題5 畫出函數y=2x+1的圖象，你能在圖中找到2x+1=3的解嗎？為什么？ 師生活動：學生畫出函數圖像，并思考如何在函數圖像上找到方程2x+1=3的解. 分組討論之后，讓一名學生上黑板講解，教師做最后點評，并一起總結在函數圖像上找方程的解的方法：利用圖象法解方程2x+1=m就是在直線y=2x+1上找到縱坐標為m的點，觀察其橫坐標的值.
4. 課堂練習
（1）根據圖象直接說出一元一次方程 x+3 = 0 的解.
（2）設m，n為常數且m≠0，直線y=mx+n（如圖所示），則方程mx+n=- 0.5的解是 .
設計意圖：在學習了利用圖象法找一元一次方程的解后及時安排相應的練習，讓學生更好地理解和掌握所學的內容.
5. 總結歸納
問題6 綜上所學，請總結一次函數與一元一次方程的關系？
師生活動：學生分組討論，整理所學的內容，師生引導后與學生一起總結它們之間的關系：從“數”上看：解一元一次方程 ax + b = 0(a，b為常數，a≠0)
第1題
第2題
相當于當函數y =ax+b的函數值y為0時，求自變量x的值. 從“形”上看：解一元一次方程ax+b=0(a，b為常數，a≠0)可轉化為確定直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標.
設計意圖：通過討論，學會歸納知識；通過歸納知識，讓學生理清知識間的聯系，更好地消化新知識.
6. 探索新知二
類比思考：一次函數與一元一次不等式的關系
問題7 觀察下面三個不等式（1）2x+1＞3（2）2x+1＜0（3）2x+1＜-1并回答下列問題：
（1）與這些不等式對應的一次函數是 ； （2）當y=2x+1的函數值大于3時,求x的取值范圍？
（3）解不等式2x+1＞3，就是當一次函數的函數值 時，求自變量x的取值范圍；解不等式2x+1＜0，就是當一次函數的函數值 時，求自變量x的取值范圍；解不等式2x+1＜-1，就是當一次函數的函數值 時，求自變量x的取值范圍；
師生活動：學生回答第一個問題后，獨立完成第二、第三個問題，然后分小組討論；教師講評.
設計意圖：類比一次函數與一元一次方程的關系，學生很容易找到答案，此環節的設計一是讓學生在具體例子上感受一次函數與一元一次不等式的關系；二是讓學生學會用類比的方法用已知的知識探索未知的東西.
問題8 進一步總結，解一元一次不等式2x+ 1 <m（2x + 1 >m）相當于在一次函數 的函數 時，求 的取值范圍.
師生活動：學生總結，教師點評.
設計意圖：結論一般化，感受具體到一般的過程.
問題9 綜上所學，請總結一次函數與一元一次不等式的關系.
師生活動：學生分組討論，整理所學的內容，師生引導一起總結出它們的關系：解一元一次不等式ax + b >0或ax + b <0（a ≠0 ）相當于求一次函數y = ax + b（a ≠0 ）的函數值大于0或小于0時，自變量x的取值范圍.
問題10 分組討論如何利用一次函數的圖象找到對應的一元一次不等式的解集？
師生活動：學生分組畫出一次函數的圖象并類比在圖象上找一元一次方程解的方法找一元一次不等式的解集，教師適當指導.
設計意圖：讓學生學會合作學習、掌握類比的學習方法，通過自己思考的過程加深對知識的理解.
師生活動：小組合作后師生共同總結：利用一次函數圖象找一元一次不等式ax + b >0或ax + b<0（a、b 是常數，a ≠0 ）的解集就是確定直線y=ax+b在x軸上方（或下方）的部分的點的橫坐標的值的范圍.
7. 鞏固訓練
（1）直線y=2x+b與x軸的交點坐標是（2，0）， 則關于x的方程2x+b=0的解是 ；
（2）如圖，一次函數 y=kx+b的圖象與y軸交 于（0,1），當y>1時，x的取值范圍是 ；
（3）如圖，一次函數 y=kx+b的圖象經過點A， 關于x的不等式kx+b<3的解集是 ；
變式一：如圖，一次函數 y=kx+b的圖象經過點A，關于x的不等式 kx+b≥3的解集是 ；
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