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視頻標簽：解決問題的策略,轉化
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：蘇教版小學數學五年級下冊解決問題的策略——轉化（2）江蘇省 - 宿遷
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解決問題的策略——轉化（2）
【教學過程】 一、直接導入
這節課我們進一步學習解決問題的策略——轉化。 二、新授
出示例2：計算 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 。
師：上節課結束后，老師給大家留了一道題。觀察一下，你有什么發現？ 4個分數連加，每個加數的分子都是1，分母是有規律的，后面一個分數的分母是前面一個分數分母的2倍。
師：課前我把同學們的作業收集起來，進行了簡單的整理。我發現，同學們用轉化的策略解決這個問題時，想到了好幾個角度。有些同學還想到了2種方法。
1.呈現學生作業：通分
幾乎每個同學都想到了通分。和這位同學的解答差不多。 師：這樣解答，成功實現轉化解決問題了嗎？
生：我覺得成功了，通分是把異分母分數轉化成同分母分數，而同分母分數加法是我們已經學過的知識。
2. 呈現學生作業：化小數
還有部分同學是這樣解答的，這又是怎樣實現轉化的？
生：是把異分母分數加法轉化成我們已經能夠解決的小數加法。）
3.再看這幾位同學的方法。將1/2拆成1-1/2,1/2=1/2-1/4......又是怎樣轉化的？
4.最為特別的是這種方法：畫圖。 你們能看懂他畫的圖的意思嗎？
生：先畫一個正方形，看作單位1，1/2 就是這個圖形的一半，1/4 是一半的一半，以此類推，算式 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 就表示這涂色部分的總和。從圖上可以發現，這個空白部分是 1/16 ，涂色部分就是1- 1/16 ，算式就可以轉化成1- 1/16 = 15/16 。
師：他把復雜的算式轉化成了簡單的1- 1/16 ， 能看懂其中的奧秘嗎？ 生：整個正方形是單位“1”，空白部分是 1/16 ，求涂色部分就要用1- 1 /16 。
師：我還收集到幾幅作品，觀察一下，你有什么想說的嗎？（實物投影如下）
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生：就這道題來看，正方形圖比線段圖更形象一點，直觀一點。 生：雖然正方形圖和圓形圖都比較形象，但正方形圖畫起來更方便。 師：大家說得很好，咱們平時畫圖也要不斷優化自己的方法。
師：剛才，在解決這個問題的時候，同學們想到了通分、畫圖來進行轉化，你感覺哪一個對你的啟發是最大的？
3. 如果按照算式中加數的特點，繼續加上一個數，（課件演示添加1/32）， 你能用巧妙的方法算出結果嗎？拿出學習單，完成第1題。
和同桌互相指一指、說一說，你圖中的“1”在哪兒，小空白是多少。 3. 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128
現在你能快速報出這道長算式的結果嗎？這次你們把圖畫在了哪里？你找到小空白了嗎？
師：在數里能看到對應的形，在形中能找到對應的數，這種方法叫數形結合。 4. 再來一道更復雜的，敢不敢挑戰？ 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+......
師：省略號是什么意思？一直加下去，小空白就無限地接近0，算式的結果就無限的接近1。
師：看，從數到形的轉化，就這樣神奇地將復雜變得簡單。（板書）數學家華羅庚爺爺也有切身體會，他還專門寫了這樣一首詩與后人共勉。（屏幕呈現）
生齊讀：數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬 事休。
三、變式。
1. 師：讓我們繼續感受轉化的魅力。
出示 1/3 +1/6+1/12+1/24+1/48，能快速知道它的結果嗎？別忘了我們剛學的一招。拿出學習單，先畫一畫，再算一算，完成學習單第2題。
師：完成的同桌互相指一指，說一說，空白是多少，原來的算式可以怎樣轉化？
師：來看電腦演示，看，正方形的 1/3來了，接著1/3 的一半1/6來了，然后1/12、 1/24、1/48都來了，這一次剩下的是1/48 ？還有什么？
2.比較這兩道題，共同的策略都是用單位“1”減小空白，只是小空白不相同。這里分數的和繼續畫下去會越來越接近1，這里呢？越來越接近2/3，同樣的規律，如果是1/4開頭的分數，會越來越接近2/4，1/5開頭的分數呢？等等。
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看來，轉化的關鍵并不是記憶某一步計算方法，而是要借助圖形直觀地實現從復雜連加計算到簡單減法計算的轉化。
四、綜合練習
1. “練一練”第2題。 這種方法你真的學會了嗎？ 指名讀題。
師：要求鉛筆的支數，就是把每層的支數合起來。每層的支數分別是... 6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＋15 生1：等差數列求和。聽懂他的想法了嗎？
生2：聯系梯形的面積計算公式。=（6+15）×10÷2
其實這是計算方法與梯形的面積計算公式相似，不是梯形面積公式的運用。 我們來看，如果有兩個完全相同的鉛筆架，把最底層的鉛筆與最上層的鉛筆合在一起為一組，那么每層就一樣多了，乘上層數其實就是2個鉛筆架的鉛筆支數，所以這里還要除以2。這個思考過程跟梯形的面積計算是不是很相似呢？
課件出示：2個完全一樣的梯形鉛筆架拼成一個平行四邊形鉛筆架...... 師：現在你能把圖和算式結合起來想一想，為什么可以這樣轉化嗎？和同桌交流一下。
為了方便，我們可以參照梯形的面積公式來記憶求幾個連續自然數和的方法。結合上面的計算想一想，下面10個連續自然數的和，怎樣計算比較簡便？
將數和形結合起來思考問題能夠幫助我們快速解題。
提問：幾個連續自然數相加，轉化成怎樣的式子計算比較簡便？ 小結：幾個連續自然數相加，可以想象成一個梯形，聯系梯形面積的計算公式，進行轉化。看來，借助圖形能很快地幫我們找到轉化的方法。
老師這里還有一組數，你能想到更簡便的方法嗎？利用之前的學習經驗，這9個連續自然數的平均數就是中間數。
比較前一題，為什么這題不能直接用平均數乘自然數個數。
看來轉化的方法是多樣的，遇到問題時，要先觀察算式的特點，靈活運用轉化策略。
2. 潤數于形，尋常化神奇
師：同學們，關于連續自然數相加的規律，很早就有人研究了。古希臘數學家畢達哥拉斯喜歡把數描繪成沙灘上的小石子，我們來看。（下圖）
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師：你能算出第 11 個三角形數中小石子的個數嗎？ 生：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11。
師：如果我把第2層、第4層、第6層……的小石子去掉，這個算式有什么特點？（從1開始的連續奇數相加）
生：1+3+5+7+9+11。
師：想一想，還能不能用剛才的方法計算？ 學生借助圖形，計算得到（1+11）×6÷2。
師：從 1 開始的連續奇數相加，和連續自然數相加還是有區別的，它是否還能轉化成更簡單的算式呢？我們請誰來幫忙？
生：圖形。
師：圖就在你們手中。請看要求：用 1 枚白子和3枚黑子擺出一個圖形，表示“1+3”；邊擺邊思考：擺出的圖形能否把1+3轉化成其他算式？
展示學生作品： ① ②
師：觀察一下，哪一種能帶給你轉化的靈感？
生：第②幅圖，每行有2個，有2行，那么1+3就可以轉化成2×2。 師：接下來請你先想一想，能不能用小棋子擺出表示 1+3+5的圖；再動手擺一擺，邊擺邊思考1+3+5可以怎么轉化。
……
師：同學們，和剛才比，同樣運用轉化的策略，哪一種更簡便？
師：剛才我們研究的“從 1 開始連續幾個奇數相加的和”，可以稱為正方形數；而當小石子的數目是1、5、12、22等數時，小石子都能擺成正五邊形，這些數叫做正五邊形數……我們把這些數稱為“有形狀的數”。這樣一來，自然數就有了形象，借助圖形，尋找它們之間的規律也就簡單多了。
看來，只要有了轉化的角度，大家往往能夠豁然開朗。 四、總結
這節課我們研究了這樣幾組有規律的數的連加，也就是簡單數列求和，你有哪些收獲？其實，數學學習就是一個不斷學會轉化的過程，轉化的學問還很多，在今后的學習中，只要逐步積累經驗，提高自己解決問題的靈活性，你會變得越來越智慧。
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