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視頻標簽：分數除法,分數除以整數
所屬欄目：小學數學優質課視頻
視頻課題：人教版小學數學六年級上冊《分數除法分數除以整數》武漢
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人教版小學數學六年級上冊《分數除法分數除以整數》武漢市江岸區蔡家田小學
遷移 理解 內化
——《分數除以整數》教學案例
【設計意圖】
我國數學課程一直將數的運算作為小學數學的主要內容， 《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出應當注重發展學生的“運算能力”，說明運算能力是義務教育階段數學課程背景下重要的數學核心素養，是數學課程目標實現的重要保證。基于此，教師和學生都非常重視計算能力的培養和提高。但實踐中，教師與學生理解及達成的情況如何呢？我們對學生的計算水平、計算習慣等進行調查分析，并深入課堂對教師的計算教學做了進一步觀察剖析，發現當前教師和學生對于計算教與學存在理解上的誤區和不足，主要表現在：
問題一：對計算意義的認識過于狹隘。學生眼中的運算，大多是枯燥的計算，容易忽視計算學習中推理、比較、轉化、遷移思想的滲透，以及各個年段計算教學內容方法的銜接。
問題二：不知如何把握算理理解的方式和時機。教師認識到理解算理對于學生掌握計算方法有著重要作用，但實踐教學中卻不知如何把握算理理解的方式和時機，想面面俱到卻顧此失彼。
問題三：課堂上缺少學生內化計算法則的時間。在學生呈現多樣化的算法時，教師往往急于優化（哪種方法好？你最喜歡哪種方法？）但為什么這種方法好？其它方法不好在哪里？它們之間有什么聯系？往往缺乏聯系溝通。
近幾年，針對以上教與學的問題，我們著力開展計算教學實踐研究，取得了一定成效。“分數除以整數”是人教版義務教育教科書六年級上冊第3單元第30頁例1的教學內容，它屬于數的運算教學，也是小學階段學習整數、小數、分數四則運算的最后一個單元。因此，本單元的教學在計算教學中具有舉足輕重的地位。我們就以這節課為例，談談我們在計算教學中的幾點做法。
一、以知識包為載體，注重知識的遷移類推，凸顯運算意義。
學生在計算中的困難和錯誤往往與其對數和運算的意義理解不深是有關系的，而他們對運算意義及方法的理解也不是一蹴而就的。數學是一門系統性、邏輯性很強的學科，各部分知識組成了一個縱橫交錯、緊密聯系的網。美國獨立學者馬立平博士的《小學數學的掌握和教學》中這樣描述：“在數學教學中，教師的知識包揭示了教師對開啟和培養學生頭腦中這樣一個領域的縱向過程的理解。”吳正憲老師認為：“如果想讓知識樹枝繁葉茂，必須根深蒂固。”人教社王永春主任在《小學數學計算教學改革的有效探索》一文中指出：“每一個新知識都是在已有知識的基礎上發展的，要善于運用類比推理和比較差異的思想方法進行新舊知識的轉化，達到觸類旁通、方法遷移的目的。”因此，建立在對知識及知識間的關系深刻理解的基礎上的數學知識結構和認知結構才是穩固豐富的。有思想深度的課，能使學生數學地思考問題的方法長存，有助于學生的可持續發展，真正提高學生的數學素質。
基于此，在這節課上，我們呈現了“數的運算知識樹”，提供“整數除法的意義、計算方法及學習方法”、“小數除法的意義、計算方法及學習方法”等知識包，喚起學生對已有知識的回憶，從而運用同樣的思路和方法開展“分數除法”的學習。同時，引導學生回憶第一單元“分數乘法”的學習方法，例如舉例子、利用長方形折涂等方法來學習“分數除法”，讓學生在學習活動中，體會到數學知識不是孤立的，小學數學的學習是螺旋上升的，我們可以借助已有的學習經驗來學習同類別的新知。這樣的教學，不是就計算講計算，而是將計算學習的橫縱聯系、思維脈絡清晰地展現，這對學生來說，既是數學活動經驗的積累，又是學習能力、方法的滲透，更是不可小覷的數學素養的提升。
二、數形結合，架設算理直觀和算法抽象的橋梁，理解計算方法。
張景中院士認為：“計算和推理是想通的，計算要有方法，這方法里就體現了推理，即寓理于算的思想；計算是具體的推理，推理是抽象的計算。”計算的這個具體推理，顯然就是算理的理解了。這也是計算教學中教師感到棘手的問題，不知如何把握算理理解的方式和時機，想面面俱到卻經常顧此失彼。針對這些問題，我們在本節課中進行了嘗試，力求基于學生的需求解決問題，具體表現在：
1. 從體會“分數除法”的意義開始理解算理
弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中指出，數學知識有兩類：程序性知識和思辨性知識。程序性知識大多是“行易知難”，例如計算規則，本節課“分數除以整數”的計算，就是做起來容易，懂得其道理難。而這個道理難道必須一次到位地跟學生講清楚嗎？我認為不然。對于“分數除以整數”的算理：把一個數平均分成幾份，實際上就是求這個數的幾分之一是多少，并不是通過像
÷ 2、÷ 3這樣的一、兩個例子，借助直觀圖就能讓學生接受的。其實，學生對于算理的理解從“分數除法的意義”就開始了，我們沒有直接呈現教材例1，而是讓學生逐步完成圖——數——式的結合。首先，學生利用長方形，先根據分數的意義表示出它的幾分之幾，這個操作實際上就是確定了被除數。然后再根據整數除法的意義將這個幾分之幾除以一個數，并接著在長方形上表示出來，這個環節就能讓學生在操作活動中體會一個分數除以整數，就是將這個分數平均分成幾份，表示其中的一份。這個體會雖然是隱性的，但它為后面進一步理解平均分成幾份，實際上就是求這個數的幾分之一是多少奠定了基礎。實際上，在理解“分數除法的意義”階段學生已經在初步理解算理了。
2. 采用多種方式理解算理。
在初步理解算理之后，應該給予學生“再次理解”的機會。因此，教師要善于選擇多種方式來幫助學生更好地理解算理。在這節課中，我們采取了以下兩種方式：
（1）舉例說明
舉例是學生已有的學習經驗，在“分數乘法”的學習中就用到。我們改編了例1的教學，讓學生根據“分數的意義”和“整數除法的意義”分別在長方形上表示出“幾分之幾除以幾”，再根據圖示來列出算式。這樣，比起教材中的÷ 2、÷ 3這兩個例子，學生舉的例子會更多，各種情況都有可能涵蓋。接下來，學生依據圖示來說明他表示的算式的合理性，既有同桌交流，又有全班反饋，對于算理的理解就蘊涵其中了。
（2）直觀模型
直觀模型是指具有一定結構的操作材料和直觀材料。這節課，我們按照教材例1的編排也選擇了長方形作為直觀模型。這樣，先將“幾分之幾”賦予圖示，
再將“除以幾”用圖表示，接下來將折、涂的過程用算式來描述，在操作活動中充分發揮數與形、形與式的結合，讓學生在后面的嘗試計算中有圖可依，在直觀模型的充分體驗中完成“動作思維——形象思維——抽象思維”的發展過程，進一步理解算理。
（3）已有知識
在理解“分數除以整數”的計算原理時，要以學生的已有知識經驗，即分數的意義、除法的運算意義、除法是乘法的逆運算、分數乘法的計算方法及倒數的意義為基礎，讓學生理解“為什么要把除法轉化為乘法來計算？”，“怎樣把除法轉化為乘法來計算？”，從而將所學知識融會貫通。同時，這節課的算理也將為后面進一步學習“分數除以分數”奠定基礎。
三、對比優化，體會除法轉化為乘法的價值，內化計算法則。
針對問題三出現的有的教師重視讓學生去探索如何計算，并在此基礎上幫助學生理解算理，但是往往忽視了另一個重要的過程——計算法則（或個體使用方法）的內化與形成的教學現象，我認為，當學生經歷了算法多樣化，對比優化，并且對于運算的道理有所理解后，還需要學生對常規的計算法則進行再熟悉，以達到內化。
本節課，當學生在計算分數除以整數時，通常會出現以下三種計算方法：
① ÷ 2 = 0.2÷2 = 0.1
② ÷ 3 = =
③ ÷ 4 = × =
算法的優化建立在算法多樣化的基礎上，如果不及時溝通幾種算法之間的聯系，草率地牽引到通法上來，是不符合學生認知規律的。因此，在教學時，我先讓學生充分闡述各種方法的道理，找到它們之間的聯系；然后通過舉例，比較每種算法的優勢和局限性，例如將分數轉化為小數再計算的方法，當分數不能化成有限小數時計算就不方便了；用分數單位的個數去平均分的方法，當分數單位的個數不是除數的整倍數時，也不好計算。最后，學生通過比較、分析，進而運用第三種方法再次計算自己的算式，發現將分數除以整數，轉化為去乘除數的倒數這個計算方法適用于所有情況，它是計算的一般方法，由此達到內化。
同時，在對比優化的過程中，學生體會“轉化”產生的價值。即為什么要把除法轉化為乘法？定義倒數的意義究竟是什么？定義倒數實際上是定義了兩個數之間的關系，利用這個關系可以方便地把除法轉化為乘法計算，而轉化的目的就是為了提高運算效率。除法轉化為乘法計算，之所以效率會提高，主要有兩個原因：一是分數乘法的計算法則比較簡單，而是轉化之后乘法的運算律可以派上用場。因此，在鞏固提高環節，設計這樣的練習讓學生進一步體會轉化的價值。
【教學設計】
[教學內容]
人教版義務教育教科書六年級上冊第3單元第30頁“分數除法”第一課時
[教學目標]
1. 在折、涂、算等活動中體會分數除以整數的意義、理解并掌握分數除以整數的算理，能運用計算方法正確地進行計算。
2. 結合具體的問題情境，經歷分數除法計算方法的探究、推導過程，運用數形結合、轉化的數學思想，培養學生分析、遷移、推理能力。
3. 在學習過程中提升學生幾何直觀、運算能力等數學核心素養，積累計算學習活動經驗，培養良好的計算習慣和學習能力。
[教學重難點]
教學重點：探究并得出分數除以整數的計算方法，能正確地進行計算。
教學難點：分數除以整數計算方法的探索與算理的理解。
[教學準備]
多媒體課件，數的運算知識包，長方形紙片若干。
[教學過程]
一、拾起回憶，談話引入學習內容
1. 談話引入：
（1）介紹“數的運算”這棵知識樹：從一年級起，我們就和計算交上了朋友，現在我們和它算是老朋友了。你們看，“數的運算”這棵知識樹長得枝繁葉茂！
（2）確定在學習“分數乘法”的基礎上學習“分數除法”。（貼出單元課題：分數除法）。
2. 揭示課題：學習知識都是從簡單入手，從“分數除以整數”開始研究。（板書本課時課題：分數除以整數）
二、遷移類推，體會分數除以整數的意義
1. 確定研究方法及內容：
（1）根據“分數乘法”的學習經驗確定研究方法：動手操作、舉例驗證等。
（2）根據對分數的意義、整數除法的意義的理解，利用長方形材料確定“分數除以整數”的研究內容：分數除法的意義和分數除法的計算方法。
2. 體會分數除以整數的意義
（1）操作活動：
① 利用長方形紙表示一個分數，描述所表示的這個分數的意義：例如，把一張長方形紙看作單位“1”，平均分成5份，陰影部分占其中的4份，就是 。
② 接著表示“除以一個整數”：利用長方形，在剛才的基礎上表示“這張紙的幾分之幾平均分成若干份，每份是這張紙的幾分之幾”。
③ 用算式表示兩次操作的含義，同桌互相交流。
（2）集體交流：結合圖形描述該除法算式的意義。
（3）以÷ 2為例，課件演示它表示的直觀意義。
把一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？
（4）借助教材第34頁練習七第1題，進一步體會除法是乘法的逆運算。
（5）遷移類推：體會分數除以整數的意義和整數除法的意義、小數除法的意義一樣，都是乘法的逆運算，都表示把一個數（數量）平均分。
（6）納入知識包，為后續學習奠定基礎。
三、數形結合，理解分數除以整數的計算方法
1. 根據經驗，尋找算法
（1）學生嘗試計算除法算式的結果，將過程記錄下來，并結合長方形圖支撐算法。
（2）全班交流，歸納不同算法（預設有3種）。
① ÷ 2 = 0.2÷2 = 0.1
② ÷ 3 = =
③ ÷ 4 = × =
（3）對比分析：哪一種方法更具有一般性？為什么？
2. 借助直觀，理解算理
（1）以 ÷ 2為例，課件演示計算的通用方法和對應的算理：
把 平均分成2份，每份就是 的 ，就是 。
÷ 2 = × = =
（2）理解溝通：把一個數平均分成幾份，實際上就是求這個數的幾分之一是多少。分數除法和分數乘法有著密切的聯系，分數除法可以轉化為分數乘法來計算。
3. 達成共識，歸納算法
分數除以整數，就是求這個數的幾分之一是多少。分數除法是可以轉化為以前我們學過的分數乘法來計算的。那么，我們即將要學習的分數除以分數，又該怎樣計算呢？
4. 形成儲備，納入知識包
四、運用規律，嘗試計算
1. 教材第30頁“做一做”。
2. 這四個同學都在計算÷ 6，誰的計算方法是正確的？
3. 你認為，誰計算得不對？
五、課堂總結，拓展延伸
1. 結合“數的運算”知識樹，交流所學，感悟所得。
2. 你能結合學過的知識解釋嗎？
3. 課堂作業
教材第34頁練習七第3、4題。
4. 家庭作業
教材第34頁練習七第2題。
【教學反思】
一些數學家在談到“什么將他們引向數學時”，不約而同地提到了“數學深處出人意料的聯系”。兼獲菲爾茲獎、沃爾夫數學獎、阿貝爾獎的著名數學家皮埃爾·德利涅說：“在數學中，當你發現兩個看似沒有共同之處的東西事實上互相關聯是一種樂趣，而在兩個問題之間建立一個支點則是一個強大的工具。”美國數學家阿德比西·阿布拉指出：“對我來說，數學中最美妙的事情就是，一些乍看來毫不相干的觀念和想法事實上可以證明是緊密相關的，有時甚至以一種非常深刻和神奇的方式相關。”數學家在研究數學的過程中，享受著在數學深處發現聯系的樂趣。
數學是一個整體，不同領域、不同階段的數學知識在發展過程中都形成了獨特的方法和技巧，我們要以整體的眼光看待數學的各個分支，讓學生探索數學知識深處的聯系，綜合運用知識和方法提高分析能力和解決問題的能力。基于此，在“分數除法：分數除以整數”的教學中，我們用“整體、聯系”的思想指導教學，設計了“以知識包為載體，注重知識的遷移類推，凸顯運算意義→數形結合，架設算理直觀和算法抽象的橋梁，理解計算方法→對比優化，體會除法轉化為乘法的價值，內化計算法則”的教學主線，學生學習的整體效果還是很不錯的。反思我們教的方式和學生學的方式，覺得以下問題值得商榷：
一、理解算理的直觀模型還可更豐富
這節課，我們按照教材例1的編排也選擇了長方形作為直觀模型。這樣，先將“幾分之幾”賦予圖示，再將“除以幾”用圖表示，接下來將折、涂的過程用算式來描述，在操作活動中充分發揮數與形、形與式的結合，讓學生在后面的嘗試計算中有圖可依，在直觀模型的充分體驗中完成“動作思維——形象思維——抽象思維”的發展過程，進一步理解算理。
實際教學中，學生能在長方形上通過折、涂、比等活動理解分數除以整數的計算原理。但是，是不是只有長方形這一種直觀模型能起到“以形反映數”的作用呢？顯然不是。正方形、圓形、線段圖……都具可操作性。因此，上完課后，我琢磨著，直觀模型可否由學生自己選擇？當他們面對分數除以整數的抽象算式時，對于理解分數除法的意義產生困難，根據以前的學習經驗，自己選擇長方形、正方形、圓形或線段圖，通過折一折、畫一畫、涂一涂的方式來表示算式的意義，從而體會分數除法的意義。這樣的做法是否更以學生為本。
二、鞏固練習中還可增加題組訓練
這節課，在學生體會分數除以整數的意義、理解分數除以整數的算理，并內化計算法則后，我設計組織了以下鞏固練習：
第一層次：分數除以整數的基本練習。其素材是教材第30頁“做一做”。
第二層次：鞏固計算方法的變式練習。既有計算法則的運用，又有根據數據特點靈活選擇計算方法的訓練。
第三層次：對所學知識的融會貫通，也是拓展延伸。讓學生進一步體會轉化的價值。
這幾個層次的練習，學生對于知識技能的掌握、學習經驗的積累都起到了補充作用。但教學起來感覺第一層次的基本練習題量略顯單薄，可以增加一些題組練習，以此鞏固分數除以整數的計算方法；同時，還能訓練學生根據算式中數據的特點靈活地選擇計算方法。
教學，就像一棵樹動搖另一棵樹，一朵云觸碰另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂。學無止境，其實對教學的追求，也永無止境！
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
