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視頻標簽：部編版高中新教材
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：部編版高中新教材優質課比賽（省賽）數學人教A版必修第一冊1《集合與常用邏輯用語》小結課
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數學人教A版必修第一冊1《集合與常用邏輯用語》小結課
《集合與常用邏輯用語》小結課
一、內容和內容解析
1、內容
集合的概念，集合間的基本關系，集合的基本運算，充分條件與必要條件，全稱量詞與存在量詞
2、內容解析
學生在小學和初中已經接觸過一些集合，如各種數集、不等式的解集、點集等. 以此為基礎，高中階段系統安排了集合的初步知識，包括集合的含義、關系與運算，幫助學生使用集合的語言簡潔、準確地表述數學的研究對象. 教科書類比數的研究，采用了“集合的含義與表示—集合的關系—集合的運算”的研究路徑，加強了對“如何研究一個對象”的指引.
常用邏輯用語也是數學語言的重要組成部分，是數學表達和交流的工具，是邏輯思維的基本語言. 教科書從初中學過的定義和定理出發，介紹充分條件、必要條件、充要條件和量詞，并將它們相聯系，加強了“如何嚴謹準確地進行數學表述”，讓學生逐漸習慣用數學的思維和符號表述和研究數學結論.
基于以上分析，確定本單元的教學重點：把各個局部知識組織成整體
二、目標和目標解析
1、目標
（1）能夠在現實情境或數學情境中，概括出數學對象的一般特征，并用集合語言予以表達；初步學會用三種語言（自然語言、圖形語言、符號語言）表達數學研究對象，并能進行轉換；掌握集合的基本關系與基本運算.
（2）能夠借助常用邏輯用語進行數學表達、論證和交流，體會常用邏輯用語在數學表達中的作用.
（3）能夠在本章的學習中，重點提升數學抽象、邏輯推理和數學運算素養.
2、目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）能在具體實例中，利用特殊到一般、具體到抽象的方法概括出集合的含義；能通過類比實數的關系和運算，理解集合的基本關系和基本運算；對于具體的集合運算問題，能利用集合的自然語言、符號語言和圖形語言表示集合的基本關系和基本運算，并能相互轉化；
（2）能舉例說明充分條件、必要條件、充要條件的意義，說明判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系、數學定義與充要條件的關系；在具體情境中，能判別充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件和充要條件.
（3）能舉例描述全稱量詞和存在量詞的意義，能準確區分全稱量詞與存在量詞的概念與符號；能正確使用全稱量詞與存在量詞描述相關數學命題，并能將文字語言與符號語言的命題進行相互轉化，會判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假，能正確對全稱量詞命題與存在量詞命題否定.
（4）能在現實情境或數學情境中，概括出數學對象的一般特征，并用集合語言與常用邏輯用語描述數學對象，進行數學推理，體會邏輯用語在表述數學內容和論證數學結論中的作用，提高交流的嚴謹性與準確性，提升學生抽象概括和推理論證的能力.
三、教學問題診斷分析
相對于義務教育階段的數學知識，高中階段的數學知識較為抽象，所以學生不僅感到數學知識變難了，而且會有無從下手、不知如何學習的感覺. 因此，初高中的過渡，一是知識量的增加和知識難度的提高，二是學習心理的調整和學習方法的掌握.
本章內容屬于“預備知識”，定位是幫助學生完成初高中數學學習的過渡. 在初中，學生接觸的集合與常用邏輯用語知識較為零散；在本章，學生首次系統學習表述數學內容的語言和工具——集合與常用邏輯用語，它們具有符號化，抽象化、嚴謹化等特點，符號較多、形式化程度高，學生在初次接觸時，難以體會到它們的作用，容易產生為什么要學的困惑. 同時學生抽象概括、推理論證、運算求解、直觀想象能力均較弱，不具有轉化與劃歸、特殊與一般、分類與整合、數形結合等數學思想.
基于以上分析，本單元的教學難點是提升抽象概括、推理論證、運算求解、直觀想象能力，培養轉化與劃歸、特殊與一般、分類與整合、數形結合數學思想
四、教學過程設計
第一課時 集合
（一）知識回顧
例1、判斷下列元素的全體是否組成集合；如果是集合，用恰當的方式表示它們.
（1）大于0小于6的所有整數；
（2）銅陵一中高一新生中高個子學生；
（3）二次函數
的所有函數值；
（4）大于0小于6的所有實數.
問題1：判斷例1中每一小題元素的全體是否組成集合.
師生活動：學生判斷例題中四個小題是否組成集合，教師根據學生答案追問.
追問：（1）你判斷能否構成集合是依據集合中元素的哪一條特性？
（2）元素還有哪些特性？
（3）對于例題中的集合，除了自然語言外，還可以用什么方式表示它們？
（4）結合同學用描述法表示的集合，請說一下描述法的結構特征.
師生活動：學生獨立思考追問中問題，回答問題.
教師指出，確定性是集合概念中體現的元素特性之一，也說明了數學概念的重要性.并且這里大家也體會到了表達數學對象的方式具有多樣性.
【設計意圖】
通過具體實例，回顧集合的含義、元素特性、集合的表示方法，體會數學概念的重要性和表達數學對象的方式具有多樣性.
例2、集合
，集合
（1）若集合
，求實數m的取值構成的集合；
（2）若
，求實數m的取值構成的集合；
（3）若
，求實數m的取值構成的集合；
（4）若
，求實數m的取值構成的集合.
問題2：（1）本題中涉及到集合的哪些基本運算？
（2）本題中涉及到集合間哪種基本關系？
師生活動：學生回憶所學知識，回答問題，老師根據學生的回答可追問
追問：（1）題目中哪里涉及補運算？
（2）哪一個小題中涉及到了集合間的包含關系？
師生活動：學生獨立思考，回答問題.
【設計意圖】
通過數學例子，回顧集合的基本運算和集合的基本關系，培養學生轉化與劃歸的數學思想.
問題3：根據黑板上的磁貼，請搭建集合的知識框架圖.
師生活動：學生交流討論，請兩位同學上黑板合作展示討論結果.
【設計意圖】
通過搭建知識框架圖可以幫助學生理解和掌握集合部分的知識.
問題4：例題2每一小題中如何求實數取值構成的集合
師生活動：學生獨立思考，第一小題請同學口述答案，第二小題學生獨立完成，請一位同學上黑板展示.教師根據學生的作答j進行歸納總結.
教師指出，數形結合、分類與整合以及劃歸與轉化是非常重要的數學思想，在我們后面的學習中也會經常使用到.
【設計意圖】
通過具體的例子，讓學生掌握先將題干條件轉化為集合基本關系，再利用集合基本關系求解的做題方法，同時了解劃歸與轉化、數形結合、分類與整合這三個數學思想.
問題5：請同學們獨立完成例題2中的第三、四小題.
師生活動：學生解題，教師進行訂正.
【設計意圖】
通過練習熟練劃歸與轉化、數形結合、分類與整合這三個數學思想的應用，并且體會到補集的應用.
（二）知識拓展
問題6：學習集合知識時，我們多次使用到了“類比”這個推理方法，比如實數有大小關系和相等關系，類比得集合有哪兩種關系？實數有加法運算，類比得集合的哪種運算？
師生活動：學生獨立思考，回答問題.
問題7：你能類比實數的減法運算給出集合的減法運算嗎？
師生活動：學生分小組討論，小組代表上黑板展示討論結果.
教師指出，集合
稱為集合A與集合B的差集，記作
（讀作“A減B”）即 
.
練習：若記號“*”表示兩個實數a與b的算術平均的運算，即
，類比實數加法對乘法分配律寫出兩邊均含運算符號“*”和“+”，且對于任意3個實數a,b,c都成立的一個等式可以是_____
師生活動：學生分小組討論，請小組代表展示討論結果并證明.
【設計意圖】
通過回顧實數大小、相等關系類比得集合包含、相等關系，由實數加法運算類比得集合并運算，復習類比推理，通過問題7和練習，加深學生對類比推理的理解.
（三）課時小結，布置作業
通過本節課的學習，我們一起搭建集合這部分知識的框架圖，一起學習了三種重要的數學思想，分別是轉化與劃歸、分類與整合、數形結合，還學習了一個重要的推理方法即類比推理.
【設計意圖】
梳理、總結本節課的核心內容.
課后作業:（1）課本34頁復習參考題1中1，2，3，8，9
（2）閱讀課本15頁《集合中元素的個數》 ，完成35頁練習11
第二課時 常用邏輯用語
（一）知識回顧
例1：在下列各題中，判斷
是不是
的充分條件.
（1）p：兩個三角形三邊對應成比例； q：兩個三角形相似；
（2）p：兩個三角形三個角對應相等； q：兩個三角形全等；
（3）p：四邊形是正方形； q：四邊形是平行四邊形.
問題1：如何判斷是不是的充分條件？
師生活動：學生獨立思考，歸納判斷方法，教師追問，
追問：（1）例題1中三道題是不是的充分條件？
（2）第二小題p推不出q，說明理由.
師生活動：學生獨立思考，回答追問中的問題.
【設計意圖】
復習充分條件的概念，歸納判斷充分條件的方法.再通過具體實例練習，熟練判斷充分條件的方法.
問題2：對于例題1中三小題，我們先重點分析第一小題，第一小題等價于判斷了哪個命題是真命題？
師生活動：學生獨立思考，請同學回答，教師根據學生的答案追問
追問：這是三角形相似的判定定理還是性質定理？
師生活動：學生獨立思考，回答問題，教師歸納總結.
教師指出，三角形相似的這個判定定理給出了三角形相似的一個充分條件，也可以認為用含有邏輯用語“充分條件”的語句表達了這個判定定理。事實上，數學中每一條判定定理都給出了相應數學結論的一個充分條件，那么也就可以用含有邏輯用語“充分條件”的語句表達判定定理.
練習：用含有邏輯用語“充分條件”的語句表達下列兩個判定定理.
① 同位角相等，兩直線平行；
② 三邊對應相等的兩個三角形全等.
師生活動：學生獨立思考并作答.
【設計意圖】
通過例題1（1）再分析，進一步理解p是q的充分條件就是“若，則”是真命題，同時引出充分條件和判定定理的關系.通過練習加深對兩者關系的理解.
例2：在下列各題中，判斷是不是的必要條件.
（1）p：兩個三角形三邊對應成比例； q：兩個三角形相似；
（2）p：兩個三角形三個角對應相等； q：兩個三角形全等；
（3）p：四邊形是正方形； q：四邊形是平行四邊形.
問題3：如何判斷是不是的必要條件？
師生活動：學生獨立思考，回答問題，教師根據學生情況追問
追問：（1）對于例題1中三個小題，是不是的必要條件？
（2）對于第三小題，不是的必要條件，請說明理由.
師生活動：學生獨立思考，回答問題.
【設計意圖】
復習必要條件的概念，歸納判斷必要條件的方法.再通過具體實例練習，熟練判斷必要條件的方法.
問題4：對于例題2中三個小題，我們先分析第一和第二小題，這兩題相當于判斷了哪兩個命題是真命題？
師生活動：學生獨立思考，回答問題，教師根據學生回答追問
追問：它們分別是三角形相似和三角形全等的判定定理還是性質定理？
師生活動：學生根據初中知識回答問題，教師歸納總結.
教師指出，三角形相似性質定理給出了三角形相似的一個必要條件，也就是說如果三角形三邊對應不成比例，三角形一定不相似；要想三角形相似，三邊對應成比例必須成立.也可以認為用含有邏輯用語“必要條件”的語句表達了該性質定理.數學中每一個性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件，那么就可以用含有邏輯用語“必要條件”的語句表達性質定理.
練習：用含有邏輯用語“必要條件”的語句表達下列兩個性質定理.
① 矩形的對角線相等；
② 菱形的對角線互相垂直.
師生活動：學生獨立思考，回答問題.
【設計意圖】
通過例題2（1）（2）再分析，進一步理解p是q的必要條件就是“若，則
”是真命題，同時引出必要條件和性質定理的關系.通過練習加深對兩者關系的理解.
問題5：綜合例題1和例題2，三小題中是的什么條件？
師生活動：學生思考問題，集體回答.
教師指出，三角形相似的充要條件實際上就是給出了三角形相似的等價定義.
【設計意圖】
強調充要條件和數學定義的關系，明確判斷“充要條件”、“充分不必要條件”和“必要不充分條件”時可將問題分成兩步判斷.
問題6：對于例題中第三小題，判斷出
是的充分不必要條件，相當于判斷了
哪兩個命題的真假性？
師生活動：學生獨立思考，回答問題.
追問：（1）能不能用含有量詞的命題來解釋.
（2）“所有的”“有一些”分別屬于哪種類型的量詞？
（3）含有“所有的”“有一些”的命題屬于哪種類型的命題？
師生活動：學生獨立思考回答問題.
練習1：將下列定理表示成含有量詞的命題：
① 勾股定理； ② 三角形內角和定理.
師生活動：學生獨立思考，回答問題.
【設計意圖】
引導學生用含有量詞的命題可以用來表達數學內容，幫助學生認識到常用邏輯用語在數學表達中的作用.
問題7：對于以上四個含有量詞的命題，你會寫出它們的否定嗎？
師生活動：學生獨立思考，回答問題，教師根據學生回答情況追問
追問：（1）全稱量詞命題的否定是什么類型的命題？
（2）存在量詞命題的否定是什么類型的命題？
（3）命題和它的否定真假性有什么聯系？
師生活動：學生集體回答
【設計意圖】
復習全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，以及原命題和它的否定的真假性的關系.
問題8：結合黑板上的詞條，請同學們搭建常用邏輯用語這部分內容的知識框架圖.
師生活動：學生小組討論，請兩個同學上黑板展示討論結果.
【設計意圖】
通過搭建知識框架圖，再一次幫助學生理解和掌握常用邏輯用語這部分的內容.
（二）知識拓展
問題9：在新課中，我們用了這樣一個引例，得出“我生活在銅陵”是“我生活在安徽”的充分條件，結合地圖，你還能找到“我生活在安徽”的充分條件嗎？
“我生活在____”是“我生活在安徽”的充分條件
師生活動：學生獨立思考，回答問題，教師追問.
追問：（1）填在空格上的城市在地圖上所對應的區域與安徽
這個區域有什么關系？
（2）這種關系與我們前面學習過的哪一種圖形類似？
師生活動：學生獨立思考，回答問題.
練習2：用“
”，“
”，“
”填空：
（1）_______是________的充分條件 （2）_______是________的必要條件
師生活動：學生小組討論，回答問題.
【設計意圖】
通過問題9和練習，引導學生關注到充分條件、必要條件以及充要條件和集合包含關系、相等關系之間的聯系，從而得到新的判斷充分條件、必要條件和充要條件的方法
集合法總結：集合
（1）若
，則p是q的______條件；
（2）若
，則p是q的______條件；
（3）若
，則p是q的______條件；
（4）若p是q的充分不必要條件，則_________；
（5）若p是q的必要不充分條件，則_________；
（6）若p是q的既不充分也不必要條件，則___________________.
師生活動：學生小組討論，回答問題，教師歸納總結
教師指出，判斷充分條件、必要條件、充要條件也可以用集合法.
【設計意圖】
將充分條件、必要條件、充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件與集合的基本關系對應起來，便于學生理解和應用.
問題10：將判斷充分條件、必要條件、充要條件的方法匯總到表格中.
| p是q的充分條件，q是的p必要條件 |
p是q的 充分不必要條件 |
p是q的 必要不充分條件 |
p是的q 充要條件 |
p是q的 充分不必要條件 |
| “若p，則q”真 | ||||
 |
||||
|
|
一元二次方程
有實數根 
”是真命題，求實數
的取值范圍.
”是假命題，求實數的取值范圍.
的垂直平分線.
，且
表示平面內的動點，指出屬于集合
的點是什么.
若
，則a的取值范圍是_____
，兩邊均含運算符號“*”和“+”，且對于任意3個實數a,b,c都成立的一個等式可以是_____
，q:
；
（1）
中，
與
分別為
與邊上的高，則
與
所在的直線交于一點
.|
課題 知識框架圖 |
PPT | 例題（學生練習題） |
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