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視頻標(biāo)簽：用樣本估計(jì)總體
所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻
視頻課題：部編新教材人教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第九章統(tǒng)計(jì)9.2 用樣本估計(jì)總體9.2.4總體離散程度的估計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)
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部編新教材人教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第九章統(tǒng)計(jì)9.2 用樣本估計(jì)總體9.2.4總體離散程度的估計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)設(shè)計(jì)
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課程基本信息 |
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| 學(xué)科 | 高中數(shù)學(xué) | 年級(jí) | 高一 | 學(xué)期 | 春季 |
| 課題 | 9.2.4總體離散程度的估計(jì) | ||||
| 教科書 |
書 名：數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年7月 |
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| 教學(xué)目標(biāo) | |||||
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1、結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差)； 2、會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差； 3、理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義。 經(jīng)歷系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理過程，在解決問題的過程中強(qiáng)化“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”、“數(shù)據(jù)分析”的核心素養(yǎng)。 |
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| 教學(xué)內(nèi)容 | |||||
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教學(xué)重點(diǎn)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義與計(jì)算；已知兩組數(shù)據(jù)的觀測(cè)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差或方差時(shí)，兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法與思想。 教學(xué)難點(diǎn)： 已知每組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和方差，獲得各組數(shù)據(jù)合并后全部數(shù)據(jù)的方差的計(jì)算公式，及計(jì)算中的遞推思想。 |
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| 教學(xué)過程 | |||||
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一、呈現(xiàn)實(shí)例 問題1：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊成績做出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何選擇？ 核心問題1：通常比較兩組成績的優(yōu)劣是比較它們的什么值？ 追問：考察運(yùn)動(dòng)員的射擊水平還需要關(guān)注什么因素？ 核心問題2：如何判斷兩名運(yùn)動(dòng)員誰的發(fā)揮更穩(wěn)定？ 追問：為什么可以運(yùn)用方差分析兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員的射擊成績？ 二、探究規(guī)律 幾何分析1： 請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手作出兩組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。用橫坐標(biāo)表示第x次射擊，用縱坐標(biāo)表示環(huán)數(shù)，作圖如下，這是甲的射擊成績散點(diǎn)圖，乙的射擊成績散點(diǎn)圖。  結(jié)論：甲的射擊成績比較分散，波動(dòng)幅度或變化范圍比較大，乙的成績相對(duì)集中，變化范圍相對(duì)于甲較小。 代數(shù)分析2： 一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法是求極差：甲命中環(huán)數(shù)的極差=10－4＝6 乙命中環(huán)數(shù)的極差=9－5＝4，可以發(fā)現(xiàn)甲的成績波動(dòng)范圍比乙大。 極差是一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法，極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度．但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息，對(duì)其它數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少 對(duì)比觀察甲乙兩組成績數(shù)據(jù)和平均數(shù)之間的關(guān)系   根據(jù)散點(diǎn)圖依次求差、差的和、差的絕對(duì)值（即“距離”）、差的絕對(duì)值的和、差的絕對(duì)值的平均數(shù)（即“平均距離”） 我們知道如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會(huì)太遠(yuǎn)；相反，如果如果射擊的成績波動(dòng)幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會(huì)比較遠(yuǎn)；因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動(dòng)幅度。 三、構(gòu)建模型 方差定義：一組數(shù)據(jù)  ， ， ， ，用 表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為  =  一般形式、加權(quán)形式 上述例題在計(jì)算過程中，我們提煉出方差公式的加權(quán)形式，接下來我請(qǐng)同學(xué)們思考：方差公式的計(jì)算還有沒有其他的變形形式？  思考問題中的方差的單位是什么？進(jìn)而給出標(biāo)準(zhǔn)差的定義。 師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)表意見，教師進(jìn)行評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致，給使用帶來不便。 在實(shí)際問題中，總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的。就像用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)一樣，通常我們也用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。在隨機(jī)抽樣中，樣本標(biāo)準(zhǔn)差依賴于樣本的選取，具有隨機(jī)性。那么什么是總體方差，什么是樣本方差呢？得到總體方差和樣本方差的定義。 分層隨機(jī)抽樣樣本方差的計(jì)算 例6：在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，樣本的平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，樣本的平均和方差分別為160.6和38.2.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本的方差嗎？并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？ 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生明確題目的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立計(jì)算多組數(shù)據(jù)匯總后的方差。 核心問題1：問題中計(jì)算總樣本的方差和我們前面學(xué)習(xí)中求解方差的問題從已知條件看有什么不同呢？ 核心問題2：對(duì)于這樣的問題我們是否依然可以用方差公式求解呢？ 核心問題3：如果可以用方差公式求解，用數(shù)學(xué)符號(hào)該這么表示呢？  核心問題1：怎樣求解總樣本方差？ 核心問題2：怎樣將總樣本方差和已知條件聯(lián)系到一起呢？  最后，核心問題：能否計(jì)算  ？ 追問1：比較總樣本方差與男生組及女生組的方差，你能發(fā)現(xiàn)什么？你能解釋在估計(jì)全校學(xué)生平均身高時(shí)，按性別分層隨機(jī)抽樣的理由嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生可以看到總樣本方差既大于男生組的方差，也大于女生組的方差。教師解釋相同樣本量條件下，總樣本方差越小，樣本均值估計(jì)總體均值效果越好。男、女生的均值相差越大，即兩組差別越大，總樣本方差比男、女生的方差均大得越多，分層隨機(jī)抽樣效果越好。 追問2：一般地，如果知道兩組數(shù)據(jù)各自的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)、平均數(shù)和方差，如何計(jì)算全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差呢？ 師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生由具體例子進(jìn)行一般化歸納。 一般地，如果已知第一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是m,平均數(shù)和方差分別為  和 ，第二組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是n,平均數(shù)和方差分別為  ，那么，總樣本平均數(shù) 總樣本方差為  設(shè)計(jì)意圖：將總樣本均值和總樣本方差的計(jì)算公式從問題5推廣到一般，讓學(xué)生體會(huì)由具體到一般的思想。 平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)的波動(dòng)大小，那么將平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差綜合在有一起。 例如，考察以平均數(shù)為中心的區(qū)間  ， ，觀察數(shù)據(jù)分別落在這兩個(gè)區(qū)間的百分比，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？師生活動(dòng)：以100戶居民月均用水量數(shù)據(jù)為例，教師用電子表格軟件計(jì)算出樣本平均數(shù)  和標(biāo)準(zhǔn)差 ，并計(jì)算 ， 和 ， .可以發(fā)現(xiàn)，100個(gè)數(shù)據(jù)中大部分都集中在內(nèi)，在區(qū)間外的只有7個(gè)數(shù)據(jù)，也就是絕大部分的數(shù)據(jù)落在內(nèi).通過平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，就可以得到大部分?jǐn)?shù)據(jù)的取值范圍。方差越大，則這個(gè)區(qū)間越大；方差越小，則這個(gè)區(qū)間也越小。 課堂小結(jié)：本節(jié)課你有什么收獲？并問你還存在哪些疑問？有疑問的舉手提問。 布置作業(yè)： 練習(xí)2、5，習(xí)題第4、5題 |
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