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視頻標(biāo)簽：部編版高中新教材

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：部編版高中新教材優(yōu)質(zhì)課比賽（省賽）數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊1.4充分條件與必要條件（第2課時(shí)）

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高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊1.4充分條件與必要條件（第2課時(shí)）

1．4 充分條件與必要條件（2課時(shí)）
 

 
一、單元內(nèi)容和內(nèi)容解析
    1、內(nèi)容
充分條件、必要條件以及充要條件的意義；判定定理與充分條件的關(guān)系，性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系，數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．
    2、內(nèi)容解析
(1) 知識產(chǎn)生的背景：命題由條件和結(jié)論兩部分組成，研究命題必然需要研究條件和結(jié)論之間的關(guān)系．就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，學(xué)生需要在更一般的意義上更加清晰地認(rèn)識數(shù)學(xué)定義、判定定理、性質(zhì)定理中條件與結(jié)論的關(guān)系．
(2) 知識生長的過程和階段：本節(jié)課知識的形成過程經(jīng)歷了四個(gè)階段：①感知條件和結(jié)論之間存在某種內(nèi)在邏輯關(guān)系；②通過歸納、抽象、分析，得出條件與結(jié)論之間的四種關(guān)系（充分不必要、必要不充分、充要條件，即不充分也不必要）；③建構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念刻畫命題條件與結(jié)論之間的關(guān)系；④運(yùn)用這些概念合理論證和準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)結(jié)論．
(3) 知識構(gòu)建的策略和方法：①歸納與抽象，即通過歸納與抽象發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論之間的推出關(guān)系；②邏輯分析，即通過邏輯分析獲得辨析充分條件、必要條件的方法；③集合思想與方法，即借助集合來思考與表達(dá)條件與結(jié)論之間的關(guān)系．
(4) 知識間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)：從本單元知識的內(nèi)部看，充分調(diào)條件、必要條件、充要條件刻畫的都是命題條件與結(jié)論的關(guān)系，是一個(gè)統(tǒng)一的整體；從本單元與前后單元的聯(lián)系看，集合的概念為深度理解命題條件與結(jié)論的關(guān)系提供了工具，全稱量詞、存在量詞有助于更準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)命題的條件與結(jié)論．
(5) 知識的要點(diǎn)與本質(zhì)：充分條件、必要條件、充要條件的實(shí)質(zhì)是對命題條件與結(jié)論關(guān)系的數(shù)學(xué)刻畫，是命題條件與命題結(jié)論所對應(yīng)集合之間存在包含與被包含的關(guān)系．
(6) 知識的學(xué)科意義與教學(xué)價(jià)值：在數(shù)學(xué)知識體系中，數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)判定定理和性質(zhì)定理是重要的組成部分，它們都可以用邏輯用語表達(dá)．每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件，每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．它們既是學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念、合理論證數(shù)學(xué)結(jié)論、準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)的極好素材．
基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：充分條件、必要條件、充要條件的概念．
 
二、單元目標(biāo)和目標(biāo)解析
1、目標(biāo)
(1) 理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，理解充分條件與判定定理的關(guān)系、必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系、充要條件與數(shù)學(xué)定義的關(guān)系；
(2) 理解推斷符號“ ” “ ”的含義，能判斷兩個(gè)簡單命題作為條件與結(jié)論是否具有充分性、必要性及等價(jià)性；
(3) 初步使用常用邏輯用語進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)、論證和交流，提升邏輯推理素養(yǎng)．
2、目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
(1) 通過梳理典型的數(shù)學(xué)命題，知道“命題真假”、“條件和結(jié)論之間的關(guān)系”、“充分條件”三者之間的關(guān)系，能將判斷“p是q的充分條件”的問題轉(zhuǎn)化為判斷命題“若p，則q”的真假問題，能說明充分條件的意義；建立判定定理與充分條件的聯(lián)系，能舉例說明每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．
(2) 通過梳理典型的數(shù)學(xué)命題，知道“命題真假”、“條件和結(jié)論之間的關(guān)系”、“必要條件”三者之間的關(guān)系，能將判斷“p是q的必要條件”的問題轉(zhuǎn)化為判斷命題“若p，則q”的真假問題，能說明必要條件的意義；建立性質(zhì)定理與必要條件的聯(lián)系，能舉例說明每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．
(3) 通過梳理典型的數(shù)學(xué)命題，知道“命題真假”、“條件和結(jié)論之間的關(guān)系”、“充要條件”三者之間的關(guān)系，能將判斷“p是q的充要條件”的問題轉(zhuǎn)化為判斷命題“若p，則q”及其逆命題的真假問題，能說明充要條件的意義；建立數(shù)學(xué)定義與充要條件的聯(lián)系，能舉例說明每一條數(shù)學(xué)定義都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充要條件．
    (4) 能例舉數(shù)學(xué)命題并說明p是q的充分（必要、充要）條件，能從條件與結(jié)論關(guān)系的視角理解數(shù)學(xué)命題的內(nèi)在邏輯，對“言必有據(jù)”、“表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性與準(zhǔn)確性”等有新的感悟．
 
三、教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生在生產(chǎn)生活中對條件的充分性與必要性有一定的感性認(rèn)識，對數(shù)學(xué)命題的構(gòu)成、命題的真假判斷也有一定的認(rèn)識，他們有通過充分條件給出判定定理、通過必要條件給出性質(zhì)定理的經(jīng)驗(yàn)，但對其中蘊(yùn)含的條件與結(jié)論之間的關(guān)系認(rèn)識是模糊的．盡管學(xué)生容易從字面理解充分條件、必要條件的含義，但具體運(yùn)用時(shí)還是容易混淆．考慮到數(shù)學(xué)意義上的充分條件、必要條件與日常生活中的“充分”“必要”意義相近，因此應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從字面理解和把握這兩種條件的特征．
學(xué)生往往難以理解“若 ，則q是p的必要條件”，因?yàn)樗麄冇X得q是結(jié)論而不是條件．對此，應(yīng)揭示條件與結(jié)論的相對性，使學(xué)生認(rèn)識到：條件q是結(jié)論p成立的必不可少的條件；如果q不成立，則p也不可能成立．
本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是對必要條件的理解．
 
四、教學(xué)過程分析
1.4.1 充分條件與必要條件
(一) 概念引入
 
引例：若我生活在銅陵，則我生活在安徽．請思考以下問題：
(1)   這個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是什么？
(2)   這個(gè)命題的真假？
(3)   請同學(xué)們再例舉幾個(gè)命題，并判斷其真假？
師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，討論交流．
          教師梳理學(xué)生答案，講解并板書“ ”的含義．
【設(shè)計(jì)意圖】
通過一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�不失生活常識的例子，讓學(xué)生熟悉命題的構(gòu)成，并且會通過邏輯推理得出命題的真假，獲得命題“若p，則q”為真的等價(jià)說法“p q”；問題(3)的設(shè)置是為了解學(xué)生對初中已有知識的理解程度，以達(dá)到指導(dǎo)下面的教學(xué)流程的作用．
師生活動：教師展示地圖，引導(dǎo)學(xué)生初步感受條件與結(jié)論間蘊(yùn)含的集合關(guān)系．
【設(shè)計(jì)意圖】
通過地圖展示，將命題的“條件”與“結(jié)論”視為集合，借助集合來思考與表達(dá)條件與結(jié)論之間的關(guān)系，讓學(xué)生直觀感知．
追問：(1) 生活在銅陵一定生活在安徽嗎？
      (2) 不在安徽生活能不能在銅陵生活？
師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，討論交流．教師引導(dǎo)獲得上述命題的等價(jià)說法，引入“充分條件”“必要條件”概念．
【設(shè)計(jì)意圖】
問題(1)的追問意在讓學(xué)生了解真命題中條件足以保證結(jié)論成立，初步感受到“充分性”；問題(2)讓學(xué)生感知條件對結(jié)論的依賴，從而獲得“生活在安徽”是“生活在銅陵”必須具備的條件這一感悟，在數(shù)學(xué)上我們稱之為必要條件，有效突破教學(xué)難點(diǎn)，即學(xué)生對“必要條件”的理解．
    概念教學(xué)必須重視生成過程，本節(jié)課引入環(huán)節(jié)預(yù)計(jì)10分鐘，確保學(xué)生多角度正確認(rèn)知“充分條件”“必要條件”，為接下來順利抽象出概念打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．
 
(二) 概念生成
通過對引例的分析，抽象出“充分條件”“必要條件”的概念．大致流程如下：

師生活動：已有實(shí)例作為鋪墊，采用提問學(xué)生的方式進(jìn)行．
【設(shè)計(jì)意圖】通過提問帶領(lǐng)學(xué)生回顧梳理引例中的思考過程，明確“命題‘若p，則q’為真”與“由p推出q”的關(guān)系，抽象并生成充分條件、必要條件的概念．用生活化且不失嚴(yán)謹(jǐn)性的語言概括知識點(diǎn)，便于學(xué)生理解記憶．
 
(三) 概念應(yīng)用
例1：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？
(1)   若四邊形的兩組對角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；
(2)   若兩個(gè)三角形的三邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似；
(3)   若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形的對角線互相垂直；
(4)   若 為無理數(shù)，則 為無理數(shù)；
(5)   若 ，則 ；
(6)   若 ，則 ．
師生活動：學(xué)生判斷，教師進(jìn)行訂正給出解答示范．根據(jù)解答情況進(jìn)行以下追問．
追問：(1) 通過命題(1)我們知道“四邊形的兩組對角分別相等”是“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件．這樣的充分條件是否唯一？若不唯一，你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎？
      (2) 這些充分條件都是初中學(xué)習(xí)的平行四邊形的什么定理？
師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，討論交流．
【設(shè)計(jì)意圖】(1)通過練習(xí)熟練掌握利用判定命題真假來判斷充分條件的方法；(2)通過典型的數(shù)學(xué)命題，說明充分條件并不唯一，并初步感受判定定理與充分條件的關(guān)系．
 
例2：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？
(1)     若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對角分別相等；
(2)   若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；
(3)   若四邊形的對角線互相垂直，則這個(gè)四邊形為菱形；
(4)   若 為無理數(shù)，則 為無理數(shù)；
(5)   若 ，則 ；
(6)   若 ，則 ．
師生活動：同例1．
【設(shè)計(jì)意圖】(1)通過練習(xí)熟練掌握利用判定命題真假來判斷必要條件的方法；(2)通過典型的數(shù)學(xué)命題，說明必要條件并不唯一，并初步感受性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系．
 
(四) 概念深化
對例題中部分命題再次研究，在例1中，教師梳理學(xué)生列舉的充分條件，點(diǎn)明要點(diǎn)：每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．學(xué)生自主從例2中討論發(fā)現(xiàn)，每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．
課堂練習(xí)：判斷下列命題的真假：
1)        兩個(gè)三角形全等是這兩個(gè)三角形的面積相等的充分條件；
2)        兩個(gè)角相等是兩個(gè)角是對頂角的充分條件；
3)        兩個(gè)角相等是兩個(gè)角是對頂角的必要條件．
【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生對概念的理解情況．
 
(五) 課堂小結(jié)
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識，并引導(dǎo)學(xué)生回答下面問題：
1)        初步理解充分條件、必要條件的含義；
2)        體會判定定理與充分條件，性質(zhì)定理與必要條件的聯(lián)系；
3)        在新的語境下，梳理初中重要的數(shù)學(xué)知識，提升邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).
【設(shè)計(jì)意圖】梳理、歸納本節(jié)課的核心內(nèi)容和方法．
 
作業(yè)布置：
(1) 課本P20 練習(xí)1，2，3；P23綜合運(yùn)用4；
(2) 思考：用“充分條件”或“必要條件”填空
  “四邊形對角線互相垂直且平分”是“四邊形為菱形”的___________________．
【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)(1)加深學(xué)生對本節(jié)課知識的理解；作業(yè)(2)通過思考得出不同答案，讓學(xué)生初步體會p與q的雙向推導(dǎo)，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)鋪墊．
 
（六）板書設(shè)計(jì)

1.4.1  充分條件與必要條件   “若p，則q”為真命題，等價(jià)于 ， 并稱p是q的充分條件，      q是p的必要條件．

多媒體投影區(qū)域

例1、——————      —————— 每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件   例2、——————      —————— 每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件

 
 
1.4.2 充要條件
 
(一) 復(fù)習(xí)引入
問題： 請舉例說明什么是充分條件？什么是必要條件？上節(jié)課的思考題你的結(jié)論是什么？
師生活動：學(xué)生舉手發(fā)言，教師引導(dǎo)其從多個(gè)角度進(jìn)行說明．
【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)開放性問題獲得學(xué)生第一課時(shí)的學(xué)習(xí)程度，為后面的三個(gè)條件的進(jìn)一步學(xué)習(xí)鋪墊．
 
(二) 概念生成與理解
例：用“充分條件”或“必要條件”填空
    “四邊形對角線互相垂直且平分”是“四邊形為菱形”的___________________．
【設(shè)計(jì)意圖】通過思考得出不同答案，讓學(xué)生初步體會p與q的雙向推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造兩個(gè)互逆命題，由之前知識做鋪墊，說出p既是q的充分條件，又是q的必要條件，從而簡稱為“充要條件”，同理可得“q是p充要條件” ．
師生活動：教師板書概念：如果“p q”，且“q p”，則稱p與q互為充要條件．并加以解釋：概念可理解為“雙向判斷，實(shí)為等價(jià)” ．
 
例1：在下列“若p，則q”形式的命題中，判斷p是不是q的充要條件？
(1) 若四邊形的兩組對角分別相等，則該四邊形是平行四邊形；
(2) 若四邊形的一組對邊平行且相等，則該四邊形是平行四邊形；
(3) 若 是空集，則A與B均是空集；
(4) 若兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對頂角；
(5) 若 ，則 ；
(6) 若 ，則 ．
師生活動：學(xué)生判斷，教師給出解答示范．
【設(shè)計(jì)意圖】借助學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)命題，說明p對于q的充分性和p對于q的必要性之間的關(guān)系．理解p為q的充要條件就是“若p，則q”和“若q，則p”都為真命題，而這也是判斷充要條件的方法．
 
(三) 概念深化
思考：(1) 若 ，則p為q的充要條件，p唯一嗎？請舉例說明．
      (2) 我們已經(jīng)知道判定定理和充分條件的關(guān)系，性質(zhì)定理和必要條件的關(guān)系，那么，充分條件和什么有關(guān)系呢？結(jié)合“四邊形是平行四邊形”說一說．
師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，舉例，討論交流．教師選取學(xué)生的舉例板書，引導(dǎo)學(xué)生梳理、完善討論交流的結(jié)果，指明數(shù)學(xué)定義和充要條件的關(guān)系——數(shù)學(xué)定義從充分性和必要性兩個(gè)方向刻畫數(shù)學(xué)對象，不同的充要條件從不同角度刻畫了一個(gè)數(shù)學(xué)對象．
【設(shè)計(jì)意圖】在充分條件、必要條件的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解“充要條件”的概念，體會充要條件不唯一；通過舉例分析，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系，進(jìn)一步理解“充要條件”．
 
(四) 概念鞏固應(yīng)用
例2：已知： 的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證： 是直線l與 相切的充要條件．
師生活動：學(xué)生分析題意，給出解題思路．教師根據(jù)學(xué)生情況，可進(jìn)行以下追問：
追問：(1) 如何證明充要條件？
      (2) 證明充分性時(shí)，條件和結(jié)論分別時(shí)什么？證明必要性時(shí)，條件和結(jié)論分別時(shí)什么？
師生活動：教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行板書示范．
【設(shè)計(jì)意圖】首先確定證明思路，分清條件和結(jié)論；通過教師板書，規(guī)范證明過程．
 
(五) 單元小結(jié)，布置作業(yè)
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元所學(xué)知識，并引導(dǎo)學(xué)生回答下面的問題：
(1) 請用結(jié)構(gòu)框圖表示本節(jié)所學(xué)的知識.
(2) 請舉例說明什么是充分條件？什么是必要條件？什么是充要條件？如何判斷充分條件、必要條件和充要條件？
(3) 請舉例說明判定定理與充分條件的關(guān)系，性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系，充要條件與數(shù)學(xué)定義之間的關(guān)系．
【設(shè)計(jì)意圖】梳理、歸納、總結(jié)本單元的核心內(nèi)容和方法．
作業(yè)布置：課本P22-23 練習(xí)1，2，3，5
 
 
（六）板書設(shè)計(jì)

1.4.2  充要條件   如果“p q”，且“q p”， 則稱p與q互為充要條件

多媒體投影區(qū)域

學(xué)生板演區(qū)

 
五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
1、設(shè)甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則甲是丁的（ 　 ）
A．必要不充分條件      B．充分不必要條件   
C．充要條件            D．既不充分也不必要條件
2、下列各組條件中，p是q的充要條件的有（    ）
A.                                         B.
C. 方程 有實(shí)根                 D.
3、若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____．
4、求證：一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.
 
六、教學(xué)反思
本節(jié)課屬于概念課，所以教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在對概念的理解之上，教學(xué)難點(diǎn)是對具體問題的準(zhǔn)確判定．
這節(jié)課的實(shí)例引入生動有趣，教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣，教學(xué)過程能夠抓緊學(xué)生的思維點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、符合概念課的教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)以及新課程改革的教育教學(xué)理念，注重概念的生成和理解，教學(xué)過程中能夠調(diào)動學(xué)生積極參與互動，內(nèi)容理解深刻、透徹，教學(xué)思路清晰、自然，教學(xué)重點(diǎn)突出．
1、課題引入生動有趣
課堂開始就對課題研究內(nèi)容進(jìn)行概括，可謂開門見上，主題鮮明，符合數(shù)學(xué)課的味道．以“如果我生活在銅陵，那么我生活在安徽”為例引入，并從生活常識的角度、集合直觀的角度逐步分析，通過具體問題生成概念，設(shè)計(jì)新穎．
2、概念形成自然流暢
第一課時(shí)雖然在第１５分鐘才正式得出“充分條件”和“必要條件”的概念，但事實(shí)上通過具體實(shí)例分析，學(xué)生早已理解概念．所以，概念形成不會顯得突兀，反倒通過課堂學(xué)生表現(xiàn)來看，這樣的設(shè)計(jì)更為合理有效．再通過類比身邊的“師生關(guān)系”對概念進(jìn)行歸納解釋，既吸引學(xué)生眼球，同時(shí)有助于學(xué)生更加深刻地理解概念．
3、關(guān)注核心素養(yǎng)
在概念生成過程中，注重對直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的落實(shí)，重視具體與一般的轉(zhuǎn)化思想循循善誘，潤物無聲．
不足：板書設(shè)計(jì)略有不足．

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