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視頻標(biāo)簽：部編版高中新教材
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視頻課題：部編版高中新教材優(yōu)質(zhì)課比賽（省賽）人教A版必修一第二章2.2基本不等式 第一課時(shí)_蕪湖
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人教A版必修一第二章2.2基本不等式 第一課時(shí)_蕪湖
2.2 基本不等式（2 課時(shí)，單元教學(xué)設(shè)計(jì)）
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單元學(xué)習(xí)基本信息 |
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學(xué)科 |
數(shù)學(xué) |
實(shí)施年級(jí) |
高一 |
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使用教材版本 |
人民教育出版社 A 版 2019 年必修第一冊(cè) |
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單元主題名稱 |
2.2 基本不等式 |
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單元課時(shí) |
2 課時(shí) |
一、單元內(nèi)容和內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容
基本不等式的定義、幾何解釋、證明方法與應(yīng)用.
2. 內(nèi)容解析
基本不等式具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的幾何背景.從數(shù)與運(yùn)算的角度，
是兩個(gè)正數(shù)的“算數(shù)平均值”，
是兩個(gè)正數(shù)的“幾何平均值”，因此基本不等式涉及的是代數(shù)中的“基本量”與最基本的運(yùn)算.從幾何圖形角度，“等圓中弦長(zhǎng)的一半不大于半徑”“直角三角形中斜邊上的高的長(zhǎng)度不大于斜邊上的中線的長(zhǎng)度”“周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大”等，都是基本不等式的幾何直觀理解. 因此基本不等式是代數(shù)研究的對(duì)象，又有豐富的幾何內(nèi)涵，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁.
結(jié)合基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何解釋，基本不等式的證明和推導(dǎo)方法很多.借助分析法，從數(shù)量關(guān)系的角度，利用不等式的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)基本不等式；從幾何解釋的角度，借助幾何直觀，通過(guò)數(shù)形結(jié)合探究基本不等式；后面在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)后，也可以從函數(shù)的角度構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明基本不等式等，這也是代數(shù)推導(dǎo)證明和幾何解釋的典型.
基本不等式是一種特殊的不等關(guān)系，它的代數(shù)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型思想的一個(gè)范例，借助這個(gè)模型可以求一些實(shí)際問(wèn)題的最大（小）值，同時(shí)在理解基本不等式的過(guò)程中涉及變與不變、變量與常量、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等思想方法.
類比初中相等關(guān)系的學(xué)習(xí)內(nèi)容和研究方法，引入了不等關(guān)系的內(nèi)容，基本不等式又是一種特殊的不等關(guān)系，它是不等關(guān)系的一種延續(xù)，也為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)作了知識(shí)和方法的鋪墊.同時(shí)基本不等式在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)基本不等式的必要性.初中學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基本不等式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用做了理論和方法的鋪墊.掌握基本不等式的幾何意義、文字?jǐn)⑹觥⒎?hào)表示，對(duì)于后面學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容、不等式、解決最值問(wèn)題等知識(shí)意義重大.
基本不等式內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生理解基本不等式的幾何意義和代數(shù)意義；掌握用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題中最值問(wèn)題；提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).
基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的定義、證明方法、幾何解釋，用基本不等式解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題.
二、單元目標(biāo)和目標(biāo)解析
1.單元目標(biāo)
（1）理解基本不等式
，掌握基本不等式的主要內(nèi)容、文字表述、幾何解釋等發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、邏輯推理的能力.
（2）運(yùn)用分析法證明基本不等式，理解用分析法證明不等式的格式.
（3）結(jié)合具體實(shí)例，運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）知道基本不等式的內(nèi)容，明確基本不等式就是“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”，會(huì)利用不等式的性質(zhì)證明基本不等式，能說(shuō)明基本不等式的幾何意義.
（2）學(xué)生能夠掌握用分析法證明基本不等式的格式：分析法在書(shū)寫(xiě)過(guò)程中必須有相應(yīng)的文字說(shuō)明，一般每一步的推理都要用“要證...只要證...”，當(dāng)推導(dǎo)到一個(gè)明顯成立的條件之后，指出“顯然
成立”.
（3）學(xué)生能結(jié)合具體實(shí)例，明確基本不等式的使用條件和注意事項(xiàng)，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型識(shí)別和理解實(shí)際問(wèn)題，能用基本不等式求最大值和最小值；在解決實(shí)際問(wèn)題中，體會(huì)基本不等式的作用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
三、單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析
學(xué)生缺少代數(shù)證明不等式的經(jīng)驗(yàn)，所以基本不等式的證明是本節(jié)課得的一個(gè)難點(diǎn).基本不等式的幾何解釋也是學(xué)生不容易想到的，需要數(shù)形結(jié)合的解釋，所以這也是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).
學(xué)生利用基本不等式解決最值問(wèn)題時(shí)存在一定困難.在利用基本不等式求最值時(shí)容易出現(xiàn)忽視使用條件，不驗(yàn)證等號(hào)是否成立，甚至出現(xiàn)沒(méi)有確認(rèn)積或和為定值就求最值等問(wèn)題，這也是學(xué)生思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋憩F(xiàn).在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生對(duì)理解和識(shí)別實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，利用基本不等式的模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的能力有待提高. 因此基本不等式的證明和利用基本不等式求最值也是本節(jié)課的難點(diǎn)。
四、單元教學(xué)支持條件分析
可利用信息技術(shù)制作動(dòng)態(tài)圖，幫助學(xué)生數(shù)形結(jié)合理解基本不等式的幾何解釋;在利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可以利用視頻軟件播放相關(guān)視頻，激發(fā)學(xué)生利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的熱情,并利用如希沃白板等軟件的傳屏功能即時(shí)展示學(xué)生的解題過(guò)程
五、課時(shí)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
第一課時(shí)
課時(shí)教學(xué)內(nèi)容
基本不等式的定義、幾何解釋、證明方法與應(yīng)用.
課時(shí)教學(xué)目標(biāo)
（1）通過(guò)證明基本不等式的過(guò)程，滲透分析法的證明思想，理解基本不等式
，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，結(jié)合幾何解釋，提升直觀想象素養(yǎng).
（2）結(jié)合具體事例，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最值的問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋、用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.
教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式的證明和幾何解釋，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
（一）基本不等式的定義
導(dǎo)入語(yǔ)：我們知道，在代數(shù)運(yùn)算中乘法公式發(fā)揮著重要的作用，那么，是否也有一些不等式，它們?cè)诮鉀Q不等式問(wèn)題時(shí)有著與乘法公式類似的作用呢？今天我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.
復(fù)習(xí)：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們借助趙爽弦圖得出了重要不等式
，你能對(duì)重要不等式進(jìn)行證明嗎？等號(hào)成立的條件是什么？你能從圖形中對(duì)“等號(hào)成立”進(jìn)行解釋嗎？
問(wèn)題1：當(dāng)
時(shí)，我們用
分別代替重要不等式
中的
，可以得到怎樣的式子？
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后回答.教師總結(jié)：對(duì)于
，得到
，變形為
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，等號(hào)成立，通常稱其為基本不等式. 其中，
叫做兩個(gè)正數(shù)
的算術(shù)平均數(shù)，
叫做兩個(gè)正數(shù)
的幾何平均數(shù).
追問(wèn)：用文字語(yǔ)言描述基本不等式，有助于加深對(duì)它的理解，現(xiàn)在你能用文字語(yǔ)言來(lái)表述一下基本不等式嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)取前面得到的不等式
的特殊形式，得到基本不等式
，同時(shí)在兩個(gè)不等式之間建立聯(lián)系.通過(guò)分析基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，得到基本不等式的代數(shù)解釋，即：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí).
（二）基本不等式的證明
問(wèn)題2：前面，我們通過(guò)代換法獲得了基本不等式，也已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)，那么能否直接利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？
師生活動(dòng)：學(xué)生可能采用作差比較法證明上式.教師肯定學(xué)生的做法后，給出分析法的證明過(guò)程，同時(shí)指出，只要把上述過(guò)程倒過(guò)來(lái)就能用不等式的性質(zhì)直接推出基本不等式了.
追問(wèn)1：上述證明中，每一步推理的基本依據(jù)是什么？
追問(wèn)2：上述證明方法叫做“分析法”，你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？
追問(wèn)3：根據(jù)分析法的證明過(guò)程，說(shuō)說(shuō)分析法的證明格式是怎樣的？
【設(shè)計(jì)意圖】直接利用不等式的性質(zhì)，用分析法也可以導(dǎo)出基本不等式，讓學(xué)生體會(huì)分析法的思路實(shí)際上是尋找結(jié)論成立的一個(gè)充分條件，明確推理的邏輯順序.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分析法的證明思路和證明過(guò)程，為學(xué)生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略.
（三）基本不等式的幾何解釋
問(wèn)題3：如圖，
是圓
的直徑，點(diǎn)
是
上一點(diǎn)，
.過(guò)點(diǎn)
作垂直于
的弦
，連接
、
，你能用
來(lái)表示
嗎？
追問(wèn)：數(shù)形結(jié)合可以幫助我們更直觀的理解問(wèn)題，結(jié)合我們給出的圖形，你能從幾何角度給出基本不等式的解釋嗎？
師生活動(dòng)：教師利用幾何畫(huà)板給出動(dòng)態(tài)圖形，展示由不等到相等再到不等的轉(zhuǎn)化過(guò)程，幫助學(xué)生直觀理解.
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自己尋找基本不等式的幾何解釋是非常困難的，因此這里直接給出了幾何圖形，并引導(dǎo)學(xué)生將
與
圖中的幾何元素建立起來(lái)聯(lián)系，再觀察這些幾何元素在變化中表現(xiàn)的大小關(guān)系規(guī)律，從而獲得基本不等式的幾何解釋，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解基本不等式的內(nèi)涵.
（四）基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用
例1 已知
，求
的最小值.
追問(wèn)1：本題中要求最小值代數(shù)式有什么結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)？是否可以利用基本不等式求最小值？如果能？怎么求？
追問(wèn)2：若去掉條件
，最小值還是2嗎？
追問(wèn)3：上述解答中，是否必須說(shuō)明“當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時(shí)，等號(hào)成立”？
追問(wèn)4：已知
，則
成立嗎？1是
的最小值嗎？為什么？
判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.
（1）
的最小值是4.
（2）
的最小值是6.
（3）
的最小值是2.
思考：你能說(shuō)說(shuō)滿足什么條件的代數(shù)式能夠利用基本不等式來(lái)求最值嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答.教師總結(jié)：代數(shù)式是否能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)的積為定值，不等式中等號(hào)能否取到，即：“一正、二定、三相等”.
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所求代數(shù)式的形式，判斷是否能利用基本不等式解決問(wèn)題，同時(shí)強(qiáng)調(diào)代數(shù)式的最值必須是代數(shù)式能取到的值，為學(xué)生解決代數(shù)式的最值問(wèn)題提供示范.
問(wèn)題4：通過(guò)剛才的分析和總結(jié)，現(xiàn)在你能嘗試自己編制一道類似的求最值的問(wèn)題嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試并相互交流，教師請(qǐng)同學(xué)說(shuō)說(shuō)自己編的題，為什么這么編？并總結(jié)：如果兩個(gè)數(shù)的積為定值，那么它們的和有最小值（積定和最小），即：如果積
等于定值P，那么當(dāng)
時(shí)，和
有最小值
.
追問(wèn)：類比剛才的問(wèn)題，如果兩個(gè)數(shù)的和為定值，那么它們的積是否有最值呢？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考并相互交流，教師總結(jié)：如果兩個(gè)數(shù)的和為定值，那么它們的積有最大值（和定積最大），即：如果和
等于定值S，那么當(dāng)
時(shí)，積
有最大值
.
【設(shè)計(jì)意圖】在例1的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)初步找到求最值的數(shù)學(xué)模型，這時(shí)通過(guò)讓學(xué)生自己編題，讓學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，并獲得成功的喜悅. 類比思考既是數(shù)學(xué)常用的思考方法，又讓學(xué)生積極參與的基本不等式的應(yīng)用中，同時(shí)借這兩個(gè)問(wèn)題指出用基本不等式能夠解決的兩類問(wèn)題，為用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)造了條件.
（五）歸納小結(jié)
本節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？用到了哪些思想方法？
（六）布置作業(yè)
必做題：教材第46頁(yè)習(xí)題A組的第1,2題；
選做題：請(qǐng)同學(xué)們課后在網(wǎng)上查找基本不等式的其他代數(shù)、幾何證明方法，整理并相互交流.
【設(shè)計(jì)意圖】課堂作業(yè)加深學(xué)生對(duì)基本不等式的理解和應(yīng)用，課后作業(yè)拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)其數(shù)形結(jié)合的能力.
（七）板書(shū)設(shè)計(jì)
2.2 基本不等式
1.重要不等式 例
2.基本不等式
“一正”“二定”“三相等”
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（八）教學(xué)反思
本節(jié)課在課堂問(wèn)題設(shè)計(jì)方面，力爭(zhēng)提問(wèn)準(zhǔn)確到位，以便于學(xué)生思考和回答.教師的一系列“設(shè)問(wèn)”、“追問(wèn)”與學(xué)生的遞進(jìn)式“作答”、“再答”，吸引學(xué)生主動(dòng)思考，并引導(dǎo)學(xué)生嘗試分析，遷移，由淺入深、層層遞進(jìn)地開(kāi)展數(shù)學(xué)“微探究”學(xué)習(xí). 在課堂中，能夠明確教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)課堂師生活動(dòng)突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).設(shè)計(jì)中利用幾何畫(huà)板的演示，使學(xué)生感性的認(rèn)識(shí)基本不等式，化解了等號(hào)成立這一難點(diǎn)，同時(shí)給予兩個(gè)最值模型了幾何解釋，為學(xué)生后面主動(dòng)應(yīng)用基本不等式解決最值問(wèn)題打下了基礎(chǔ). 例題的設(shè)計(jì)，來(lái)源于教材，又不拘泥于教材，剛學(xué)生感受到知識(shí)生長(zhǎng)的自然而然.
第二課時(shí)
課時(shí)教學(xué)內(nèi)容
本課時(shí)主要內(nèi)容:利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題.
課時(shí)教學(xué)目標(biāo)
1.掌握基本不等式的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型：
.
模型一：若
（定值），則
時(shí)，
；
模型二：若
（定值），則
時(shí)，
.
2.會(huì)運(yùn)用基本不等式解決某些實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題.
3.在問(wèn)題的解決過(guò)程中，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
4.在用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的眼光看世界的能力.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：結(jié)合具體實(shí)例，利用基本不等式解決某些實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題.
教學(xué)難點(diǎn)：從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型，利用基本不等式解決最值問(wèn)題.
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
教學(xué)流程：
（一）創(chuàng)設(shè)情景、構(gòu)建新知
導(dǎo)入語(yǔ)：當(dāng)今我們生活在一個(gè)和平時(shí)代，是幸福的!我們可以豐衣足食，無(wú)憂無(wú)慮；可以安靜的坐在裝備齊全的教室里接受教育，那是因?yàn)槲覀兩钤谝粋�(gè)和平的國(guó)家.“輕舟雖晚，終回家國(guó)”，隨著我國(guó)綜合實(shí)力的不斷增強(qiáng)，世界影響力越來(lái)越大，各項(xiàng)產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，電子產(chǎn)業(yè)也不例外，請(qǐng)看下面短片.
【短片主要內(nèi)容是隨著改革開(kāi)放以來(lái)我們電子屏技術(shù)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，比如：早期CRT電腦顯示器（陰極射線顯像管,)—新生代 LCD電腦顯示器—現(xiàn)役主流 LED電腦顯示器—未來(lái)OLED電腦顯示器】
這些變化離不開(kāi)黨的正確領(lǐng)導(dǎo)和科研人員的攻堅(jiān)克難，未來(lái)電子屏技術(shù)將取得怎樣的突破還需要我們的不懈努力.本節(jié)課我們也充當(dāng)一次設(shè)計(jì)師的角色，解決以下問(wèn)題：
問(wèn)題1：視頻中我們觀察到的顯示屏是什么形狀的？
問(wèn)題2：為了便于攜帶，如果要使觀看面積不變的條件下，
周長(zhǎng)最短，應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)顯示屏的長(zhǎng)和寬呢？最短周長(zhǎng)是多少？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答.教師引導(dǎo)指出：這里可以以
常用的全面屏PAD為例，不妨假設(shè)面積是100 cm²，這就是我們
的例3(1).
例3(1)：如圖1要設(shè)計(jì)一面積為100 cm²的全面屏矩形顯示屏，
則這個(gè)顯示屏的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，周長(zhǎng)最短.最短的周長(zhǎng)是多少？
【設(shè)計(jì)意圖】長(zhǎng)方形等周問(wèn)題是均值不等式的源頭之一，這里通過(guò)展現(xiàn)改革開(kāi)放以來(lái)我國(guó)電子信息方面發(fā)生的翻天覆地變化，讓學(xué)生感受到國(guó)家的強(qiáng)大，體會(huì)民族自豪感,同時(shí)拋出問(wèn)題1、問(wèn)題2引出例3（1）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).讓學(xué)生去思考建模，從而引入基本不等式的應(yīng)用，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性,滲透課程思政的教育思想！
追問(wèn)1：上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述例3(1)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)出來(lái),從而把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.學(xué)生思考后回答：例3(1)可以轉(zhuǎn)化為：已知矩形面積，求邊長(zhǎng)多長(zhǎng)時(shí)周長(zhǎng)最短的問(wèn)題.實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)積為定值，求當(dāng)兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)和有最小值的問(wèn)題.如果顯視屏相鄰兩條邊長(zhǎng)分別為
cm,
cm,那么例3(1)中的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：已知
求
的最小值.
追問(wèn)2：對(duì)于上述問(wèn)題我們可以用什么知識(shí)來(lái)解決？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答：基本不等式.教師：基本不等式是解決最值問(wèn)題的有力工具，為了用好這把工具，下面我們來(lái)回顧基本不等式的基本內(nèi)容.引導(dǎo)學(xué)生作答，教師總結(jié)如下：
1.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖
2.基本不等式：
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào).
前提條件：“一正、二定、三相等”.
3.兩類模型：
.
模型一：若
（定值），則
時(shí)，
；
模型二：若
（定值），則
時(shí)，
.
【設(shè)計(jì)意圖】與第一章一樣，本章也是高中數(shù)學(xué)的預(yù)備知識(shí)，通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生觀看本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的整體性和聯(lián)系性.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)基本不等式及其兩種數(shù)學(xué)模型.為進(jìn)一步利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題做好鋪墊與過(guò)渡.
追問(wèn)3：例3(1)中的問(wèn)題可以用基本不等式的哪類模型求解？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答：例3(1)對(duì)應(yīng)模型一.學(xué)生完善解答過(guò)程，教師予以規(guī)范，并板書(shū).
預(yù)設(shè)答案：
解(1)：設(shè)矩形顯示屏的相鄰兩條邊的長(zhǎng)分別為
cm，
cm，則
，籬笆長(zhǎng)為
cm.
由
可得
，當(dāng)且僅當(dāng)
cm時(shí)，上式等號(hào)成立.
答：當(dāng)這個(gè)矩形顯示屏是邊長(zhǎng)為10 cm的正方形時(shí)，所用周長(zhǎng)最短，最短周長(zhǎng)是40 cm.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例3（1)幫助學(xué)生理解如何利用基本不等式模型理解和識(shí)別實(shí)際問(wèn)題，從而用基本不等式解決問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型思想.
追問(wèn)4：例3(1)中我們計(jì)算的結(jié)果是設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為10cm的正方形，但是我們的PAD或者常用的電腦屏通常不是正方形，你知道原因嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，為了便于攜帶、美觀等.教師總結(jié)：除了美觀外主要還是因?yàn)槲覀冄劬Φ臋M縱向視角不同，橫向視角大概160°，而縱向視角只有80°左右,所以為了滿足視角需要常常把屏設(shè)計(jì)成長(zhǎng)方形的.在實(shí)際問(wèn)題中，影響最終方案確定的因素往往不唯一.
問(wèn)題3：在例3(1)中我們是保證矩形顯示屏的面積不變，求周長(zhǎng)的最小值，那么如果我們固定矩形顯示屏的周長(zhǎng)，不妨假設(shè)周長(zhǎng)是36cm,你會(huì)求其面積的最大值嗎？這就是我們的例3(2).
例3(2)：如圖2要設(shè)計(jì)一周長(zhǎng)為36cm的全面屏矩形顯示屏，問(wèn)
這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，觀看面積最大.最大面積是多少？
追問(wèn)1：上述問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述例3(2)，并用數(shù)學(xué)
符號(hào)表達(dá)出來(lái),從而把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.學(xué)生思考后回答：
例3(2)可以轉(zhuǎn)化為：已知矩形周長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)多長(zhǎng)時(shí)面積最大的問(wèn)題.實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)和為定值，求當(dāng)兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)積有最大值的問(wèn)題.如果顯視屏相鄰兩條邊長(zhǎng)分別為
cm,
cm,那么例3(2)中的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：已知
求
的最大值.
追問(wèn)2：對(duì)于上述問(wèn)題我們可以用什么知識(shí)來(lái)解決？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答：基本不等式.
追問(wèn)3：上述問(wèn)題對(duì)應(yīng)基本不等式的哪類模型？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答：基本不等式對(duì)應(yīng)的模型二.并由學(xué)生完善解答過(guò)程，教師予以規(guī)范并板書(shū).
預(yù)設(shè)答案：
解(2)：設(shè)矩形顯示屏相鄰兩條邊長(zhǎng)分別為
cm，
cm，則
，
即：
，矩形顯示屏的面積為
cm
2.
由
可得
，當(dāng)且僅當(dāng)
cm時(shí)，上式等號(hào)成立.
答：當(dāng)這個(gè)矩形顯示屏是邊長(zhǎng)為9 cm的正方形時(shí)，最大面積是81 cm
2.
追問(wèn)4： 通過(guò)例3，你能總結(jié)利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟是什么？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧在例3的解題過(guò)程中回答的層層追問(wèn)，由學(xué)生給出具體步驟，教師總結(jié)如下：1. 尋找實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)；2. 選擇合適的數(shù)學(xué)模型；3. 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；4.回答實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.這就是我們常說(shuō)的“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活”.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例3(2)進(jìn)一步幫助學(xué)生理解如何利用基本不等式模型理解和識(shí)別實(shí)際問(wèn)題，從而用基本不等式解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的模型思想.并幫助學(xué)生總結(jié)利用基本不等式的兩種數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的具體步驟.
（二）鞏固強(qiáng)化、學(xué)以致用
問(wèn)題4：除了例3，你能否列舉出我們生活中可以利用基本不等式求最值問(wèn)題的實(shí)例？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后列舉，教師總結(jié).
我們身邊這種例子很多,除了我們剛剛觀看的PAD屏，手機(jī)屏，電腦，電視屏等小屏，還會(huì)出現(xiàn)很多大屏，比如：大型超市、商場(chǎng)等外墻一般會(huì)懸掛大型顯示屏(如圖3、圖4），用來(lái)展示當(dāng)天的商品信息.我們知道這種大屏易碎，所以一般是用框架固定的.
圖3 圖4 圖5
練習(xí)：要用一段長(zhǎng)為10 m的材料圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形框鑲嵌超市外墻顯示屏（圖5），則這個(gè)矩形框邊長(zhǎng)為多少時(shí)，可鑲嵌的顯示屏面積最大.最大面積是多少？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生按照利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的步驟分析如上練習(xí)，學(xué)生思考后作答，教師利用希沃白板投屏展示學(xué)生的解答過(guò)程，并予以規(guī)范.
追問(wèn)1：如果練習(xí)中原有條件和問(wèn)題不變，加“墻長(zhǎng)4 m”這一條件，又該如何解答？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用基本不等式無(wú)法解決這一問(wèn)題，因?yàn)榈忍?hào)無(wú)法取到.學(xué)生思考后回答：可以利用二次函數(shù)解答,并在課下完成.
【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，并解決問(wèn)題，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和能動(dòng)性，真正讓學(xué)生成為課堂的主人.同時(shí)追問(wèn)1的設(shè)計(jì)旨在幫助學(xué)生深刻體會(huì)應(yīng)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意“一正，二定，三相等”等條件,同時(shí)為了不沖淡本節(jié)課的主題，所以讓學(xué)生課下完成二次函數(shù)解題.
（三）創(chuàng)設(shè)情境、構(gòu)建新知
我們的日常生活中除了常用的小顯示屏，常見(jiàn)的大顯示屏，其實(shí)在一些科技館、展覽館還會(huì)見(jiàn)到用顯示屏搭建的長(zhǎng)方體視頻屋（圖6、圖7）：
圖6 圖7
問(wèn)題5：這樣的長(zhǎng)方體大屏一般價(jià)格不菲，在保證清晰度、高、容積不變的前提下，搭建費(fèi)用是商家最為關(guān)心的問(wèn)題，怎樣設(shè)計(jì)才能使得搭建費(fèi)用最少呢？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)指出：因?yàn)閱?wèn)題5中視頻屋的容積，高，每平方米的造價(jià)是固定的，所以我們不妨給出具體值，這就是我們的例4.
例4：某大型展廳，要建造一個(gè)長(zhǎng)方體視頻屋（圖7），容積為48m³，高為3m.如果視頻屋上下底每平方米的造價(jià)為1500元，墻壁每平方米的造價(jià)為1200元（門(mén)的面積是2m
2），那么怎樣設(shè)計(jì)視頻屋能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？
追問(wèn)1：長(zhǎng)方體的體積公式是怎樣的？本題中哪些量是不變的，哪些量是變化的？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答
:
長(zhǎng)方體體積：
；
不變的量：體積，高，底面積；
變化的量：底面邊長(zhǎng)和側(cè)面積.
追問(wèn)2：顯示屏的總費(fèi)用是由哪個(gè)量來(lái)決定的？若設(shè)地面
相鄰的兩邊分別為
m和
m，你能寫(xiě)出顯示屏總費(fèi)用z的表達(dá)
式嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師總結(jié)：
上下底造價(jià)：
側(cè)面造價(jià)：
總造價(jià)：
最后由學(xué)生完善解題過(guò)程.
預(yù)設(shè)答案：
解：設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長(zhǎng)分別為
m，
m，水池的總造價(jià)為
元，根據(jù)題意有：
由容積為48 m³，可得
，因此
，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，上式等號(hào)成立．
答：貯水池的池底設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為4 m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為103200元．
【設(shè)計(jì)意圖】例4的背景更加復(fù)雜，設(shè)計(jì)追問(wèn)1和追問(wèn)2旨在引導(dǎo)學(xué)生探索例4這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并用數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)出來(lái)，最后選擇基本不等式適用的數(shù)學(xué)模型求解，本問(wèn)題在前面例題的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題的能力，提升他們的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
（四）歸納小結(jié)
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能說(shuō)說(shuō)你學(xué)到了哪些知識(shí)和方法？有什么體會(huì)？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師總結(jié)：
1.復(fù)習(xí)了基本不等式的內(nèi)容：
2.利用基本不等式的兩種數(shù)學(xué)模型解決了，例3，練習(xí)，例4等實(shí)際問(wèn)題.
3.總結(jié)了解決實(shí)際問(wèn)題的具體步驟：（1）尋找實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，(2)選擇合適的數(shù)學(xué)模型，(3)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，(4）回答實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.
4.我們要習(xí)慣于用：用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界!
【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法，注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想.
（五）作業(yè)設(shè)計(jì)
1.書(shū)面作業(yè)：教科書(shū)習(xí)題2.2 : 第3 ,6題.
2.思考作業(yè)：
某體育場(chǎng)需建造隔熱層(如圖8），并要求隔熱層的使
用年限為15年.已知每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬(wàn)元，
設(shè)每年的能源消耗費(fèi)用是C萬(wàn)元，隔熱層的厚度是x厘米，
兩者滿足關(guān)系式：
，若無(wú)隔熱 圖8
層，則每年的能源消耗費(fèi)用為6萬(wàn)元.15年的總維修費(fèi)用為10萬(wàn)元，記y為15年的總費(fèi)用.(總費(fèi)用=隔熱層的建造成本費(fèi)用+使用15年的能源消耗費(fèi)用+15年的總維修費(fèi)用）.
（1）求15年的總費(fèi)用y的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)問(wèn)當(dāng)隔熱層的厚度為多少厘米時(shí)，15年的總費(fèi)用y最小，并求出最小值.
【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
（六）板書(shū)設(shè)計(jì)
2.2 基本不等式（第二課時(shí)）
知識(shí)點(diǎn)回顧：
例3：
一. 基本不等式 變式：
二. 兩種模型 例4：
三．基本不等式的應(yīng)用 |
（七）教學(xué)反思
本節(jié)課利用電子屏飛速發(fā)展的視頻引入課題，使學(xué)生經(jīng)歷從生活中常用的小顯示屏—大顯示屏—立體屏的尺寸設(shè)計(jì)過(guò)程，感受解決這一實(shí)際問(wèn)題的必要性，逐步構(gòu)造例3—練習(xí)—例4，并引導(dǎo)學(xué)生選擇基本不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題，最終總結(jié)出了利用基本不等式的模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟.
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步理解了基本不等式的內(nèi)容，明確了基本不等式的使用條件：“一正，二定，三相等”，初步掌握了如何選擇基本不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題.提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
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