視頻簡介：
視頻標簽：部編版高中新教材
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：部編版高中新教材優質課比賽（省賽）數學人教A版必修第一冊1.2集合間的基本關系教學
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數學人教A版必修第一冊1.2集合間的基本關系教學
1.2集合間的基本關系
一、內容和內容解析
1.內容
集合之間的包含與相等的含義；子集、真子集與空集的概念；集合的Venn圖表示．
2.內容解析
本節課是人教版《普通高中教科書數學必修第一冊》第一章第2節的內容，是第1節內容的延續，也是第3節學習內容的先行課。集合語言是高中數學的基礎語言，通過對集合子集的集合語言描述、符號語言描述和圖形語言描述，以及三者之間的轉化，學生可以為后續學習函數并用集合語言描述函數提供依據，而子集概念的提出，為函數研究局部（即在函數定義域內的某個子集上）性質，提供了合理而規范的描述。
集合的基本關系涵蓋了集合的包含和相等兩個重要關系。在判斷這兩個關系時，回歸到了對集合內元素的理解，判斷集合的關系，其實就是去判斷集合內元素的關系，對于學生深刻理解、辨析屬于和包含關系，是有一定幫助的。
符號化是數學語言的基本特質，圖形化又可以讓語言變得形象和直觀，對于本節課，學生不僅要理解包含關系和相等關系的自然語言描述，符號語言描述和圖形語言描述，還需要在這三者之間進行相互的轉化和貫通，這樣不僅有利于數學問題的描述，同時也能不斷提高學生概括和抽象素養。
結合以上分析，確定本節課的教學重點：集合間包含與相等的含義和相關語言描述．
二、目標和目標解析
1.目標
（1）理解集合之間的包含與相等的含義；
（2）能識別給定集合的子集，了解空集含義；
（3）能進行自然語言、圖形語言（Venn圖）、符號語言間的轉換．
2.目標解析
達成上述目標的標志是：
（1）會通過觀察，得到本節課所要研究的主要問題；能從元素與集合間關系的角度，分析兩個集合之間的包含與相等關系，并用自然語言、符號語言、圖形語言表示這些關系；
（2）對于具體的集合，能寫出集合的子集；能判斷一個集合是否是另一個集合的子集；
（3）了解空集的概念，知道空集也是一個集合，以及空集與其他集合的關系．
（4）在具體問題情景中（比如在例題分析和解答過程中），能根據需求進行自然語言、符號語言和圖形語言（Venn圖）的轉換.
三、教學問題診斷分析
學生在初中數學學習中，已經接觸過實體的集合，對于數集、點集等有了一定的感性認識.但是從實體集合中抽象出兩個集合的概念，對于初學者來說，還是有一定難度的.對于本節課中對于——元素與集合、集合與集合之間關系的符號語言描述的區別，在初學階段還是需要學生細致對待的.
讓學生根據已有的知識，去描述相關的抽象概念，在本節課的內容中的具體體現還是比較多的，尤其是符號語言和圖像語言的相互轉化，在教學時還是應該過多關注的。再者就是對于空集的理解.本身空集的概念中“不含任何元素”，對于剛學會用列舉法和描述法表示集合的學生來說，就是比較抽象的，同時也容易和我們所學習的集合{0}等產生混淆.另外規定空集和其他集合的關系,在理解上，不能一時被學生接受.
本節課的教學難點是集合基本關系的符號語言描述、圖形語言描述及轉化；對空集的了解．
四、教學過程設計
（一）創設情境，引入概念
創設情境：開學伊始，立德中學的高一新生迎來了自己的高中新生活。學校學生會也在這一個時間點開展了社團的高一學生招新活動。文學社招新初始的報名人數有6人，經過篩選，最終有3位同學獲得入選。
思考以下問題：
（1）初始報名的6人能組成集合嗎？入選的3位同學是否可以組成集合？
（2）入選的同學記為集合
,初始報名的同學記為
，這兩個集合是否有關系？如何研究？
師生活動：學生集體回答教師多媒體上顯示的問題（1），再由教師引導學生回答問題（2），有目的的讓學生了解研究這個問題的方向。
【設計意圖】：通過開學社團招新引入課題，有助于學生把學習知識和生活實際相互聯系，同時也容易引起學生的共鳴，提升課堂教學的趣味性，有利于課堂的展開。在過程中，教師手書集合內的元素，有利于學生思考和發現研究集合間基本關系的途徑。
問題1：怎樣描述剛才兩個集合內元素的關系？
問題2：集合
B中的元素都在
A中嗎？
知識點1．子集的含義： 一般地，對于兩個集合
A,B, 如果集合
A中任意一個元素都是集合
B中的元素，就稱集合
A為集合
B的子集，記作
（或“
”），
讀作“
A包含于
B”（或“
B包含
A”）．
活動1：學生試著用圖形語言描述集合的包含關系,并上黑板展示.
Venn圖法描述：
師生活動：教師引導學生從集合中包含的元素角度梳理觀察、討論、分析的結果，抽象概括成數學定義，介紹包含關系，讓學生類比用數軸表示數的方式，思考能否用圖形表示集合之間的包含關系，并形成結論，最后由教師引入Venn圖。
【設計意圖】：讓學生通過觀察，在教師的引導下獨立思考，完成對包含關系的理解，自主完成知識點的發現過程，有助于培養學生數學抽象和概括的能力。
（二）深入探究，形成結論
隨堂練習1：
在下列各題中，判斷集合
A是否是集合
B的子集.
（1）
（2）
（3）
（4）
師生活動：（1）學生自主完成習題，教師請學生回答相應結果，并讓學生能夠說出自己判斷的依據；（2）教師由練習4，讓學生回顧在第1節學習時理解的集合相等，讓學生思考集合相等和包含關系的聯系，讓學生試著用符號語言描述集合相等.
【設計意圖】：（1）讓學生把自行理解的包含關系用于集合包含關系的判斷，學以致用；（2）學生通過練習，發現集合的相等關系其實是可以用包含關系來進行描述的，為相等知識點的介紹埋下伏筆.
知識點2．集合相等：
一般地，如果集合
A的任何一個元素都是集合
B中的元素，同時集合
B中的任何一個元素都是集合
A中的元素，那么集合
A和集合
B相等，記作
A=B.
問題3：能否用符號語言描述集合相等？
若
且
，則
.
問題4：能否用Venn圖表示集合相等？
師生活動：學生根據提問，自行解決問題，教師從旁引導.
【設計意圖】：讓學生深刻理解不同語言在數學問題描述中的重要作用，同時學會在這些語言之間進行相互的轉化，形成自主探索的能力，培養學生的概括能力和抽象的數學素養.
隨堂練習 2
判斷下列兩個集合中是否相等.
（1）
（2）
師生活動：學生自主完成習題，教師請學生回答相應結果，并讓學生能夠說出自己判斷的依據；
【設計意圖】：讓學生把自行理解的相等關系用于集合相等的判斷，學以致用.
追問：通過集合相等，我們知道一個集合是其本身的子集，那么一個集合的子集只有它本身嗎？如果不是，那么這些子集應該是怎樣的一種存在呢？
活動2：文學社預備從新社員組成的集合
中挑選社員，組成代表隊（用集合表示）參加區作文比賽，不限人數，請同學們提供一份詳細的選派方案。
選派方案：
選派一人：
選派兩人：
選派三人：
問題5：如果主辦方因為人力不可控因素（如突發自然災害），而取消比賽，則不需要選派選手參加比賽，怎樣表示這種情況下的選派集合呢？
知識點3.空集：
一般的，我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記為
.
并規定：空集是任何集合的子集.
新選派方案：
不派人：
選派一人：
選派兩人：
選派三人：
師生活動：（1）學生通過提示寫出相應的選派方案，教師在旁提示：是否可以從選派人員的數目上加以調控;（2）在問題5中，讓學生理解空集的相關概念.
【設計意圖】：（1）讓學生理解寫出的選派方案其實就是集合
A的子集，從而學會非空可數集合子集的尋找方式；（2）通過問題5，既可以讓學生理解空集的概念，又可以讓學生理解空集是任何集合的子集這一個規定.
問題6：這些選派方案中的集合，和原集合
是什么關系？
問題7：在上述所有的子集中如果去掉集合
，剩余的子集和原集合在元素數目上有什么區別？
知識點4.真子集的定義
如果集合
，但存在元素
，且
，就稱集合
A是集合
B 的真子集.記作:
⊊B（或
B⊋
A）.讀作：
A真包含于
B（
B真包含
A）.
師生活動：學生觀察新選派方案，概括出自己看到的集合內元素的特點，總結出對應集合的關系.
【設計意圖】：讓學生理解真子集的概念，提高抽象素養.
問題8：如果集合
且集合
,能否得到
？
知識點5.子集的性質：
(1)
(2)
師生活動：學生根據提示，和之前學習的集合相等，得到相關結論.
【設計意圖】：讓學生了解子集的性質.
（三）概念的鞏固應用
例1 判斷下列各題中的符號使用是否正確.
(1)
(2)
(3)
(4)
師生活動：學生判斷，教師給出解答示范．
【設計意圖】：檢驗學生對子集概念的掌握情況，進一步明確判斷符號語言在集合表示和關系判斷中的作用。
例2.已知集合
，
（1）試一試用數軸表示集合
B；
（2）集合
A可以為空集嗎？
（3）若
，求實數
的取值范圍．
師生活動：學生分析解題思路，教師給出解答示范．
【設計意圖】：鞏固符號語言和圖形語言之間的互相轉化．
（四）目標檢測：
1．集合
A=｛
x|(
x-3)(
x+2)
=0｝，
B=｛
x|
=0｝，則
A與
B的關系是（ ）．
A．
A⊆
B B．
A=
B C．
A⫋
B D．
B⫋
A
【答案】D
師生活動：學生做練習，教師根據學生練習情況給予反饋．
【設計意圖】：檢驗學生對集合和子集的理解．
2．已知集合
A=｛
x|-5＜
x＜2｝，
B=｛
x|2
a-3＜
x＜
a-2｝．
（1）若
a=-1，試判斷集合
A，
B之間是否存在子集關系；
（2）若
A⊇
B，求實數
a的取值范圍．
【答案】（1）
B是
A的真子集．
（2）
a≥-1．
師生活動：學生做練習，教師根據學生練習情況給予反饋．
【設計意圖】：這題相對有一定難度，考察學生對于空集的理解，估計很多學生會忽略空集的情況，這也是今后學習時一個重要的考慮情況．
（五）歸納總結、布置作業
教師引導學生回顧本節知識，并回答以下問題：
（1）兩個集合間的基本關系有哪些？如何判斷兩個集合間的關系？
（2）你是如何研究集合間基本關系的？
（3）包含關系與屬于關系有什么區別？比如{
a}⊆
A與
a∈
A？
【設計意圖】：從知識內容和研究方法兩個方面對本節課進行小結．
布置作業：教科書習題1.2第1，2，3，4．
（六）板書設計
（七）教學反思
本節課是在完成集合概念教學的第二節課，主要是研究集合間的基本關系：包含關系和集合相等.在教學過程中，通過對實際生活中例子的講解和分析，學生通過自主探求，生成了相關知識點，并且能夠通過所學，能識別集合間的包含與集合相等關系，也可以用符號語言和圖形語言對相關知識點進行精確的描述，達到了預期的教育教學目標.
集合語言是高中的基本語言，通過本節課的學習，為后續學生精確描述教學內容起到了很好的鋪墊作用。
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