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視頻標簽：二項式定理
所屬欄目：高中數學優(yōu)質課視頻
視頻課題：高中數學蘇教版選修2-3第1章《1.5.1二項式定理》江蘇省 - 如東
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高中數學蘇教版選修2-3第1章《1.5.1二項式定理》江蘇省 - 如東
二項式定理教學設計
二項式定理是初中學過的多項式乘法的繼續(xù)，是排列組合知識的具體運用，定理的證明是計數原理的應用．
本節(jié)課的教學重點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教學中，采用“問題――探究”的教學模式， 把整個課堂分為呈現問題、探索規(guī)律、總結規(guī)律、應用規(guī)律四個階段．讓學生體會研究問題的方式方法，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發(fā)現和創(chuàng)造歷程．
本節(jié)課的難點是用計數原理分析二項式的展開過程，發(fā)現二項式展開成單項式之和時各項系數的規(guī)律．在教學中，設置了對多項式乘法的再認識，引導學生運用計數原理來解決項數問題，明確每一項的特征，為后面二項展開式的推導作鋪墊．再以為對象進行探究，引導學生用計數原理進行再思考，分析各項以及項的個數，這也為推導的展開式提供了一種方法，使學生在后續(xù)的學習過程中有“法”可依．
教材的探求過程將歸納推理與演繹推理有機結合起來，是培養(yǎng)學生數學探究能力的極好載體．教學過程中，讓學生充分體會到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現解決一般問題的方法．教學中我特別注重運用通項意識凡涉及到展開式的項及其系數等問題，常是先寫出其通項公式，然后再據題意進行求解．
總之，本節(jié)課遵循學生的認識規(guī)律，由特殊到一般，由感性到理性．重視學生的參與過程，問題引導，師生互動．重在培養(yǎng)學生觀察問題，發(fā)現問題，歸納推理問題的能力，從而形成自主探究的學習習慣．
1.5.1二項式定理（1）
學習目標：
1．掌握二項式定理及其簡單應用．
2．展示二項式定理的推導過程，培養(yǎng)學生類比、歸納及理性思維的能力． 學習重點：二項式定理的發(fā)現、理解和初步應用． 學習難點：二項式定理的推導與證明． 學習過程：
一、問題情境
情境：由多項式的乘法法則可以知道：
222()2abaabb＋＝＋＋
323223()()()33abababaababb＋＋＋＝＋＋＋＝ 問題1：能寫出()nab＋*()nNÎ的展開式嗎？ 二、學生活動
1、多項式乘法的再認識 問題2：1212()()aabb++的展開式有幾項，每一項怎樣構成的？ 問題3：121212()()()aabbcc+++的展開式有幾項，每一項怎樣構成的？ 2、猜測()nab＋*()nNÎ的展開式的項數及每一項 由1()abab＋＝＋
222()2abaabb＋＝＋＋
32()()()ababab＋＝＋＋＝＝322333aababb＋＋＋
就展開式的項數、每項的構成等進行研究，探究規(guī)律，進而得到猜想：
()nab＋＝()()()()122nnnn
aababb--L＋＋＋＋
問題4：上述猜想中各項的系數如何確定？ 3、探究()nab＋*()nNÎ展開式的各項系數
以3()()()()abababab+=+++展開式的系數為例探究
（1）3()ab+展開后不合并同類項共有幾項？各項的系數均為幾？
3()()()()abababab+=+++=3
2
2
2
2
2
2
3
aabababbababab＋＋＋＋＋＋＋
（2）3()ab+展開合并后有幾項？合并后各項的系數與什么有關？ （3）不具體展開3()ab+，你能分別確定3223,,,aababb的系數嗎？ （4）你能直接寫出4()ab+的展開式嗎？
（5）你能寫出()nab＋*()nNÎ的展開式嗎？你能證明它嗎？
=+nba)(L++-baCaCnnnn110+++---11
nnnrrnrnabCbaCLnnn
bC*()nNÎ 三、建構數學 二項式定理
一般地，對于*nNÎ，有
()nab＋=L++-baCaCnnnn110+++---11
nnnrrnrnabCbaCLnnn
bC*()nNÎ 右邊的多項式叫做()nab＋的二項展開式，共有n＋1項，其中C-rnrr
na
b叫做第r＋1項，也叫通項，用T r＋1表示． Cr
n（r＝0，1，„，n）叫做第r項的二項式系數．
注意：①項數：展開式共有n＋1項.
②次數：各項的次數均為n
字母a的次數按降冪排列，由n遞減到0 , 字母b的次數按升冪排列，由0遞增到n .
③二項式系數:
第1r+項的二項式系數{}(0,1,2,,)rnCrnÎL
④二項展開式的通項: 第1r+項：1rnrrrnTCab-+={}(0,1,2,,)rnÎL
四、數學運用
例1 利用二項式定理展開下列各式：
（1）6
()ab－； （2）
42(1)x
＋． 對于例1（2）中，請思考：
①展開式中的第3項的系數為多少？
②展開式中的第3項的二項式系數為多少？ ③你能直接求展開式的第3項嗎？ ④你能直接求展開式中2x-的系數嗎？ 五、當堂鞏固 1. 利用二項式定理展開下列各式：
(1)5(1)x+ (2)4(2)x-
2.求6(12)x-展開式中第三項的系數與二項式系數及含2x的項。 六、課堂小結 知識方法：
（1）二項式定理及二項展開式的特征． （2）區(qū)別二項式系數、項的系數．
（3）掌握用通項公式求二項式系數，項的系數及項． 思想方法：
(1) 從特殊到一般的數學思維方式. (2) 類比、等價轉換的思想.
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