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視頻標簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_寧夏 - 銀川
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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_寧夏 - 銀川
《兩角差的余弦公式》教學設計
教材：人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（A版）》必修4 課題：3.1.1 兩角差的余弦公式 課時：1課時 一、 教學內容分析
三角恒等變換處于三角函數與數學變換的結合點和交匯處，是前面所學三角函數知識的繼續與發展，是培養學生推理能力與運算能力的重要素材.由于和與差內在的聯系性與統一性，教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎，使公式的證明過程盡量簡潔明了，易于學生理解和掌握.教學沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結果、證明結果兩步進行探究，并從簡單情況入手得出結果.這樣安排不僅使探究更加真實，也有利于學生學會探究、發展思維.
因此，本節課的教學重點是：利用誘導公式發現兩角差的余弦公式，并運用向量方法證明公式.
二、教學目標
1.掌握兩角差的余弦公式，并能正確運用公式進行簡單的求值運算； 2.經歷用向量的數量積推導兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；
3.在利用誘導公式進行兩角差余弦公式的探究過程中，體會“特殊到一般”、“數形結合”、“歸納猜想”等數學思想方法和思維方法，能體會到數學思維的合理性與條理性.
三、學生學情分析
學生此前已經掌握了任意角三角函數的概念、誘導公式的推導、向量的坐標表示以及向量數量積的坐標運算等知識.同時，學生多次經歷了由特殊到一般，歸納猜想等數學思維方法，基本具備數形結合的能力，這些都為本節課的學習建立了良好的知識基礎.
教材根據一個實例提出本章所要研究的主要內容，然后直接提出研究兩角差的余弦公式，學生會感到有些突然；教材中用幾何方法研究兩角差的余弦公式學生不易想到用“割補法”求正弦線、余弦線；用向量的數量積公式證明兩角差的余弦公式，學生容易犯思維不嚴謹、不嚴密的錯誤.
2
因此，我將本節課的教學難點確定為：發現并證明兩角差的余弦公式. 四、教學過程設計 1.創設情景
【情境問題】如圖，某城市的電視發射塔CB建筑市郊的一座小山CD上,從山腳A測得AC=50m,塔頂B的仰角(DAB)為60，從A點觀測塔頂B的視角（CAB）約為45，求：A,B兩點間的距離.
（請學生思考求解過程，某生表述：AB=2AD=2×50×cos6045=100cos15.教師引導說明15角
的余弦值是未知的，而60角、45角的三角函數值是已知的，不妨用它們來求差角6045的余弦值.）
【設計意圖】從實際問題出發,有利于強調數學與實際的聯系，增強學生的應用意識，激發學生學習的積極性，使其感受到實際問題中對研究差角公式的需要.
【思考1】cos6045如何求角60，45的正弦、余弦值來表示呢？ （請學生大膽嘗試說明，并根據自己的結論計算驗證.在這個過程中，可將問題一般化：兩角差的余弦值與這兩個角,的三角函數值之間有怎樣的關系呢？引入課題：兩角差的余弦公式）
【設計意圖】讓學生體驗如何用反例進行反駁，明確常犯的直接性錯誤為什么是錯的，提出本節課的研究內容，統一對探究目標中“恒等”要求的認識.
2.新知探究
【思考2】在已學過的知識中，有沒有類似求兩角差余弦的式子呢？
（請學生思考說明：誘導公式coscos，cossin2
.）
coscoscos2
特殊化
【說明】觀察以上兩式就是把角用特殊角、
2
來替換.由于特殊中往往D
CB
A
45°60°
3
能反映一般規律，我們不妨從上述公式出發，建立研究思路，尋找兩角差的余弦公式的一般性規律.
【設計意圖】從學生的學習實際出發，回想已有的關于兩角差的余弦的式子，尋找新舊知識之間的聯系，使兩角差的余弦公式的發現與推導是用“隨機、自然進入”的方式呈現給學生.
【探究1】cos如何用角和的正弦、余弦值來表示呢？ 本環節以教師引導探究為主， 展現知識的生成過程. 【問題1】根據三角函數的定義,你能寫出點12,PP的坐標嗎?
（請學生說明，點
12cos,sin,cos,sinPP.）
【問題2】根據三角函數的定義，cos是角的終邊與單位圓交點的橫坐標.那么，你能在圖1中畫出角的終邊嗎？
（請學生說明自己畫圖的過程，可能會有兩種做法：
方法一：由角的終邊畫出角的終邊，然后將角旋轉角，得角的終邊；方法二：以角的終邊為始邊旋轉角，得角的終邊.
設角的終邊與單位圓交于點3P，則點3P的坐標為
cos,sin）
【過渡】在已知各點坐標的情況下，我們不妨用向量知識來解決問題. 【問題3】觀察圖1，有幾組向量的夾角相等？
（請學生說明：0312POPPOP，又向量的模相等，0312OPOPOPOP，由向量數量積的坐標運算得：coscoscossinsin.）
【活動】根據上述推導過程，請同學們整理研究思路，在學案（附后表1）上完成圖1對應的表格.
β的終邊y
xπ-β的終邊
1,0()
π的終邊
P3P1
P2
O
P0
4
【設計意圖】根據三角函數的定義及任意角三角函數的定義，建立幾何圖形與點的坐標之間的聯系——向量，加強新舊知識之間的關聯性，使向量方法的引入自然、合理.本環節設計為引導探究的學習方式，將探究一拆分為三個問題，幫助學生建立研究思路.
【探究2】根據上述做法， cos2
的值如何用角,2的正弦、余弦值
來表示呢？
（請學生根據學案中的圖2，四人一組完成探究.
教師引導說明角
2
的終邊的形成
過程，學生類比cos的推導過程，以向量為工具，根據向量的夾角相等，得：
0312OPOPOPOP
sin2sincos2cos2cos
【設計意圖】再一次經歷由圖形對稱得等量關系，運用向量數量積的坐標運算建立數與形的聯系，推導兩腳差余弦的一個表達式.使學生從知識、方法、策略上多層次的感受式子的推導過程.
【思考3】觀察上面兩個式子，猜想：若,是任意角，那么
cos ？ （學生觀察上式，歸納說明.）
【設計意圖】有特殊到一般，猜想任意角兩角差的余弦公式，使學生成為數學結論的發現者，這對增強學生學習數學的信心、學會學習數學是有意義的.
【探究3】你能否證明自己的猜想？
β的終邊yx
1,0()π2-β的終邊P3
π
2
的終邊
P2
P1
O
P0
5
（請學生類比上面兩式的推導過程，在學案中自主探究完成，并與周圍同學相互交流，解決自己存在的問題.其中，差角的形成過程教師可利用幾何畫板旋轉得到，幫助學生認識圖形間的內在聯系.之后投影展示某生的證明過程，并請該生解說： 0312OPOPOPOP
coscoscossinsin）
【設計意圖】通過對猜想進行證明，體現數學知識的嚴謹性、合理性，使學生對公式的認識上升到理性高度.同時，體會向量方法的作用.
【歸納】兩角差的余弦公式：coscoscossinsin 【問題4】觀察兩角差的余弦公式，我們如記憶公式呢？
（請學生嘗試說明，教師從式子左右兩邊的三角函數名及符號給予歸納：余余正正異相連.）
【設計意圖】引導學生總結公式特點，幫助學生記憶公式. 3.應用舉例 例.求cos15的值.
（本例由情景問題提出，可引導學生采用不同的方法求值，認識到拆分角的多樣性.）
【設計意圖】幫助學生掌握兩角差的余弦公式的應用，拓展數學思維，體會拆分的多樣性，決定變換的多樣性.
4.課堂小結
【問題5】本節課你學到了哪些知識，有什么樣的心得體會？ （學生說明，師生共同歸納總結.）
（1）兩角差的余弦公式：coscoscossinsin； （2）向量作為工具性知識的運用；
（3）解決數學問題的思路：由已知到未知、由特殊到一般.
y
xβ的終邊α的終邊1,0()
P3
α-β的終邊O
P0P2
P1
6
【設計意圖】讓學生對探究的過程、思路與方法有一個清晰的認識，獲得知識和能力的共同進步.
5.作業布置
（1）課本127頁，練習2,3題；
（2）查一查“兩角差的余弦公式”還有其他證明方法嗎？ 【設計意圖】鞏固所學知識，拓展解決數學問題的思路.
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
