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視頻標簽：兩角差的余弦公式
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市優課
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高中數學人教A版版必修3.1.1 兩角差的余弦公式_重慶市優課
3.1.1兩角差的余弦公式
一、教學目標
(1)知識與技能目標:掌握公式的兩種證明方法：數形結合法與向量法；學會運用分類討論思想完善證明；學會正用、逆用、變用公式。
(2)過程與方法目標:展開提出問題、分析問題、解決問題的學習活動，讓學生體會從“特殊”到“一般”的探究過程。
(3)情感、態度和價值觀目標:發揮學生學習的主動性，鼓勵學生大膽質疑、大膽猜想，培養學生的“問題意識”
二、學情分析
《兩角差的余弦公式》是第三章第一課時的教學內容，學生已經掌握三角函數和平面向量相關知識，通過三個多月高中學習，富有強烈探索新知的欲望和一定的計算能力和邏輯推理能力，卻在尋找知識與知識間的相關聯系的能力不夠，所以面對該普通班級的學生，本堂課將公式的證明過程放慢了節奏，由此希望學生能夠通過自己的努力收獲成功。
三、教學重點、難點及關鍵
重點：兩角差的余弦公式的探究和應用 難點：兩角差的余弦公式的由來及證明 關鍵：學生最大的困惑在于如何得到公式
四、教學過程
一、知識回顧，問題引入 快速答出下列三角函數值：
0000
0
0
sin30,sin45,sin60,cos30,cos45,cos60,
知識回顧過度到cos150的值，提出兩角差的余弦是否為余弦的差？利用特殊角帶入否定了這個猜想。
提問：
例如，α＝60°，β＝30°，可以發現，左邊＝cos（60°－30°）＝cos30°
＝
，右邊＝cos60°－cos30°＝
－
．顯然，對任意角α，β，cos
（α－β）＝cosα－cosβ不成立．
活動引入，體
現數學樂
趣，激發學生的學
習熱情。
二、探尋特例，合作探討
從特殊情況去猜測公式的結構形式． 令cos)cos()cos(,則：
令
sin)2
cos()cos(,2
則：
分析：可見，我們的公式的形式應該與sinsincoscos和均有關系？他們之間存在怎樣的代數關系呢？會不會是“＋”、“－”、“”、“÷”？請同學們根據下表中數據，相互交流討論，提出你的猜想． 用具體值檢驗猜想的合理性．
令30,60則2
330cos)3060cos()cos(
三角函數 60cos 30cos 60sin 30sin 三角函數值
2
1 23 2
3 2
1 令30,120則90cos)30120cos()cos(＝0 三角函數 120cos
30cos
120sin
30sin
三角函數值
2
1
23 2
3 2
1 學生再舉特例進行驗證．（各抒己見）
接著再利用單個特殊角的帶入發現公式的組成部分，最后由表格中給出的三角函數值大膽猜想出兩角差的余弦公式。
三、提出猜想：sinsincoscos)cos( 四、理論證明：
引導探究：研究三角函數問題，我們常用的一種方法就是利用單位圓，在單位圓中，角的余弦值可用余弦線來表示．
讓學生體會數學知識的產生、發
展過程． 鼓勵學生發揮想象力，大膽
猜測，然后再去驗證其合理性，增強
學生探索問題、挑
戰困難的勇氣．
引導學生運用數形結合的思想給出證明．
我們先來討論最簡單的情況：
、為銳角，且
問題初探：方法一：（利用三角函數線） 證明：在單位圓O中，作OXP1， 交單位圓于點1P，作1
POP， 則XOP．過點P作PM垂直x 軸于M，AOPPA于點1，過點
BOMABA于點作點 ，過點CABPCP于點，作，則：
cosOA，sinAP，且OXPPAC1
sinsincoscossincosAPOACPOBBMOBOM
∴sinsincoscos)cos(（、為銳角，且） 幾何畫板展示驗證，銳角范圍外的角等式仍然成立。
用三角函數線的證明方法對任意角的推廣很繁難，教材中也未具體推導，
結合學生層次引導學生除了用幾何方法外，用代數方法進行更嚴謹的證明。 問題再探：方法二：（利用向量）
啟發思考：我們來仔細觀察猜想的結構，等式的左邊是差角的余弦，我們在什么地方見到過類似結構？ （引導學生發現，提出證明方法） （學生：向量的數量積�。�
證明：在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角、，它們終邊與單位圓O的交點分別為A、B，則：
加強新舊知識
的聯系．
使學生從直觀角度加強
對差角公式結構形
式的認識．
讓學生經歷用
向量知識解出一個數學問題的過程，體會向量
方法的作用．
x
y
P
P1 M B
O
A
C
1
1
y -1
-1
1
1
B)sin,(cos
)sin,(cos
x
0 A
OA=)sin,(cos，OB =)sin,(cos
)sin,)(cossin,(cos|
|||)cos(
OBOAOBOA
=sinsincoscos
∴)cos(=sinsincoscos （0≤≤）
方法小結：對比一下兩種證明方法，你認為哪種更簡單？向量在我們數學探究過程中是一種非常簡潔有效的工具，在今后的學習中我們還將繼續領悟向量在數學探究過程中的魅力！ 五、推廣完善公式
思考：作為兩向量的夾角，有沒有限制條件？還會有哪些情況？我們的結論還會成立嗎？怎樣給出證明？（展示幻燈片，引導學生找到
與夾角之間的關系）
推廣完善：令為OA、OB的夾角，
發現 存在，使得、Zmkmk22或 無論哪種情況，都有cos)cos(
sinsincoscoscos)cos(即
小結：兩角差的余弦公式： sinsincoscos)cos(
（其中、為任意角，簡記為)(C）
運用分類討論思想．完善證明培養學生實事求是的科學態度．
要求學生對公式的形式加以
分析，體會數學中的對稱
3.1.1 兩角差的余弦公式
公式展示
證明
1三角函數線法方法： 2向量法 角的推廣 三.例1 ，變1
例2，變2
六、知識運用
1、解決引例中的問題:求cos15°的值．
的值嗎？、你會求變式75sin1
2、公式的逆用：的值求
15sin23
15cos21
的值、求變式15sin15cos2
3.學以致用：已知,13
5
cos),,2(,54sin
是第三象限角， 求)cos(．
（運用公式時應根據角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍） 七、小結反思，公式推廣
1、知識性內容的小結，學生總結本節課學習的基礎知識及應用的數學思想（數形結合、轉化與化歸）公式探究的一般步驟：
特殊→猜想→證明
2 、在運用兩角差的余弦公式時應注意：
（1）根據角的范圍，確定兩角正、余弦值的正、負． （2）適當逆用公式，可達到化簡計算的目的． （3）靈活選取兩角的形式，活用公式．
最后提出問題：適當變換兩角差的余弦公式中兩角的形式，例如取，你能得到哪些結論？
cos?
八、作業：課后練習題 美． 學生運用所學解決實際問
題．對逆用公式解題加深認識。 活用公式，加深學生對公式中兩角形式變化的認識，強化整體思想． 課后思考為下節課
做鋪墊
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
