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視頻標簽：函數的概念
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高一數學必修一1.2.1 函數的概念-安徽省優課
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教學目標
1.通過豐富實例,進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型。
2.了解對應關系在刻畫函數概念中的作用。
3.了解構成函數的三要素,會求一些簡單函數的定義域和值域。
2學情分析
3重點難點
教學重點:函數概念和函數定義域及值域的求法。
教學難點:函數概念的理解。
4教學過程
4.1第一學時
4.1.1教學活動
活動1【導入】自主學習
(Ⅰ)引入問題
問題1 初中我們學過哪些函數?(正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數)
問題2 初中所學函數的定義是什么?(設在某變化過程中有兩個變量x和y,,如果給定了一個x的值,相應地確定唯一的一個y值,那么就稱y是x的函數,其中x是自變量,y是因變量)。
(Ⅱ)函數感性認識
教材例子(1):炮彈飛行時間的變化范圍是數集 ,炮彈距地面的高度h的變化范圍是數集 ,對應關系 (*)。從問題的實際意義可知,對于數集A中的任意一個時間t,按照對應關系(*),在數集B中都有唯一確定的高度h和它對應。
例子(2)中數集 , ,并且對于數集A中的任意一個時間t,按圖中曲線,在數集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對應。
例子(3)中數集 ,且對于數集A中的每一個時間(年份),按表格,在數集B中都有唯一確定的恩格爾系數和它對應。
(III)歸納總結給函數“定性”
歸納以上三例,三個實數中變量之間的關系都可以描述為兩個數集A、B間的一種對應關系:對數集A中的每一個x,按照某個對應關系,在數集B中都有唯一確定的y和它對應,記作 。
(IV)理性認識函數的定義
設A、B是非空的數集,如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱 為從集合A到集合B的一個函數(function),記作 ,其中x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域(domain),與x的值相隊對應的y的值叫做函數值,函數值的集合 叫做函數的值域(range)。
定義域、值域、對應法則,稱為函數的三個要素,缺一不可;
(1)對應法則f(x)是一個函數符號,表示為“y是x的函數”,絕對不能理解為“y等于f與x的乘積”,在不同的函數中,f的具體含義不一樣;
y=f(x)不一定是解析式,在不少問題中,對應法則f可能不便使用或不能使用解析式,這時就必須采用其它方式,如數表和圖象,在研究函數時,除用符號f(x)表示外,還常用g(x)、F(x)、G(x)等符號來表示;
自變量x在其定義域內任取一個確定的值a時,對應的函數值用符號f(a)來表示。如函數f(x)=x2+3x+1,當x=2時的函數值是:f(2)=22+3×2+1=11。
注意:f(a)是常量,f(x)是變量,f(a)是函數f(x)中當自變量x=a時的函數值。
(2)定義域是自變量x的取值范圍;
注意:①定義域不同,而對應法則相同的函數,應看作兩個不同函數;
如:y=x2(x y=x2(x>0); y=1與y=x0
②若未加以特別說明,函數的定義域就是指使這個式子有意義的所有實數x的集合;在實際中,還必須考慮x所代表的具體量的允許值范圍;
如:一個矩形的寬為xm,長是寬的2倍,其面積為y=2x2,此函數的定義域為x>0,而不是 。
(3)值域是全體函數值所組成的集合,在大多數情況下,一旦定義域和對應法則確定,函數的值域也隨之確定。
(V)區間的概念
設a、b是兩個實數,且a<b,規定:(投影1)
(1)滿足不等式 的實數的x集合叫做閉區間,表示為 ;
(2)滿足不等式 的實數的x集合叫做開區間,表示為 ;
(3)滿足不等式 的實數的x集合叫做半開半閉區間,表示為 ;
(4)滿足不等式 的實數的x集合叫做也叫半開半閉區間,表示為 ;
說明:① 對于 , , , 都稱數a和數b為區間的端點,其中a為左端點,b為右端點,稱b-a為區間長度;
② 引入區間概念后,以實數為元素的集合就有三種表示方法:
不等式表示法:3<x<7(一般不用);集合表示法: ;區間表示法: ;
③ 在數軸上,這些區間都可以用一條以a和b為端點的線段來表示,在圖中,用實心點表示包括在區間內的端點,用空心點表示不包括在區間內的端點;
④ 實數集R也可以用區間表示為(-∞,+∞),“∞”讀作“無窮大”,“-∞”讀作“負無窮大”,“+∞”讀作“正無窮大”,還可以把滿足x a, x>a, x b, x<b的實數x的集合分別表示為[a,+∞]、(a,+∞)、(-∞,b)、(-∞,b)。
例題分析:(投影2)
例1.已知函數 ,(教材第20頁例1)
(1)求函數的定義域;
(2)求 的值;
(3)當a>0時,求 的值。
分析:函數的定義域通常由問題的實際背景確定,如前述的三個實例。如果只給出解析式 ,而沒有指明它的定義域,那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合。(解略)
例2.求下列函數的定義域。
(1) ;(2) ;(3)
分析:給定函數時,要指明函數的定義域,對于用解析式表示的函數,如果沒有給出定義域,那么就認為函數的定義域是指使函數有意義的自變量取值的集合。
從上例可以看出,當確定用解析式y=f(x)表示的函數的定義域時,常有以下幾種情況:
(1)如果f(x)是整式,那么函數的定義域是實數集R;
(2)如果f(x)是分式,那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合;
(3)如果f(x)是偶次根式,那么函數的定義域是使根號內的式子不小于零的實數的集合;
(4)如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的,那么函數的定義域是使各部分式子都有意義的實數的集合(即使每個部分有意義的實數的集合的交集);
(5)如果f(x)是由實際問題列出的,那么函數的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數的集合。
由以上分析可知:函數的定義域由數學式子本身的意義和問題的實際意義決定。
例3.下列函數中,哪個與函數y=x是同一函數?(書P21例2)
(1) y=( )2 ; (2) y= ; (3) y= ; (4)y= .
分析:判斷兩個函數是否相同,要看定義域和對應法則是否完全相同。只有完全一致時,這兩個函數才算相同。(解略)
課堂練習:課本P22練習1、2、3。
課時小結:
本節課我們學習了函數的定義(包括定義域、值域的概念)及求函數定義域的方法。函數定義中注意的問題及求定義域時的各種情形應該予以重視。
課后作業
1、書面作業:課本P28習題1.2A組題第1,2,3,4題;B組第1、2題。
2、預習作業:
預習內容:課本P22—P23;
預習提綱:
a.函數的表示方法分別有哪幾種?
c.回顧初中學過的做函數圖象的方法步驟;
教學反思
函數是高中數學中一個非常重要的內容之一,貫穿整個高中數學學習。其重要性體現在:1、函數源于在現實生活,具有廣泛的應用。2、函數是溝通代數、幾何、三角等內容的橋梁。3、函數部分內容蘊涵重要數學方法,分類討論的思想 ,數形結合的思想,化歸的思想等。這些思想方法是進一步學習數學和解決數學問題的基礎。
然而函數這部分知識在教學中又是一大難點這主要是因為概念的抽象性,學生理解起來不容易,由于函數這部份知識的主要思想特點體現于一個“變”字,接受起來就更難。研究的主要是“變量”與“變量”之間的關系,要求用變量的眼光,運動變化的觀點去看待相關問題,所以函數成了高一新生進入高中的一條攔路虎。突破了它后面的學習就容易了。
函數的概念表現出來的都是抽象的數學形式,在數學的教學中,要強調對數學本質的認識,否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里。所以函數概念的教學更忌照本宣科,我注意對知識進行重組。努力去提示函數概念的本質,使學生真正理解它,覺得它有用,而樂于學習它。
課堂氣氛較為活躍。學生不僅能在課堂上勇于發言,而且能做到言之有理,還能積極參與小組討論交流,共同分享團隊協作的成果,基本完成教學目標。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
