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視頻標簽：函數的概念
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：高中數學人教A版必修一《函數的概念》
教學設計、課堂實錄及教案：高中數學人教A版必修一《函數的概念》清流縣第一中學
《函數的概念》教學設計
游艷艷 清流一中
一、教學內容解析
函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型。高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，函數的思想方法將貫穿高中數學課程的始終。
[1]
“新課標”內容標準要求：通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素；從學生已掌握的具體函數和函數的描述性定義入手，引導學生聯系自己的生活經歷和實際問題，嘗試列舉各種各樣的函數，構建函數的一般概念。
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據此，本節課教學內容內涵應為函數基于集合與對應語言的概念之理解和運用，教學內容反映了對應思想、函數思想。本節教學內容中，函數三要素屬于事實性知識、函數的定義屬于概念性知識、求定義域及判斷函數相等屬于程序性知識、認識到自己的認知需要不斷發展并激勵自己不斷求知屬于元認知知識。為此本節課設定的教學重點是“函數定義的形成”。
函數知識的學習和函數概念的認知是一個不斷反復、循序漸進的過程，本節課教學內容的上位知識為初中數學已經學習的函數概念及具體函數形式；下位知識則是函數表示法、指數及對數函數等知識。
本節課教學中，需要從生活實例出發，引導學生經歷基于集合及對應語言的函數概念形成過程，然后利用這一概念分析具體函數形式，體會概念應用的同時進一步加深對概念的理解。這一過程體現了數學研究“特殊——一般——特殊”之路徑及數學知識應用之價值。 二、學生學情分析
在之前的學習中，學生已經初步具備了生活中函數實例的基本經驗，能簡單運算有關一次、二次和反比例函數模型的問題，初步體會了歸納能力及基于變量關系認知的函數思想，通過“集合”知識的學習，對集合思想的認識也日漸清晰。以上知識為函數概念學習提供了認知基礎。同時，這一年齡段的學生普遍思維活躍、求知欲較強、自我表現欲望較強。以上因素為本節課教學提供了非認知基礎。
理解高中數學“執牛耳者”——函數概念，需要學生掌握的知識、掌握的技能和具備的情緒能力比較復雜。學生需要具備豐富的生活中觀察函數關系的經驗、需要能較熟練的操作二次函數運算、需要較強的抽象思維能力，同時還需要堅韌的品質和穩定的意志力。
上述需求與學生既有學習條件相比，高一新生在生活認知、二次代數式運算能力、概括歸納能力方面還有欠缺，意志力和情緒穩定性維度也顯不足。這些欠缺和不足中，生活認知的不足可以通過教師提供生活實例及交流討論方式彌補、二次函數運算能力可以通過課前預習提醒復習學生自主化解、意志力和情緒穩定性維度的欠缺可以通過課堂鼓勵和分解教學難度得到初步化解，抽象思維能力的不足是最難化解的難題。據此本節課設定的教學難點為“函數符號()yfx的理解，函數概念的整體性認識”。 二、教學目標設置
依據“課程目標-單元目標-課堂教學目標”的層級性特征，在“課標”的“總體目標”和“內容與要求”的指導下，結合學情分析，對本節課教學目標做如下設置。
1．正確理解函數的定義，能用集合與對應語言刻畫具體函數。通過實例分析，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用。
2．理解函數三要素，會判斷兩個函數是否相等，認識函數概念的整體性。
3．理解符號()fx的含義，能解釋()yfx與()yfa的區別與聯系。體會函數思想，代換思想。 三、教學策略分析
依據本節課教學內容、學情實際和教學目標要求，設計以下教學策略。
1.本節課以“人教社A版（必修1）第一章第二節第一課時”之內容為主體組織教學，并依據學生實際和認知特點對教材內容順序做了點調整。將教材中區間概念的教學調整到第二課時，保證函數概念教學的連貫性和課堂教學內容的精煉。
2.本節課為概念教學，依據上述學情分析，為激發、調動學生學習興趣和主動性，教學中計劃采用問題式教學和探究式教學。
3.本節課教學重點為“函數定義的形成”，問題串要圍繞學生函數定義的遞進認知為中心進行設計。具體通過三個實例中變量對應關系（對應法則）的認知及自變量取值的限定范圍（定義域），引導學生遞進理解、歸納出函數的概念。繼而設計若干對應關系，通過是否為函數的判斷，幫助學生深入理解“并非所有對應都是函數”及“定義中的關鍵詞”、“三要素”和“值域與集合B的關系”等難點問題。最后通過分析具體函數形式，鞏固基于集合與對應的函數定義之理解。
4.本節課教學中，計劃在交流合作及教師針對指導中幫助認知基礎較差學生的學習，通過引領學生討論和思考較難問題的方式滿足認知基礎較好學生的發展需求。
5.本節課教學中，計劃通過學生回答問題及教師觀察等方式及時反饋學習情況。 四、教學過程設計
為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，計劃將教學過程設計為七個階段：
（一）創設問題情景，引入課題、明確目標
問題1.初中階段，函數的定義是什么？
師：啟發學生回憶初中學習過的函數定義。生：回憶并思考上述問題。【設計意圖】
復習函數的動態定義，便于本節課教學以此為基礎抽象基于集合與對應思想的函數定義。 說明：回顧函數定義，聯系已有知識，為后續學習提供知識基礎。
（二）學生自主探究，分析三個實例
問題2.對教材中的實例1，
（1）時間t的變化范圍是多少？高度h的變化范圍是多少？ （2）問題“100s所對應的高度是多少”有無意義？ （3）你認為如何描述才能真實反映炮彈的發射過程？
師：啟發學生觀察、思考、討論，這個實例是不是一個函數關系？嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度與之相對應。同時分解難度，引出對應。
生：計算、觀察并嘗試用集合與對應語言描述變量間的依賴關系。【設計意圖】
體會用解析式刻畫變量之間的對應關系，關注t和h的范圍。 問題3.對教材中的實例2，
（1）時間t的變化范圍是多少？空洞面積s的變化范圍是多少？ （2）s是t的函數嗎？為什么？
（3）從所給的圖中能回答“2002年所對應的臭氧層空洞面積是多少”嗎？ （4）這是一個函數，有解析式嗎？如果讓你表示出這個函數，你會怎么做？
師：引導學生看圖，啟發學生觀察、思考、討論，這個實例是不是一個函數關系？嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：在t的變化范圍內，任給一個t，按照給定的曲線，都有唯一的一個臭氧空洞面積s與之相對應。同時分解難點，引出對應用f表示。
生：共同讀表，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。【設計意圖】
體會用曲線刻畫變量之間的對應關系，關注t和s的范圍。 問題4.對教材中的實例3，
（1）這個表格中，時間t的變化范圍是多少？恩格爾系數的變化范圍是多少？
（2）由這個表格，能判斷恩格爾系數是不是年份的函數？你能說清楚到底是怎么對應的嗎？ （3）由這個表格能得到“2002年所對應的恩格爾系數是多少”嗎？ （4）這是一個函數，有解析式嗎？如果讓你表示出這個函數，你會怎么做？
師生：共同讀表然后用對應的語言描述關系。同時降低難度，引出()fx的形式。【設計意圖】體會用表格刻畫變量之間的對應關系。 （三）通過學生討論、教師引導，歸納函數概念
問題5：以上三個例子我們都是從集合與對應的語言描述函數，在這三個例子中，集合體現
在哪里，這三個實例，它們有什么共同特點和不同點？
師：巡查指導學生討論。
生：討論三個實例的共同特點和不同點，并在全班交流。
【設計意圖】
通過回答不同實例中的集合，進一步清晰函數可以看做兩集合的對應關系這一初步印象，初步體驗函數概念。
問題6：函數能否看做是兩個集合之間的一種對應呢？如果能，怎樣給函數重新下一個定義呢？（在學生回答的基礎上教師幫助歸納總結）
師：引導學生順勢回答。
生：循序漸進對回答、補充完善函數定義。【設計意圖】
通過補充完善得出函數概念。
說明：1.通過教師漸進地引導成功凸顯本節課教學重點：函數概念的形成。充分照顧學生認知需要螺旋上升的特征，逐步補充完善內容，引導學生體會數學的嚴謹性。
2.函數概念屬于概念性知識，可以引導學生通過把握概念的關鍵詞及內涵，加強理解。
（四）通過學生討論、教師引導，判斷若干對應是否為函數，加深函數定義的理解。
問題7：以下五個對應是否為函數，為什么？
師：學生分組討論后提問回答。
生：通過問題探究，深入理解并非所有的對應都是函數。
【設計意圖】
通過構成要素及概念分析，深入理解函數概念中難點知識。
說明：1.通過判斷，理解“關鍵詞”、“函數構成要素”和“值域是集合B的子集”等難點知識。
2.函數概念屬于概念性知識，進一步引導學生通過把握概念的關鍵詞及概念內涵，加強理解。
（五）通過學生解答與討論，理解并掌握定義域的求法。
問題8：一些復雜的函數，其代數式往往比較復雜，怎樣求出它們的定義域呢？
【設計意圖】
通過定義域的求解，理解定義域既是“使代數式有意義的實數集合的交集”之實質。 說明：1.定義域是研究函數的第一步，要引導學生養成良好習慣。
2.函數定義域的求法屬于程序性知識，進一步引導學生理解并掌握基本步驟，快速準確求解。
（六）通過學生解答與討論，理解并掌握函數相等的判斷方法。問題9.下列函數中哪個與函數xxf)(相等？
2.()()Afxx33.Byx2.Cyx2
.()xxDfx
生：運用函數概念的三要素判斷并交流討論。師：歸納總結。【設計意圖】
進一步加深對函數定義的理解，理解并掌握判斷兩個函數相等的程序。
說明：1.認識函數概念的整體性，即定義域、值域、對應法則雖是函數的三個部分，但卻是一個整體。同時認識)(xf符號的意義，可以嘗試在此處引導學生代入具體數值計算函數值，或者代入變量a，通過比較)(xf和)(af加強抽象符號的認知。
2.理解)(xf意義屬于本節課難點知識。教學中通過剖析)(xf構成、代入數值及辨析)(xf和)(af區別等方式加強理解。
3.函數三要素內容屬于事實性知識，理解后記憶便可。
4.判斷函數相等屬于程序性知識，引導學生理解并掌握操作流程。
（七）課堂訓練，鞏固認識
1.下列圖像中不能作為函數的是（ ）
A B C D
2.下列兩個函數是否表示同一函數?
2
(1),()fxxgtt
24
(2),()22
xfxgxxx
24(3),()()fxxgxx
2
(4),fxxfxx
3.求下列函數的定義域。
5-1;2-12-.-3
x
fxfxxxx
【設計意圖】
復習、鞏固本節課的重難點內容，加深對函數定義、函數三要素、函數相等的認識。
（八）課堂小結，布置作業
課后作業(1)習題1.2 A組 1,2 （2）名校學案練習參考文獻
[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準.北京:人民教育出版社，2003. [2] 課程教材研究所.數學（必修1）教師教學用書.北京:人民教育出版社，2014. [3] 王尚志.普通高中數學課程分析與實施策略.北京：北京師范大學出版社 ，2010. [4] 謝利民.教學設計應用指導.上海：華東師范大學出版社，2006.
[5] 羅伯特.J.馬扎諾 著，高凌飚 譯.教育目標的新分類學.北京：教育科學出版社，2012.
【知識拓展】
函數的傳統定義和近代定義的比較
函數的傳統定義(初中學過的函數定義)與它的近代定義(用集合定義函數)在實質上是一致的．兩個定義中的定義域和值域的意義完全相同；兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發點不同．傳統定義是從運動變化的觀點出發，其中對應法則是將自變量x的每一個取值與唯一確定的函數值對應起來；近代定義則是從集合、對應的觀點出發，其中的對應法則是將原象集合中任一元素與象集合中的唯一確定的元素對應起來．
至于函數的傳統定義向近代定義過渡的原因，從歷史上看，函數的傳統定義來源于物理公式，最初的
y
x
O
O
x
yO
x
y
xO
y
函數概念幾乎等同于解析式，要說清楚變量以及兩個變量的依賴關系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了不必要的限制．后來，人們認識到了定義域和值域的重要性，如果只根據變量的觀點來
解析，會顯得十分勉強，如：符號函數1,0
sgn0,01,0xxxx
用集合與對應的觀點來解釋，就顯得十分自然了，
用傳統定義幾乎無法解釋，于是就有了函數的近代定義．由于傳統的定義比較生動、直觀，有時仍然會使用這一定義.
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