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視頻標簽：割圓術
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修3第一章閱讀與思考 割圓術-黑龍江 - 佳木斯
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第一章 算法初步
閱讀與思考 割圓術
一、教學背景分析 （一）教學內容解析
本節課是人教A版必修3第一章《算法結構》的“閱讀與思考”內容，以劉徽的“割圓術”為載體，讓學生通過了解“割圓術”的基本特點及其中蘊含的遞推思想與迭代算法，體會“割圓術”是幾何算法階段計算圓周率既有效又科學的方法，又讓學生感受到計算工具的不斷發展，為圓周率的計算乃至整個數學學科的發展帶來前所未有的突破。
在數學史上，簡潔而精確的圓周率求法，曾經是數學家們不懈追求的目標。每一次方法的改進，都在嚴密性與精確性的角度上體現了重要的數學思想，因此在高中階段，讓學生了解和學習各種不同的圓
周率近似值的求法，并對這些方法進行比較與分析，是十分必要的。 （二）學生學情分析
現階段的學生并沒有學過如何求圓周率，只有人教A版必修3中第一章《算法結構》的“閱讀與思考”內容是以劉徽的“割圓術”為載體，通過算法知識來介紹求圓周率，學生在算法的建構方面存在一定的困難，同時對圓周率的認知基本上停留在能背出小數點后多少位，卻不知圓周率是如何得到的。
學生通過課前資料收集和閱讀思考，對歷史上幾種不同的圓周率
求法進行了初步的了解，同時以教材中的“閱讀與思考”內容為載體研究割圓術，讓學生領悟劉徽的割圓術中所蘊含的遞推思想及迭代算法。掌握劉徽割圓術，對學生來說是一個挑戰，圓內接正多邊形的面積公式的遞推關系的推導對學生來說是十分困難的．根據教學內容解析和學情分析，我確定本節課的教學重點和難點如下：
重點：學生通過課前閱讀與課外查閱研究所了解的有關求圓周率的方法的基礎上，對各種不同的方法進行簡要的介紹與對比，同時深入探究劉徽割圓術的思想方法，獲得面積遞推公式，同時體會其中蘊含的遞推思想與迭代算法．
難點：割圓術中“內外夾逼”的極限思想與算法實現過程中遞推關系的建立． 二、教學目標設置
依據課程標準，基于上述分析，我確定本節課的教學目標如下： （一）讓學生經歷從直觀感受到隨機模擬，最后到嚴格推理，然后以計算機實現近似值求解的過程，既對相關數學史有所了解，同時又讓學生體會了求解圓周率的歷史實質是運算工具的發展史．
（二）理解割圓術對于圓周率估計的完備性與精確性，以及求解過程中所蘊含的遞推思想，體會計算機程序迭代算法和割圓術的應用價值．
（三）了解求解圓周率的歷史，感受數學的文化價值． 三、教學策略分析
本節課在教學材料的組織上選擇了讓學生課前探究求解圓周率
的方法，自主學習劉徽的割圓術，并以小組交流的形式匯報閱讀成
果. 應用問題探究式教學方式，對課本介紹的劉徽的割圓術進行再思考，讓學生自主探究如何方便地計算圓內接正多邊形的面積．本節課采用學生課前閱讀與課內思考相結合的方式，讓學生體會以閱讀學習所獲得的知識為基礎，在經過再思考后，獲得對問題的深刻理解的過程；同時采用公式的理論推導和信息技術相結合的手段，讓學生體會到中國古代數學中所蘊含的算法思想，給學生提供了一次動手實踐、還原歷史的經歷． 四、教學過程 （一）新課導入
教師引領學生回顧圓周率的數值，介紹人類四千多年一直不間斷對圓周率進行計算，那么在綿延的歷史長河中，人們又是怎樣“計算”圓周率的呢？----引題
【設計意圖】：從數學史與數學文化的角度，來引起學生對于圓周率求解方法的興趣，為后面各種方法的介紹做好鋪墊。 （二）探索方法
學生課前查閱圓周率的相關知識，自主學習劉徽的割圓術，并相互交流對圓周率的認識。 【第一組：實測法】
第一小組學生代表介紹：“用實測的方法求圓周率” （請看視頻）
【學生活動】學生討論實測法的不準確之處：
1.
圓周是曲線，用細繩去擬合時，存在誤差。
2.測量長度時，存在誤差。
【教師總結】尺子的精度越高，得到的測量值可能會越準確。精度再
高的刻度尺也無法量得線段長的真實值。其實，早在明代就有一位名叫邢云路的數學家，他就用實測的方法求圓周率后來茅以升這樣評價他：“云路欲以度量所得，抹煞古人諸率，所見甚淺。”可見，實測的辦法是比較粗糙的。 【設計意圖】
通過實測與經驗來估計圓周率的近似值，是人類歷史上最早采用的方法，但這種方法在數學上既不嚴密，同時所求得的近似值的精確度也無法保證，在課前讓學生通過實驗，切身體會到用實測的方法求圓周率是比較粗糙的。 【第二組：布豐投針】
第二小組學生代表介紹：“用布豐投針實驗求圓周率”（觀看視頻）
【學生活動】通過布豐投針實驗給我們哪些啟示？
【設計意圖】布豐投針實驗至少給了我們兩大啟示：1.可以利用概率
原理來解釋圓周率的計算，雖然實驗結果具有隨機性；2.投針實驗拓寬了人們運用數學知識解決復雜問題的渠道，它已發展為一種新的數學方法——統計實驗法，也就是著名的蒙特卡羅法。利用概率論的大數定律，可以保證用該方法求得的近似值在概率意義上是收斂于真實值的，但所得結果的精確度無法準確估計，因此相對于實測的方法，有所進步，但仍不夠完善。 【第三組：割圓術】
第三小組學生代表介紹：“劉徽的割圓術”
通過課前學習，讓學生對劉徽的割圓術有了基本的認識，并得到了課本上的圓內接正多邊形的面積遞推公式21
(1)2
nnnnSSnxh. 【學生活動】
小組交流1：劉徽為什么不從圓內接正三角形的面積開始，而是從六邊形開始？——好算，且精確度 相對較高。
小組交流2：如果以正四邊形面積為起始可以嗎？ ——以任意正n邊形面積為起始都可以，因為2nx與nx及2nS與nx之間的 遞推關系 并不會因為初始值的不同而發生改變.隨著正多邊形邊數的增加，最終的效果是一致的.
【教師總結】回味劉徽的割圓術，他是以圓內接正六邊形的面積為起始，借助6x來求6S，然后在6x，6S的基礎上，求12x，12S，依次類推，……，要求2nS，只需借助于nx，nS，得到了圓內接正多邊形的面積的遞推公式。
【設計意圖】讓學生通過課外閱讀與課前學習，以小組交流的形式匯報閱讀成果. 為本節課內針對劉徽的割圓術的再思考奠定了必要的認知基礎，同時也讓學生認識到在數學學習中“閱讀．．”的重要性． 【師生互動】在算完正六邊形的面積后，為什么不算正七邊形的面
積，而是選擇計算正十二邊形的面積？
【學生活動】分析與討論在算完正六邊形的面積后，不算正七邊形面積的理由.
【教師總結】正十二邊形的面積容易計算，關鍵在于在正六邊形的基礎上，增加的頂點B是CD的中點，根據垂徑定理，正十二邊形的“特征三角形”的底就是半徑1，高其實是正六邊形的邊長的一半．．．．．．．．．．．．．．． 【設計意圖】正六邊形的面積算完后，為什么直接跳到算正十二邊形的面積？正是因為我們可以借助正六邊形的邊長，來求正十二邊形的
面積（及邊長）. 而知道正六邊形的邊長和面積，卻沒有為算正七邊形的面積帶來任何幫助. 這樣設問，是為了讓學生在計算的過程中體會從正六邊形過渡到正十二邊形的合理性．同時讓學生體會其中蘊含的遞歸思想，發現問題本質，為下面的遞歸關系的建立奠定基礎． （三）完善方法
問題1：是否有其他辦法可以求圓內接正多邊形的面積? 能否把剛才的方法推廣到一般情形？
【學生活動】學生介紹不同于課本教材的圓內接正十二邊形的面積的求法:把正十二邊形分割成十二個特征三角形，容易算得它的面積為：
）（）（2
2112CAOB2112126COB12xSS
【學生活動】那么正2n邊形的面積2nS就等于：
2COB122222
nnnxn
SnSnx（）
【教師總結】從此式看出：只需借助正n邊形的邊長nx來求正2n邊形的面積2nS相比于之前介紹的遞推公式
))2
(1-121
(22）（nnnnxxnSS，
表達式上更加簡潔. 同時，也要注意到：這兩個面積遞推公式，都是借助于2nx與nx之間的遞推關系，其本質是一樣的.
【師生互動】這兩種遞推公式，哪一種在計算機里運行速度更快？效率更高？（幾何畫板動態演示）
【教師總結】在1800年前，劉徽只計算到了圓內接正192邊形的面積，相當于只邁開了六步。用正多邊形逼近圓，計算量很大，必須在方法上有所突破。隨著數學的不斷發展，人們開始擺脫求正多邊形邊
長的繁難計算，求圓周率的方法也日新月異。電子計算機的出現帶來了計算方面的革命。現在我可以借助計算機來實現圓周率值的計算。 【設計意圖】割圓術作為歷史上第一個出現的完備性最好的求圓周率的方法，也并非在各個方面盡善盡美，因此引導學生在知識的獲得之后，但作為課內針對學生課前閱讀的“第一次思考”， 引導學生成功建立正n邊形的邊長與正2n邊形的面積之間的遞歸關系，而且此面積遞推公式比課本介紹的遞推公式更加簡潔，為后續計算邊數更多正多邊形面積提供了一個可行、高效的方法，也為后續的程序的實現提供了算法依據，讓學生體會到“閱讀”之后“思考．．”的重要性與必要性． （四）回顧歷史（圓周率求解史）
【學生活動】同學們還知道哪些求圓周率的方法？
【數學史介紹】（觀看視頻）事實上，歷史上還出現了很多求圓周率的方法。
【設計意圖】在詳細介紹了“實測方法”、“蒙特卡洛方法”與“割圓術”之后，又對如何用高等方法求解圓周率進行了簡要的介紹，讓學生增加了對近代數學求解的歷史，使得數學史上對于的求解歷程有了更加完整的認識，再次感受數學的文化價值． （五）歸納小結 1、 學生總結收獲：
2、教師總結：縱觀幾千年來，為了得到更精確地圓周率的值，數學家們千方百計，花費了很多時間和精力，進行著不懈的探索。
這個過程是在其背后的運算工具的不斷發展，昭示了人類在數
學領域的卓越追求。可見，數學越向前發展，人們對事物的認識就越加清晰、深刻，所以說，數學是有用的。愿今天這節課能讓同學們領略到一些數學的魅力，觸發起心中的探索欲望。
（六）作業
1、小組合作完成割圓術循環結構的程序框圖并完成編程。 2、了解圓周率在數學及物理領域的應用。
視頻來源：優質課網 www.jixiangsibao.com
